1、云南省丽江市第一高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 如图，向圆内随机掷一粒豆子（豆子的大小忽略不计），则豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】豆子落在圆内任何一个地方是均等的，所以分别求圆和正方形的面积，利用几何概型的概率公式计算.【详解】设圆的半径为，正方形的边长为，则圆的面积，正方形的面积，则向圆内随机掷一粒豆子（豆子的大小忽略不计），则豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率.故选：B2. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案
2、】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各个变量值的变化情况，可得结论.【详解】由题意，、初始值分别为1，0当为小于5的正整数时，用的值代替，代替，进入下一步运算由此列出如下表格01输出值12345因此，最后输出的故选：【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按
3、照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.3. 已知是两条直线，是两个平面，则下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】A不正确，因为n可能在平面内；B两条直线可以不平行；C当m在平面内时，n此时也可以在平面内故选项不对D 正确，垂直于同一条直线的两个平面是平行的故答案为D4. 某地区有高中生人，初中生有人，小学生人，此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及形成原因，要从本地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，已知抽取的高中生人数为人，则该地区教育部门共抽取了人进行调查（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用分层抽样中的等比例原
4、则即可求总抽取人数.【详解】由地区高中生人，初中生有人，小学生人，设共抽取了人，若抽取的高中生人数为人，根据分层抽样知：，解之得，故选：D5. 抽查件产品，设“至少抽到件次品”为事件，则的对立事件是（ ）A. 至多抽到件正品B. 至多抽到件次品C. 至多抽到件正品D. 至多抽到件正品【答案】B【解析】【分析】根据对立事件的定义，结合选项可求得事件的对立事件【详解】根据对立事件的定义，事件和它的对立事件不会同时发生，且他们的和事件为必然事件，事件“至多抽到件正品”、 “至多抽到件正品”、 “至多抽到件正品”与“至少抽到件次品”能同时发生，不是对立事件；只有事件“至多2件次品”与“至少抽到件次品”
5、 不能同时发生且他们的和事件为必然事件，是的对立事件， 故选：6. 设一组样本数据x1，x2，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，10xn的方差为（ ）A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10【答案】C【解析】【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍，所以所求数据方差为故选：C【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 对甲、乙两名高中生一年内每次数学考试成绩进行统计，得到如下的茎叶图，则下列判断正确的是（ ）甲乙0847883902555107997541126212A. 甲数学成绩的众数为，乙数学成绩众数为
6、B. 甲数学成绩的平均数大于乙数学成绩的平均数C. 甲数学成绩的中位数是，乙数学成绩的中位数是D. 甲数学成绩的方差与乙数学成绩的方差相等【答案】B【解析】【分析】利用茎叶图数据分别对选项进行逐一判断即可.【详解】由茎叶图可知，甲数学成绩的众数为98，105，故A错误；甲数学成绩的平均数为，乙数学成绩的平均数为，故B正确；甲数学成绩的中位数为，乙数学成绩的中位数为，故C错误；甲数学成绩的主要集中在90至100与110与120之间，乙数学成绩主要集中在90至100，甲的成绩更分散，所以甲数学成绩的方差大于乙数学成绩的方差，故D错误.故选：B8. 一个频率分布表(样本容量为)不小心被损坏了一部分(
7、如图)，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在内的数据个数为（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】首先根据公式样本容量乘以频率=频数，计算样本在内的数据个数.【详解】由条件可知样本中数据在上的频率为，所以此区间的频数为，那么的数据个数就是个.故选：C9. 设等差数列的前项和为若，是方程的两根，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，是方程的两根，得，再根据等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，是方程的两根，则，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和，其中解答中熟记等差数列的性质，合理利用等差数列的求和公
8、式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10. 已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.11. 某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若线性相关，线性回归方程为
9、，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ）A. 万盒B. 万盒C. 万盒D. 万盒【答案】C【解析】分析：由题意，根据表格中的数据求得样本中心为，代入回归直线，解得，得到回归直线的方程，即可作出预测详解：由题意，根据表格中的数据可知：，即样本中心为，代入回归直线，解得，即令，解得万盒，故选C点睛：本题主要考查了回归直线分析问题，其中牢记回归直线的特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力12. 设函数 对任意的 ,都有,若函数,则的值是（）A. B. C. 1D. 或3【答案】B【解析】【分析】根据，得出是函数的一条对称轴，从而求出的表达式，再函数的解析式以及的值【详解】函数对任意的都有，是函
10、数的一条对称轴，即，；函数 故选B【点睛】本题主要考查三角函数的对称轴的问题注意正余弦函数在其对称轴上取最值，是基础题目二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 向量，且，则_【答案】【解析】【分析】首先根据向量平行，求，再求的坐标，表示模.【详解】，解得：，.故答案为：14. 已知点满足约束条件，则最大值是_【答案】【解析】【分析】首先画出目标函数表示的可行域，再根据的几何意义求目标函数的最大值.【详解】首先画出可行域，如图，令，画出初始目标函数表示的直线，当时，可知当平移至点时，取得最大值，联立 ，得， 故答案为：115. 若是第二象限角，则_【答案】【解析】【分析】根据条件分别求，
11、再代入求两角和的正弦【详解】，且是第二象限角， ，.故答案为：16. 已知三棱锥中，,，则三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据勾股定理可判断ADAB，ABBC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【详解】如图：AD=2，AB=1，BD=，满足AD2+AB2=SD2ADAB，又ADBC，BCAB=B，AD平面ABC，AB=BC=1，AC=，ABBC，BC平面DAB，CD是三棱锥的外接球的直径，AD=2，AC=，CD=，三棱锥的外接球的表面积为4（）2=6故答案为6【点睛】(1)本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的计算，
12、意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心和截面圆的圆心，找到、球的半径、截面圆的半径确定的,再解求出球的半径.(3)解答本题的关键是证明CD是三棱锥的外接球的直径.三、解答题（共6小题70分）17. 已知数列是等差数列，是其前项和，且（1）求数列的通项公式;（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（
13、2）【解析】分析】（1）由等差数列前n项和公式，结合已知即可求公差，进而写出通项公式即可.（2）由（1）结论，有，首先分组，再结合等差等比前n项和公式求【详解】（1）数列是等差数列，是其前项和， ，解得，（2）， 18. 青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注，某校对高一600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图分组频数频率50，60）200460，70）801670，80）1080，90）90，10014028 合计100 （1）填写答题卡上频率分布表中的空格，并补全频率分布直
14、方图； （2）试估计该年段成绩在70，90）段的有多少人？（3）请你估算该年段的平均分【答案】（1）见解析过程；（2）312；（3）814【解析】【详解】（1）如图：分组频数频率50，60）200460，70）801670，80）100280，90）1603290，10014028合计50100（2）估计该年段成绩在70，90）段的有：（人）（3）估计该年段的平均分为：81419. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.（1）求圆的方程；（2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）首先求出过点且与直线垂直的直线，则
15、圆心必在此直线上；与联立可求得圆心坐标；再利用两点间距离公式可求得；根据圆心和半径可求得圆的方程；（2）根据直线被圆截得的弦长可求得圆心到直线的距离：，分别在斜率存在和不存在两种情况下求解直线方程，进而可得结果.【详解】（1）由题意得，过点且与直线垂直直线方程为：由，解得： 圆心的坐标为圆的半径：圆的方程为：（2）因为直线被圆截得的张长为圆心到直线的距离：若直线的斜率不存在，则为直线，此时圆心到的距离为，不符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为：，即由，整理得：解得：或直线的方程为：或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用问题，涉及到直线与圆相切、直线被圆截得的弦长问题.20. 已知向量
16、（1）若，求x的值；（2）记，求函数yf（x）的最大值和最小值及对应的x的值【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.【解析】分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值（2）根据求解求函数yf（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值【详解】解：（1）向量由，可得：，即，x0，（2）由x0，当时，即x0时f（x）max3；当，即时【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键21. 如图，中， 两点分别是线段 的中点，现将沿 折成直二面角（）求证：； （）求直线与平面
17、所成角的正切值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【详解】（）由两点分别是线段中点，得，为二面角平面角，又（） 连结BE交CD于H，连结AH过点D作于O，所以为与平面所成角中，中，所以直线与平面所成角的正切值为22. 已知定义域为R的单调函数是奇函数，当时，.(1)求的值；(2)若对于任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，利用当时求出，从而可得结果；（2）由为奇函数，且得，由单调性可得，再由判别式小于零能求出实数的取值范围.【详解】（1），为奇函数 （2）为奇函数 又，为减函数且在上单调递减由得为奇
18、函数，又是减函数，即对任意恒成立，解得：即为所求.【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.