1、云南省丽江市第一高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题考试时间120分钟 考试分值：150分一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 如图，向圆内随机掷一粒豆子（豆子的大小忽略不计），则豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率（ ）A. B. C. D. 2. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是( )A. B. C. D. 3. 已知,是两条直线,是两个平面,则下列命题中正确的是( )A. ,B. ,C. ,D. ,4. 某地区有高中生人,初中生有人,小学生人,此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及形成原因,要从本地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,已知抽取
2、的高中生人数为人,则该地区教育部门共抽取了( )人进行调查A. B. C. D. 5. 抽查件产品,设“至少抽到件次品”为事件,则的对立事件是( )A. 至多抽到件正品B. 至多抽到件次品C. 至多抽到件正品D. 至多抽到件正品6. 设一组样本数据的方差为,则数据方差为( )A. B. C. D. 7. 对甲、乙两名高中生一年内每次数学考试成绩进行统计,得到如下的茎叶图,则下列判断正确的是( )A. 甲数学成绩的众数为,乙数学成绩众数为B. 甲数学成绩的平均数大于乙数学成绩的平均数C. 甲数学成绩的中位数是,乙数学成绩的中位数是D. 甲数学成绩的方差与乙数学成绩的方差相等8. 一个频率分布表(
3、样本容量为)不小心被损坏了一部分(如图)，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在内的数据个数为()A. 个B. 个C. 个D. 个9. 设等差数列的前项和为,若,是方程的两根,则( )A. B. C. D. 10. 已知圆,过点的直线被该圆所截得的弦长的长度的最小值为( )A. B. C. D. 11. 某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示:若,线性相关,线性回归方程为,估计该制药厂月份生产甲胶囊产量为( )A. 万盒B. 万盒C. 万盒D. 万盒12. 设函数对任意的,都有,若函数,则的值是( )A. B. 或C. D. 二、填空题（
4、每小题5分，共4小题20分）13. 向量,且,则_.14. 已知点满足约束条件,则的最大值是_.15. 若,是第二象限角,则_.16. 已知三棱锥中,则三棱锥的外接球的表面积为_.三、解答题（共6小题70分）17.（10分） 已知数列是等差数列,是其前项和,且. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和.18.（12分） 青少年的“心理健康”问题引起越来越多的社会关注，某校对高一共600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，如图：(1)填写频率分布表中的空格，并补全频率分
5、布直方图. (2)试估计该校高一全体学生的成绩在内的有多少人？ (3)请你估算该校高一全体学生成绩的平均分.19. （12分） 在平面直角坐标系中,已知圆的圆心在直线上,且圆与直线相切于点.(1)求圆的方程; (2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为,求直线的方程.20. （12分） 已知向量,. (1)若,求的值; (2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.21. （12分） 如图，中，两点分别是线段的中点，现将沿折成直二面角.(1) 求证：面面； (2) 求直线与平面所成角的正切值.22. （12分） 已知定义域为的单调函数是奇函数,当时,. (1)求的值;(2)若对于任意的,不等式恒成立
6、,求实数的取值范围.丽江市一中20202021学年度上学期期中考试高二数学试卷答案 第1题： 【答案】B 第2题： 【答案 C 第3题： 【答案】D 第4题： 【答案】D 第5题： 【答案】B 第6题： 【答案】C 第7题： 【答案】B 第8题： 【答案】C 第9题： 【答案】A 第10题： 【答案】B 第11题： 【答案】C 第12题： 【答案D 第13题： 【答案】 第14题： 【答案】 第15题： 【答案】 第16题： 【答案】 第17题： 【答案】(1)(2)【解析】(1)数列是等差数列,是其前项和, ,解得,. (2), . 第18题： 【答案】略.【解析】（1)由题图可知样本容量为
7、，所以成绩在内的频率为，成绩在内的频数为,对应的频率为. 由此填表如下：补全频率分布直方图，如图(2)估计该校高一全体学生的成绩在内的学生有(人). (3)利用频率分布直方图，计算该校高一全体学生成绩的平均分为:(分). 所以，估计该校高一全体学生成绩的平均分为81.4分. 第19题： 【答案】见解析【解析】(1)过点且与直线垂直的直线方程为, 由,解得, 所以圆心的坐标为, 所以圆的半径为, 所以圆的方程为. (2)因为直线被圆截得的弦长为, 所以圆心到直线的距离为, 若直线的斜率不存在,则为,此时,圆心到的距离为,不符合题意. 若直线的斜率存在,设直线的方程为,即, 由整理得, 解得或,
8、所以直线的方程为或. 第20题： 【答案】(1); (2)时,取得最大值为;时,取得最小值,为.【解析】(1)因为,所以. 若,则,与矛盾,故. 于是.又,所以. (2). 因为,所以,从而. 于是,当,即时,取到最大值; 当,即时,取到最小值. 第21题： 【答案】（1）略； （2）.【解析】（1）由两点分别是线段的中点， 得， 所以为二面角平面角，所以面. 又因为面，所以. 又因为， 即，所以， 所以，所以，面， 又因为面，所以面面. （2）连结交于，连结，过点作于，因为，面，面，所以， 又因为，面， 所以为与平面所成角， 在中， . 在中，. 所以直线与平面所成角的正切值为. 第22题： 【答案】(1); (2).【解析】(1),为奇函数. (2)是定义域为的奇函数,. 又,为减函数且, 在上单调递减, 由得, 为奇函数, 又是减函数, 即对任意恒成立, ,解得:即为所求.