1、第23练关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型一平面向量数量积的基本运算例1已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么的最小值为_破题切入点对于四边形OAPB中变化的量，可以是切线的长度、也可以是APB，这两个变化的量都可以独立地控制四边形OAPB.因此可以用这两个量中的一个来表示；还可以建立平面直角坐标系，使问题数量化答案32解析方法一设|x，APB，则tan ，从而cos .|cos x2x21323，当且仅当x21，即x21时取等号，故的最小值为23.方法二设APB，0，则|.|cos ()2cos (12sin2).令xsin2，0x1，则2x323，当且仅当
2、2x，即x时取等号故的最小值为23.方法三以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，则圆O的方程为x2y21，设A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0,0)，则(x1x0，y1)(x1x0，y1)x2x1x0xy.由OAPA(x1，y1)(x1x0，y1)0xx1x0y0，又xy1，所以x1x01.从而x2x1x0xyx2x(1x)2xx323.故的最小值为23.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量b与ab的夹角为_破题切入点先把向量模之间的关系平方之后转化为向量数量积之间的关系，然后分别求出所求向量的数量积与模，代入公式求解即可
3、；也可利用向量的几何意义转化为三角形中的问题求解答案解析方法一由已知，得|ab|ab|，将等式两边分别平方，整理可得ab0.由已知，得|ab|2|a|，将等式两边分别平方，可得a2b22ab4a2.将代入，得b23a2，即|b|a|.而b(ab)abb2b2，故cosb，ab.又b，ab0，所以b，ab.方法二如图，作a，b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则ab，ab.由|ab|ab|2|a|，可得|2|，所以平行四边形OACB是矩形，a.从而|2|.在RtBOC中，| |，故cosBOC，所以BOC.从而b，abBOC.题型三利用数量积求向量的模例3已知直角梯形ABCD中，ADBC
4、，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_破题切入点建立平面直角坐标系，利用点坐标表示出各向量，或用向量的关系一一代换得出最简式，从而求出最小值答案5解析方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为5.方法二设x(0x1)，(1x)，x，(1x)，3(34x)，|3|222(34x)(34x)2225(34x)2225，|3|的最小值为5.总结提高(
5、1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据模和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择，注意两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”(2)求向量的夹角时要注意：向量的数量积不满足结合律，数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角1(2014课标全国改编)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab_.答案1解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左右两边分别相减，得4ab4，ab1.2(2014四川改编
6、)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_.答案2解析因为a(1,2)，b(4,2)，所以cmab(m,2m)(4,2)(m4,2m2)根据题意可得，所以，解得m2.3(2013江西)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的投影为_答案解析a在b方向上的投影为|a|cosa，b.ab(e13e2)2e12e6e1e25.|b|2e1|2.4.如图，在等腰直角ABO中，OAOB1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设a，b，p，则p(ba)_.答案解析以OA，
7、OB所在直线分别作为x轴，y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)，C(，)，直线l的方程为yx，即xy0.设P(x，x)，则p(x，x)，而ba(1,1)，所以p(ba)x(x).5在平面上，|1，.若|，则|的取值范围是_答案(，解析由题意，知B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，为半径的圆的内部又，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|取得最大值，当P在半径为的圆周上时，|取得最小值.6(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_答案22解析由3，得，.因为2，所以()()2，即222.又因为
8、225，264，所以22.7(2014湖北)设向量a(3,3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_.答案3解析由题意得，(ab)(ab)0，即a22b218220，解得3.8设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin .若e1，e2均为单位向量，且e1e2，则向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为_答案解析由e1e2，可得cose1，e2，故e1，e2，e2，e1e2，e1.f(e1，e2)e1cos e2sin e1e2，f(e2，e1)e2cos (e1)sin e1e2.f(e1，e2)f(e2，e1)(e1e2)(e1e2)e1e20，所以f(e1，e2)
9、f(e2，e1)故向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为.9在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|2，则点集P|，|1，R所表示的区域的面积是_答案4解析方法一(坐标法)由|2，可得AOB.又A，B是定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)由，可得因为|1，所以|x|x|1.整理，得2|x|yx|2.当x0，且yx0时，不等式为xy2；当x0，且yx0时，不等式为xy2；当x0，且yx0时，不等式为xy2；当x0，且yx4|a|，则Smin0；若|b|2|a|，Smin8|a|2，则a与b的夹角为.答案解析xi，yi(i1,2,3,4,5)均由2个a和3个b排列而
10、成，Sxiyi，可能情况有以下三种：(1)S2a23b2；(2)Sa22ab2b2；(3)S4abb2.2a23b2(a22ab2b2)a2b22aba2b22|a|b|cos 0，a22ab2b24abb2a2b22ab0，S的最小值为Sminb24ab.因此S最多有3个不同的值，故不正确当ab时，S的最小值为Sminb2与|a|无关，故正确当ab时，S的最小值为Sminb24|a|b|或Sminb24|a|b|与|b|有关，故不正确当|b|4|a|时，Sminb24|a|b|cos b24|a|b|b|(|b|4|a|)0，故正确当|b|2|a|时，由Sminb24ab8|a|2知，4ab
11、4a2，即aba2，|a|b|cos a2，cos ，故不正确因此正确命题的编号为.11已知向量a(sin x，)，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范围解(1)因为ab，所以cos xsin x0.所以tan x.故cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)b2(sin xcos x，)(cos x，1)sin 2xcos 2xsin(2x).由正弦定理，得，所以sin A.所以A或A.因为ba，所以A
12、.所以f(x)4cos(2A)sin(2x).因为x0，所以2x，所以1f(x)4cos(2A).所以f(x)4cos(2A)的取值范围为1，12在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足.(1)求|；(2)存在实数t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值解(1)由，且A，B，D三点共线，可知|.又AD5，所以DB11.在RtADC中，CD2AC2AD275，在RtBDC中，BC2DB2CD2196，所以BC14.所以|14.(2)由(1)，知|16，|10，|14.由余弦定理，得cos A.由xt，yt，知kxy(t)(t)t|2(t21)t|2256t(t21)1610100t80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1，)上单调递增，所以当t1时，k取得最小值516.