1、2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程必备知识自主学习1.抛物线的定义 设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线 导思 1.什么叫做抛物线？2.抛物线的标准方程有哪些？思考 定义中为什么要求直线l不经过点F?提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不是抛物线 2.抛物线的标准方程 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0).现将这
2、四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：思考 二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？提示：不完全相同当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象 1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)抛物线的方程都是二次函数()(2)准线方程为 y4 的抛物线的标准方程是 x216y.()(3)抛物线的开口方向由一次项确定()提示：(1).当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象(2).由题意可设抛物线方程为 x22py(p0)，因为抛物线的准线方程为 yp2
3、 4，所以 p8，所以该抛物线的标准方程为 x216y.(3).一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确 2已知抛物线 x24y 上的一点 M 到此抛物线的焦点的距离为 2，则点 M 的纵坐标是()A0 B12 C1 D2【解析】选 C.根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0，1)，准线方程为 y1，根据抛物线定义，得 yM12，解得 yM1.3已知定点 A()2，3 ，F 为抛物线 y26x 的焦点，P 为抛物线上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A5 B4.5 C3.5 D不能确定【解析】选 C.如图所示，过点 P 作 PM准线 l，垂足为 M
4、，则|PF|PM 当且仅当 A，P，M 三点共线时，|PF|PA|取得最小值|AM 232 3.5.关键能力合作学习类型一 求抛物线的标准方程(数学运算)【典例】1.顶点在原点，准线与 y 轴垂直，且经过点(2，1)的抛物线的标准方程是()Ay22x By22x Cx22y Dx22y 2(多选题)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则 C 的方程可能为()Ay2x By22x Cy24x D.y216x 3求焦点在直线 x2y40 上的抛物线的标准方程【解析】1.选 D.因为抛物线顶点在原点，准线与 y 轴垂直，且
5、经过点(2，1)，所以设抛物线的标准方程为 x22py，p0，把点(2，1)代入，得 22p，解得 p1，所以抛物线方程为 x22y.2选 CD.易知抛物线的焦点为 Fp2，0 .由抛物线的定义，得 M5p2，2p5p2 .设 N 点坐标为(0，2).因为圆过点 N(0，2)，所以 NFNM，即 2p2 2p5p2 25p2 1.设p5p2 t，则式可化为 t24 2 t80，解得 t2 2，即 p210p160，解得 p2 或 p8.3当焦点在 y 轴上时，已知方程 x2y40，令 x0，得 y2，所以所求抛物线的焦点为(0，2)，设抛物线的标准方程为 x22py(p0)，由p2 2，得 2
6、p8，所以所求抛物线的标准方程为 x28y；当焦点在 x 轴上时，已知 x2y40，令 y0，得 x4，所以抛物线的焦点为(4，0)，设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，由p2 4，得 2p16，所以所求抛物线的标准方程为 y216x.综上，所求抛物线的标准方程为 x28y 或 y216x.抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出 p，最后写出标准方程(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定 p 的值【补偿训练】根据下列条件
7、分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y2144 的左顶点；(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，|AF|5.【解析】(1)双曲线方程可化为x29 y216 1，左顶点为(3，0)，由题意设抛物线方程为 y22px(p0)且p2 3，所以 p6，所以抛物线的方程为 y212x.(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义，得 5|AF|mp2 .又(3)22pm，所以 p1 或 p9，故所求抛物线方程为 y22x 或 y218x.类型二 抛物线的定义及其应用(逻辑推理)【典例】1.(多选题)已
8、知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 P(m，2)到焦点的距离为 4，则 m 的值为()A4 B2 C4 D2 2动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x20 相切，则动圆必过定点()A(4，0)B(2，0)C(0，2)D(0，2)3已知动圆过点(1，0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹是_【解析】1.选 AC.由题可设抛物线的标准方程为 x22py(p0)，由定义知点 P到准线的距离为 4，故p2 24，所以 p4，所以 x28y.将点 P 的坐标代入x28y，得 m4.2选 B.因为圆心到直线 x20 的距离等于到抛物线焦点的距离，所以定点为(2，0)
9、.3设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线 x1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹是抛物线 答案：抛物线 抛物线的判断方法(1)定义判断：可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离(2)方程判断：求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程 1(2020全国卷)已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p()A2 B3 C6 D9【解析】选 C.设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|AF|xAp2 12，即 129p2，解得 p6.2若
10、位于 y 轴右侧的动点 M 到 F12，0 的距离比它到 y 轴的距离大12.求点 M 的轨迹方程【解析】由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F12，0 的距离比它到 y 轴的距离大12，所以动点 M 到 F12，0 的距离与它到直线 l：x12 的距离相等由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y22px(p0)的形式，而p2 12，所以 p1，2p2，故点 M 的轨迹方程为 y22x(x0).类型三 抛物线的实际应用(数学建模)【典例】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船宽 4 m，高 2 m，载货
11、后船露出水面上的部分高 0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？【思路导引】以桥的顶点为原点，拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系后，利用已知条件求出抛物线方程，然后求解【解析】以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系(图略).设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知，点 B(4，5)在抛物线上，故 p85，得 x2165 y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AA，则 A(2，yA)，由 22165 yA，得 yA54.又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m，所以 h|yA|0.752(m)
12、.所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m 时，小船开始不能通航 求抛物线实际应用问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系(2)设出合适的抛物线标准方程(3)通过计算求出抛物线的标准方程(4)求出需要求出的量(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑已知镜口圆的直径为 12 米，镜深 2 米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米 【解析】如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的
13、顶点)与原点重合，x 轴垂直于镜口直径 由已知，得 A 点坐标是(2，6)，设抛物线方程为 y22px(p0)，则 362p2，p9.所以所求抛物线的标准方程是 y218x，焦点坐标是 F92，0 .因为盛水和食物的容器在焦点处，所以 A，F 两点间的距离即为每根铁筋长|AF|292262 6.5，故每根铁筋的长度是 6.5 米【补偿训练】如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 OP1 m，水从喷头 P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2 m，P 距抛物线的对称轴 1 m，则水池的直径至少应设计多长？(精确到 1 m)【解析】如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原
14、点且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 设抛物线方程为 x22py(p0).依题意有 P(1，1)在此抛物线上，代入得 p12，故抛物线方程为 x2y.又点 B 在抛物线上，将 B(x，2)代入抛物线方程得 x 2，即|AB|2，则|OB|OA|AB|2 1，因此水池的直径为 2(1 2)m，约为 5 m，即水池的直径至少应设计为 5 m 备选类型 抛物线的最值问题(数学运算)【典例】已知抛物线 y24x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，对于定点 A(4，2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时的 P 点坐标【思路导引】利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离
15、【解析】如图，作 PNl 于 N(l 为准线)，作 ABl 于 B，则|PA|PF|PA|PN|AB|，当且仅当 P 为 AB 与抛物线的交点时，取等号 所以(|PA|PF|)min|AB|415.此时 yP2，代入抛物线得 xP1，所以 P(1，2).在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点 A(0，2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A 172 B3 C 5 D92 【解析】选 A.由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离如
16、图所示，所以点 P 到准线 x12 的距离 d|PF|，易知点 A(0，2)在抛物线 y22x 的外部，连接 AF，交 y22x 于点 P，欲使所求距离之和最小，只需 A，P，F 共线，所以其最小值为|AF|0122（20）2 172 .课堂检测素养达标1对抛物线 x24y，下列描述正确的是()A开口向上，焦点为(0，1)B开口向上，焦点为0，116 C开口向右，焦点为(1，0)D开口向右，焦点为116，0 【解析】选 A.抛物线 x24y 开口向上，焦点为(0，1).2已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且 2
17、x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2 C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|【解析】选 C.如图所示，由定义知|FP1|x1p2，|FP2|x2p2，|FP3|x3p2，由 2x2x1x3知，2|FP2|FP1|FP3|.3若抛物线 y24m x 的焦点与椭圆x27 y23 1 的左焦点重合，则 m 的值为()A12 B12 C2 D2 【解析】选 A.抛物线 y24m x 的焦点坐标为1m，0 ，椭圆x27 y23 1，因为 a27，b23，所以 c2a2b24，所以椭圆的左焦点坐标为(2，0)，因为抛物线 y24m
18、 x 的焦点与椭圆x27 y23 1 的左焦点重合，所以1m 2，所以 m12.4抛物线 y24mx(m0)的焦点到双曲线x216 y29 1 的一条渐近线的距离为 3，则此抛物线的方程为_【解析】抛物线 y24mx(m0)的焦点为 F(m，0)，双曲线x216 y29 1 的渐近线方程为 3x4y0，则 F(m，0)到渐近线的距离为|3m3242 3m5 3m5，所以抛物线的方程为 y220 x.答案：y220 x 5如图所示，等边三角形 OAB 的边长为 8 3，且其三个顶点均在抛物线 E：x22py(p0)上求抛物线 E 的方程 【解析】依题意，|OB|8 3，BOy30.设 B(x，y)，则 x|OB|sin 304 3，y|OB|cos 3012.因为点 B(4 3，12)在 x22py 上，所以(4 3)22p12，解得 p2.故抛物线 E 的方程为 x24y.