1、2016-2017学年广东省揭阳市惠来一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在空间直角坐标系中，点P（3，2，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（）A（3，2，5）B（3，2，5）C（3，2，5）D（3，2，5）2集合A=x|x25x+40，B=x|2x3|3，则AB=（）Ax|0x3Bx|1x3Cx|0x4Dx|1x43已知ab0，则（）Aa2abBabb2Ca2b2Da2b24当x0，y0， +=1时，x+y的最小值为（）A9B10C12D135已知关于x的方程为x2+x+n2=0，若n1，1，则方程
2、有实数根的概率为（）ABCD6在ABC中，BC=2，B=，当ABC的面积等于时，AB=（）ABC1D7若“ma”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为（）A1B0C2D18已知动点M到椭圆=1左焦点的距离比到其右焦点的距离大2，则动点M的轨迹方程是（）ABCD9已知实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值与最小值之差为（）ABCD10若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）0的解集为（）A（2，0）（2，+）B（，2）（0，2）C（，2）（2，+）D（2，0）（0，2）11已知函数f（x）=Acos（x+）
3、+Asin（x+）（A0，0，|）的最大值为2，周期为，将函数y=f（x）图象向右平移个单位得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）是偶函数，则函数f（x）的一条对称轴为（）Ax=Bx=Cx=Dx=12已知函数y=f（x）的定义域的R，当x0时，f（x）1，且对任意的实数x，yR，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列an满足f（an+1）f（）=1（nN*），且a1=f（0），则下列结论成立的是（）Af（a2013）f（a2016）Bf（a2014）f（a2017）Cf（a2016）f（a2015）Df（a2013）f（a2015）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若命
4、题：“存在，使tan2xatanx20成立”为假命题，则实数a的取值范围为14已知坐标原点O到直线ax+by1=0（a，bR）的距离为，点Q（0，1）在以点P（a，b）为圆心的圆P上，则圆P的最大半径是15直线l与抛物线C：y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2=，则直线l过定点16如图，四边形ABCD中，ABD是正三角形，ABC是等腰直角三角形，ABC=90，沿AB将ABD折起，使得平面ABD平面ABC，若三棱锥DABC的外接球的表面积为，则三棱锥DABC的侧面ACD的面积为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在ABC中，角A、
5、B、C的对边分别为a、b、c，且（）求角C的值；（）若BC=2，BC边上的中线AM=，求AB18已知数列an的各项均不为0，a1=，且满足3an+1an+2an+1an=0，数列bn满足bn=+1（）求证：数列bn为等比数列；（）若cn=，求数列cn的前n项和Sn19如图，ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE平面ABCD（）证明：BDCE；（）若BE=CE=，求平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值20已知椭圆C：的焦距为4，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且=（） 求弦AB的长；（） 若直
6、线l的斜率为k，且，求椭圆C的长轴长的取值范围21已知f（x）=loga是奇函数（其中a1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在（2，+）上的单调性并证明；（3）当x（r，a2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+），求a与r的值选修4-5：不等式选讲22（1）解不等式|x1|+|x4|5（2）求函数y=|x1|+|x4|+x24x的最小值2016-2017学年广东省揭阳市惠来一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在空间直角坐标系中，点P（3，2，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（）A（
7、3，2，5）B（3，2，5）C（3，2，5）D（3，2，5）【考点】空间中的点的坐标【分析】根据点P关于yOz平面对称的点的性质即可得出【解答】解：点P（3，2，5）关于yOz平面对称的点的坐标为（3，2，5），故选：A2集合A=x|x25x+40，B=x|2x3|3，则AB=（）Ax|0x3Bx|1x3Cx|0x4Dx|1x4【考点】交集及其运算【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出AB【解答】解：集合A=x|x25x+40=x|1x4，B=x|2x3|3=x|32x33=x|0x3，则AB=x|1x3故选：B3已知ab0，则（）Aa2abBabb2Ca2b2Da2b2【考点】不等式的基
8、本性质【分析】利用排除法，当a=2，b=1，则A，B，C不成立，根据基本不等式的性质即可判断D【解答】解：ab0，当a=2，b=1，则A，B，C不成立，根据基本性质可得a2b2，故选：D4当x0，y0， +=1时，x+y的最小值为（）A9B10C12D13【考点】基本不等式【分析】巧用1，将已知等式与x+y相乘，得到基本不等式的形式，利用基本不等式求最小值【解答】解：由已知x0，y0， +=1，所以x+y=（+）（x+y）=5+5+2=9；当且仅当即x=3，y=6时等号成立；故选A5已知关于x的方程为x2+x+n2=0，若n1，1，则方程有实数根的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】由题
9、意知方程的判别式大于等于零求出n的范围，再判断出所求的事件符合几何概型，再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率【解答】解：若关于x的方程x2+x+n2=0有实根，则=14n20，解得n；记事件A：关于x的方程为x2+x+n2=0，若n1，1，则方程有实数根，符合几何概型，P（A）=故选B6在ABC中，BC=2，B=，当ABC的面积等于时，AB=（）ABC1D【考点】正弦定理【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将BC，sinB，以及已知面积代入求出AB的长即可【解答】解：在ABC中，BC=2，B=，ABC的面积等于，SABC=ABBCsinB=，即AB2=，解得：AB=1，故选：C7若“ma
10、”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为（）A1B0C2D1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由“函数的图象不过第三象限”，可得0，解得m即可得出【解答】解：由“函数的图象不过第三象限”，可得0，解得m“ma”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，实数a能取的最大整数为1故选：D8已知动点M到椭圆=1左焦点的距离比到其右焦点的距离大2，则动点M的轨迹方程是（）ABCD【考点】直线与椭圆的位置关系；轨迹方程【分析】求出椭圆=1的焦点坐标，利用动点M到椭圆=1左焦点的距离比到其右焦点的距离大2，转化为双曲线的定义，求解即可【解答】解：椭圆=1
11、左焦点（2，0），右焦点为（2，0），动点M到椭圆=1左焦点的距离比到其右焦点的距离大2，可得点M的轨迹为：双曲线的右支，c=2，a=1，则b=，则动点M的轨迹方程是：故选：C9已知实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值与最小值之差为（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得B（，），可得A（，）化目标函数z=2x+3y，由图可知，当直线z=2x+3y过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为当直线z=2x+3y过A时，直线在
12、y轴上的截距最大，z有最大值为：则z=2x+3y的最大值与最小值之差为： =故选：B10若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（2）=0，则不等式xf（x）0的解集为（）A（2，0）（2，+）B（，2）（0，2）C（，2）（2，+）D（2，0）（0，2）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数的奇偶性求出f（2）=0，xf（x）0分成两类，分别利用函数的单调性进行求解【解答】解：f（x）为奇函数，且满足f（2）=0，且在（0，+）上是增函数，f（2）=f（2）=0，f（x）在（，0）内是增函数xf（x）0，或根据在（，0）内是增函数，在（0，+）内是增函数解得：
13、x（0，2）（2，0）故选：D11已知函数f（x）=Acos（x+）+Asin（x+）（A0，0，|）的最大值为2，周期为，将函数y=f（x）图象向右平移个单位得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）是偶函数，则函数f（x）的一条对称轴为（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律、正弦函数的奇偶性求出，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性得出结论【解答】解：函数f（x）=Acos（x+）+Asin（x+）=2Asin（x+）（A0，
14、0，|）的最大值为2A=2，A=1该函数的周期为=，=2，f（x）=2sin（2x+）将函数y=f（x）图象向右平移个单位得到函数y=g（x）=2sin2（x）+=2sin（2x+） 的图象，若函数y=g（x）是偶函数，则=k+，即 =k+，kZ，|，=，f（x）=2sin（2x）令2x=k+，求得x=+，可得函数f（x）的对称轴为x=+，kZ，故选：C12已知函数y=f（x）的定义域的R，当x0时，f（x）1，且对任意的实数x，yR，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列an满足f（an+1）f（）=1（nN*），且a1=f（0），则下列结论成立的是（）Af（a2013）f（a201
15、6）Bf（a2014）f（a2017）Cf（a2016）f（a2015）Df（a2013）f（a2015）【考点】抽象函数及其应用【分析】利用恒等式和赋值法求f（0）的值，由恒等式化简f（an+1）f（）=1，得到数列的递推公式，依次求出a2、a3、a4，判断数列an是周期数列，再由周期性求出a2013、a2014、a2015、a2016、a2017，即可比较大小，选出答案项【解答】解：对任意的实数x，yR，f（x）f（y）=f（x+y）恒成立，令x=1，y=0，则f（1）f（0）=f（1），当x0时，f（x）1，f（1）0，则f（0）=1，f（an+1）f（）=1=f（0），f（an+1+）
16、=f（0）=a1，则an+1+=0，即an+1=，且a1=1，当n=1时，a2=；当n=2时，a3=2；当n=3时，a4=1，数列an是以3为周期的周期数列，a2013=a3=2，a2014=a1=1，a2015=a2=，a2016=a3=2，a2017=a1=1，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若命题：“存在，使tan2xatanx20成立”为假命题，则实数a的取值范围为（，1【考点】命题的真假判断与应用【分析】令t=tanx，求得t的范围，由题意可得对任意，使tan2xatanx20成立，即有t2at20，1t，即为a=t，判断右边函数的单调性，求得最小值即可得到所求a的
17、范围【解答】解：令t=tanx，可得1t，命题：“存在，使tan2xatanx20成立”为假命题，则对任意，使tan2xatanx20成立，即有t2at20，1t，即为a=t，由f（t）=t，f（t）=1+0，可得f（t）在1，递增，即有f（1）取得最小值1，则a1故答案为：（，114已知坐标原点O到直线ax+by1=0（a，bR）的距离为，点Q（0，1）在以点P（a，b）为圆心的圆P上，则圆P的最大半径是+1【考点】直线与圆相交的性质【分析】利用坐标原点O到直线ax+by1=0（a，bR）的距离为，得出=，即2a2+b2=2，由|QP|2=a2+（b+1）2=（b+2）2（+2）2，即可求出
18、|QP|的最大值【解答】解：坐标原点O到直线ax+by1=0（a，bR）的距离为，=，2a2+b2=2，|QP|2=a2+（b+1）2=（b+2）2（+2）2，|QP|的最大值为+1，故答案为+115直线l与抛物线C：y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2=，则直线l过定点（3，0）【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】直线l：x=my+b，代入抛物线方程可化为y22my2b=0，y1y2=2b，结合k1k2=，即可得出结论【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），k1k2=，则=，又y12=2x1，y22=2x2，y1y2=6直线l：x=
19、my+b，代入抛物线方程可化为y22my2b=0，y1y2=2b，2b=6，b=3，即直线l：x=my3，l一定过点（3，0），故答案为：（3，0）16如图，四边形ABCD中，ABD是正三角形，ABC是等腰直角三角形，ABC=90，沿AB将ABD折起，使得平面ABD平面ABC，若三棱锥DABC的外接球的表面积为，则三棱锥DABC的侧面ACD的面积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】由题意，三棱锥DABC的外接球的半径为，再求出AB，即可求出三棱锥DABC的侧面ACD的面积【解答】解：由题意，三棱锥DABC的外接球的半径为，设AB=4a，球心到平面ABC的距离为h，则由勾股定理可得
20、=h2+8a2=，a=ACD中，AD=4a，AC=DC=4，三棱锥DABC的侧面ACD的面积为=，故答案为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（）求角C的值；（）若BC=2，BC边上的中线AM=，求AB【考点】正弦定理【分析】（）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosC=sinB，结合sinB0，可求cosC=，又C为三角形内角，即可得解C的值（）由已知及余弦定理可得AC2AC24=0，解得AC，进而在ABC中，由余弦定理，可求AB的值【解答】（本题满分为12分）解：（）因为，所以，由正弦定理，得=，
21、即2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sinB，因为sinB0，所以cosC=，因为C为三角形内角，所以C=（）在AMC中，CM=，AM=，C=，由余弦定理，得26=AC2+22ACcos，即AC2AC24=0，解得AC=4（舍去AC=3），在ABC中，由余弦定理，得AB2=（4）2+（2）22cos=24，所以AB=2 18已知数列an的各项均不为0，a1=，且满足3an+1an+2an+1an=0，数列bn满足bn=+1（）求证：数列bn为等比数列；（）若cn=，求数列cn的前n项和Sn【考点】数列的求和【分析】（）3an+1an+2an+1an=0，an0，可得=+2
22、，变形为： +1=，bn+1=3bn即可证明（）由（）知，bn=+1=3n可得an=，cn=n3nn，再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出【解答】（）证明：3an+1an+2an+1an=0，an0，可得=+2，变形为： +1=，数列bn满足bn=+1bn+1=3bna1=，b1=3，bn=+10数列bn是首项为3，公比为3的等比数列（）解：由（）知，bn=+1=3nan=，cn=n3nn，Sn=13+232+n3n（1+2+n），设Tn=13+232+n3n，3Tn=132+233+（n1）3n+n3n+1，得，2Tn=3+32+3nn3n+1=n3n+1=，解得Tn=
23、+Sn=+19如图，ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE平面ABCD（）证明：BDCE；（）若BE=CE=，求平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【分析】（）推导出BDBC，EFBC，从而EF平面ABCD，进而EFBD，由此得到BD平面BCE，从而BDCE（）以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x，y轴，以过点B且与FE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值【解答】证明：（）ABCD是平行四边形，且CD=AB=2BC=4，BD=2，CD2=B
24、D2+BC2，CBD=90，即BDBC，取BC的中点F，连接EF，BE=CE，EFBC，又平面BCE平面ABCD，平面BCE平面ABCD，EF平面ABCD，BD平面ABCD，EFBD，EFBC=F，EF，BC平面BCE，BD平面BCE，EC平面BCE，BDCE解：（）BE=CE=，由（）得EF=以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x，y轴，以过点B且与FE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系（如图），则A（2，2，0），D（0，2，0），E（1，0，3），=（3，2，3），=（1，2，3），设平面ADE的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=，得=（0，2），由（）知BD平面BCE，设平
25、面BCE的一个法向量为=（0，1，0），设平面ADE与平面BCE所成二面角为，则cos=，即平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值为20已知椭圆C：的焦距为4，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且=（） 求弦AB的长；（） 若直线l的斜率为k，且，求椭圆C的长轴长的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由题意可得c=2，F（2，0），设出A，B坐标，由中点坐标公式可得M，N的坐标，再由平面向量数量积坐标表示，即可得到所求弦长；（）设l方程为y=kx，和椭圆方程联立，解得交点坐标，化简整理，结合条件，解不等式即可得到所求范围【解答
26、】解：（）由题意可得c=2，F（2，0），设=1（x02+y02）=，则，所以AB的长为2=（）设l方程为y=kx，和椭圆方程，联立消元整理得，又，则则，则长轴长范围是4，6）21已知f（x）=loga是奇函数（其中a1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在（2，+）上的单调性并证明；（3）当x（r，a2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+），求a与r的值【考点】对数函数的图象与性质【分析】（1）f（x）是奇函数，则f（x）+f（x）=0即可求解m的值（2）定义证明（2，+）上的单调性即可（3）利用单调性当x（r，a2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+），求a与r的值【解答】解：（1）由题意
27、：f（x）是奇函数，则f（x）+f（x）=0，即loga+=0，解得：m=1，当m=1时，f（x）无意义，所以，故得m的值为1（2）由（1）得，设2x1x2，则f（x2）f（x1）=2x1x2，02x1x2+2（x1x2）4x1x2（x1x2）4，a1，f（x2）f（x1）所以：函数f（x）在（2，+）上的单调减函数（3）由（1）得，得，函数f（x）的定义域为（，2）（2，+）又，得f（x）（，0）（0，+）令f（x）=1，则=，解得：所以：f（）=1当a1时，2，此时f（x）在在（2，+）上的单调减函数所以：当x（2，）时，得f（x）1，+）；由题意：r=2，那么a2=，解得：a=5所以：当
28、x（r，a2），f（x）的取值范围恰为（1，+）时，a和r的值分别为5和2选修4-5：不等式选讲22（1）解不等式|x1|+|x4|5（2）求函数y=|x1|+|x4|+x24x的最小值【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法【分析】（1）通过当x1时，当1x4时，当x4时，去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可（2）利用绝对值不等式以及二次函数的最值求解即可【解答】解：（1）当x1时，1x+4x5，得x0，此时x0；当1x4时，x1+4x5，得35，此时x；当x4时，x1+x45，得x5，此时x5综上所述，原不等式的解集是（，05，+） （2）因为|x1|+|x4|（x1）（x4）|=3，当且仅当1x4时取等号；x24x=（x2）244，当且仅当x=2时取等号故|x1|+|x4|+x24x34=1，当x=2时取等号所以y=|x1|+|x4|+x24x的最小值为12017年3月11日