1、穿插滚动练(四)1设全集Ux|x3，Ax|x1，则UA_.答案x|1x3解析因为Ux|x3，Ax|x1，则UAx|1xb0，且ab1，若0c1，plogc，qlogc()2，则p，q的大小关系是_答案pab1，plogclogclogc0，qp.6(2014徐州模拟)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足ax，且f(x)g(x)f(x)g(x)，若有穷数列 (nN*)的前n项和等于，则n_.答案5解析令h(x)，则h(x)0，故函数h(x)为减函数，即0a1.再根据，得a，解得a2(舍去)或者a.所以n，数列的前n项和是1，由于1，所以n5.7在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的
2、中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中正确论断的序号为_答案解析如图，PABC为正三棱锥，PBAC.又DEAC，DE平面PDE，AC平面PDE，AC平面PDE.故正确8已知函数f(x) 则ff(x)1的充要条件是_答案x(，4，)解析当x0时，ff(x)1，所以x4；当x0.1与1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.10类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)axax，C(x)axax，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是_S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(
3、x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)答案解析经验证易知错误依题意，注意到2S(xy)2(axyaxy)，又S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)，综上所述，填.11如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_答案解析利用三棱锥的体积公式直接求解111.12(2014北京)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，a80.a7a10a8a9
4、0，a9a80，且x1x2a32，x1x2a1，联立可得0a0，且x3x4a32，x3x4a1，联立可得a9，综上知，0a9.15已知函数f(x)2sin x，g(x)2sin，直线xm与f(x)，g(x)的图象分别交于M、N两点，则MN的最大值为_答案2解析构造函数F(x)2sin x2cos x2sin，故最大值为2.16(2014辽宁)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解(1)由2得cacos B2.又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292
5、613.解得或因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B.因为abc，所以C为锐角，因此cos C .于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.17.如图所示，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；(2)设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE.(1)证明AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，AE平面ABE，AEBC.又BF平面ACE，AE平面ACE，AEBF.BCBFB，AE平面BCE，又BE平面BCE，AEBE
6、.(2)解在ABE中过M点作MGAE交BE于G点，在BEC中过G点作GNBC交EC于N点，连结MN，则由比例关系易得CNCE.MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE.同理，GN平面ADE.又GNMGG，平面MGN平面ADE.又MN平面MGN，MN平面ADE.N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点18为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP 260万元；乙项目每项投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP 200万元，已知该地为甲、乙两项目最多可投资3 000万元，配
7、套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP最大？解设甲项目投资x(单位：百万元)，乙项目投资y(单位：百万元)，两项目增加的GDP为z260x200y，依题意，x、y满足所确定的平面区域如图中阴影部分，解得即A(10,20)解得即B(20,10)设z0，得y1.3x，将直线y1.3x平移至经过点B(20,10)，即甲项目投资2 000万元，乙项目投资1 000万元时，两项目增加的GDP最大19(2014浙江)如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；
8、(2)求二面角BADE的大小(1)证明在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC.由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC.又平面ABC平面BCDE，平面ABC平面BCDEBC，从而AC平面BCDE，又DE平面BCDE，所以ACDE.又DEDC，从而DE平面ACD.(2)解方法一(1)如图(1)，作BFAD，与AD交于点F，过点F作FGDE，与AE交于点G，连结BG，由(1)知DEAD，则FGAD.所以BFG是二面角BADE的平面角在直角梯形BCDE中，由CD2BC2BD2，得BDBC，又平面ABC平面BCDE，得BD平面ABC，从而BDAB.由于AC平面BCDE，得ACC
9、D.在RtACD中，由DC2，AC，得AD.在RtAED中，由ED1，AD，得AE.在RtABD中，由BD，AB2，AD，得BF，AFAD，从而GF，AG.在ABE，ABG中，利用余弦定理分别可得cosBAE，BG.在BFG中，cosBFG.所以BFG，即二面角BADE的大小是.(2)方法二以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图(2)所示由题意知各点坐标如下：D(0,0,0)，E(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,2，)，B(1,1,0)设平面ADE的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n(x2，y2，z2)，可算得(0，2，
10、)，(1，2，)，(1,1,0)由得可取平面ADE的一个法向量m(0,1，)由得可取平面ABD的一个法向量n(1，1，)于是|cosm，n|.由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角BADE的大小是.20已知各项全不为零的数列an的前n项和为Sn，Sn，nN*.(1)求证：数列an为等差数列；(2)若a23，求证：当nN*时，.证明(1)由S1a1知a11.当n2时，anSnSn1，化简得(n2)an(n1)an110，以n1代替n得(n1)an1nan10.两式相减得(n1)an12(n1)an(n1)an10.则an12anan10，其中n2.所以，数列an为等差数列(2)由a11，a23，
11、结合(1)的结论知an2n1(nN*)于是(1)()()(1).即当nN*时，.21(2014盐城模拟)已知函数f(x)ln xax1在x2处的切线斜率为.(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)，对x1(0，)，x2(，0)使得f(x1)g(x2)成立，求正实数k的取值范围；(3)证明： 0)，f(2)a，解得a1.于是f(x)1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数，当x(1，)时，f(x)0，f(x)为减函数，即f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)解由(1)知x1(0，)，f(x1)f(1)0，即f(x1)的最大值为0，由题意知：对x1(0，)，x2(，0)使得f(x1)g(x2)成立，只需f(x)maxg(x)max.g(x)x2k2k22k，只需2 2k0，解得k1.(3)证明要证明(nN*，n2)只需证，只需证.由(1)当x(1，)时，f(x)0，f(x)为减函数，f(x)ln xx10，即ln xx1，当n2时，ln n2n21，111，n1，.