1、北京市东城区2015-2016学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）本试卷共100分，考试时长120分钟。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 圆的半径为（ ）A. 1B. C. 2D. 42. 直线的倾斜角是（ ）A. 30B. 60C. 120D. 1503. 过点（1，0）且与直线0平行的直线方程为（ ）A. B. C. D. 4. 双曲线的实轴长为（ ）A. 2B. C. 4D. 5. 已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若m，则mnB. 若m，mn，则nC. 若mn，则nD. 若m，则
2、mn6. 若满足，则的最大值为（ ）A. 0B. 1C. D. 27. 已知抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 128. 一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10. 甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示。现有下列四种说法：前三年该产品产量增长速度越来越快；前三年该产品产量增长速度越来越慢；第三年后该产品停止生产；第三年后该产品年产量保持不变。其中说法正确的是（
3、）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 抛物线的准线方程为_。12. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于_。13. 双曲线的两条渐近线的方程为_。14. 是的导函数，则_。15. 设椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，已知，则C的离心率为_。16. 如图所示，正方体的棱长为1，M是线段上的动点，过点M作平面的垂线交平面于点N，则点N到点A距离的最小值为_。三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知三角形的三个顶点，求BC边上中线
4、和高线所在的直线方程。18.（本小题满分10分）已知圆C经过两点，且圆心在直线上。（）求圆C的方程；（）设直线经过点，且与圆C相交所得弦长为，求直线的方程。19.（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，PAPB，且侧面PAB平面ABCD，点E是AB的中点。（）求证：CD平面PAB；（）求证：PEAD；（）若CACB，求证：平面PEC平面PAB。20.（本小题满分11分）已知函数。（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求在上的最小值。21.（本小题满分11分）已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点F的直线交椭圆于P，Q两点。（）求椭圆的方程；（）当直线的斜率为1时，求POQ的面积；
5、（）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程。【试题答案】一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. C2. A3. A4. C5. A 6. D7. B8. B9. D10. D二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 12. 13. 14. 315. 16. 三、解答题（共5小题，共52分）17.（本小题满分10分）解：设BC边中点为，因为，所以，。所以。2分又A（4，6），。4分所以BC边上中线所在的直线方程为。6分设BC边上的高线为AH，因为AHBC，所以。8分所以BC边上高线所在的直线方程为。10分18.（本小题满分10分）解：（）设圆C的圆
6、心坐标为。依题意，有，即，解得。2分所以，4分所以圆C的方程为。5分（）依题意，圆C的圆心到直线的距离为1，所以直线符合题意。6分设直线的方程为，即，则，解得。所以直线的方程为，即。9分综上，直线的方程为或。10分19.（本小题满分10分）解：（）因为底面ABCD是菱形，所以CDAB。1分又因为平面PAB，2分且平面PAB，所以CD平面PAB。3分（）因为PAPB，点E是棱AB的中点，所以PEAB，4分因为平面PAB平面ABCD，平面PAB，所以PE平面ABCD，6分因为平面ABCD，所以PEAD。7分（）因为CACB，点E是AB的中点，所以CEAB。8分由（）可得PEAB，又因为，所以AB平
7、面PEC，9分又因为平面PAB，所以平面PAB平面PEC。10分20.（本小题满分11分）解：。2分（）当时，所以切线方程为，即。4分（）令，解得：。，则当时，在上单调递减，所以，当时，取得最小值，最小值为。6分，则当时，当x变化时，的变化情况如下表：220极小值所以，当时，取得最小值，最小值为。8分，则当时，在上单调递增，所以，当时，取得最小值，最小值为。10分综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为。11分21.（本小题满分11分）解：（）由已知，椭圆方程可设为。1分因为长轴长为，离心率，所以，所求椭圆方程为。3分（）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为1，所以直线的方程为。4分设，由得，解得，所以。6分（）当直线与x轴垂直时，直线的方程为，此时POQ小于90，OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形。7分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为。由可得。因为，所以。9分因为，所以。因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，所以，因为，所以 得。10分所以。所以所求直线的方程为。11分