1、第4课时(小专题)圆周运动的临界问题突破一 水平面内圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题。1与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有 fmmv2r，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。2与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间
2、的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。【典例1】(多选)(2014新课标全国卷，20)如图1，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()图1Ab 一定比 a 先开始滑动Ba、b 所受的摩擦力始终相等Ckg2l是 b 开始滑动的临界角速度D当 2kg3l 时，a 所受摩擦力的大小为 kmg解析 木块 a、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动
3、提供的最大向心力，即最大静摩擦力 Ff mkmg 相同。它们所需的向心力由 F 向m2r 知 FaFb，所以 b 一定比 a 先开始滑动，A项正确；a、b 一起绕转轴缓慢地转动时，fm2r，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有 kmgm22l，其临界角速度为 bkg2l，选项 C 正确；当 2kg3l 时，a所受摩擦力大小为 fm2r23kmg，选项 D 错误。答案 AC解决此类问题的一般思路首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态，其次分析该状态下物体的受力特点，最后结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析。【变式训练】1如图2所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，
4、水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OAOBAB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是()图2AOB 绳的拉力范围为 0 33 mgBOB 绳的拉力范围为 33 mg2 33 mgCAB 绳的拉力范围为 33 mg2 33 mgDAB 绳的拉力范围为 02 33 mg解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为 T1，则 2T1cos 30mg，T1 33 mg，增大转动的角速度，当 AB 绳的拉力刚好等于零时，
5、OB 绳的拉力最大，设这时 OB 绳的拉力为 T2，则 T2cos 30mg，T22 33 mg，因此 OB 绳的拉力范围为 33 mg2 33 mg，AB 绳的拉力范围为 0 33 mg，B 项正确。答案 B突破二 竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型1“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。2有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运
6、动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mgNmv2RmgNmv2R异同点临界特征N0 mgmv2minR 即vmin gRv0 即 F 向0 Nmg过最高点的条件在最高点的速度v gRv0【典例 2】(多选)如图 3 所示，长为 L 的轻杆一端固定质量为 m 的小球，另一端固定转轴 O，现使小球在竖直平面内做圆周运动。P 为圆周轨道的最高点。若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为92gL，则以下判断正确的是()图 3A小球不能到达 P 点B小球到达 P 点时的速度小于 gLC小球能到达 P 点，但在 P
7、 点不会受到轻杆的弹力D小球能到达 P 点，且在 P 点受到轻杆向上的弹力解析 根据机械能守恒定律 2mgL12mv212mv2P，可求出小球在 P 点的速度为12gL gL，故 B 正确，A 错误；计算出向心力 F12mg，故小球在 P 点受到轻杆向上的弹力，故 C 错误、D 正确。答案 BD竖直面内圆周运动类问题的解题技巧(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。(2)确定临界点：抓住绳模型中最高点 v gR及杆模型中 v0这两个临界条件。(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。(4)受力分析：对物体在最高点或最低点
8、时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合F向。(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。【变式训练】2.如图4所示，质量为m的小球自由下落高度为R后沿竖直平面内的轨道ABC运动。AB是半径为R的1/4粗糙圆弧，BC是直径为R的光滑半圆弧，小球运动到C时对轨道的压力恰为零，B是轨道最低点，求：图4(1)小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功；(2)小球经B点前、后瞬间对轨道的压力之比。解析(1)在 C 点小球对轨道压力为零，有 mgm v2CR/2从开始下落到 C 点，有 mgRWf12mv2C所以 Wf34mgR。(2)从开始下落到 B 点 2mgRWf12mv2B或从 B 点到 C 点12mv2BmgR12mv2C由牛顿第二定律知 N 前mgmv2BRN 后mgm v2BR/2所以 N 前N 后712。答案(1)34mgR(2)712