1、四川省雅安中学2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合A=1，2，3，5，7，B=xZ|1x6，全集U=AB，则ACUB=（）A1，4，6，7B2，3，7C1，7D12（5分）命题“存在x0R，使2x00”的否定是（）A不存在x0R，使2x00B存在x0R，使2x00C对任意的xR，使2x0D对任意的xR，使2x03（5分）已知x、y的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若从散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+，则的值等于（）A2.6B6.3C2D
2、4.54（5分）在等差数列an中，已知a2与a4是方程x26x+8=0的两个根，若a4a2，则a2014=（）A2012B2013C2014D20155（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A2B1CD16（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积为（）A2（1+2）+4B2（1+）+4C4（1+）+4D2（2+）+47（5分）有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，朝上数字为b，若|ab|1就称甲、
3、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（）ABCD8（5分）已知函数的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则的取值范围是（）AB（，）（1，+）CD9（5分）已知两个实数a，b（ab），满足aea=beb，命题p：lna+a=lnb+b；命题q：（a+1）（b+1）0则下面命题正确的是（）Ap真q假Bp假q真Cp真q真Dp假q假10（5分）若实数u，v，s，t满足（v+u23lnu）2+（st+2）2=0，则的最小值为（）ABC2D4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分将答案填在题中的横线上）11（5分）集合A=x|y
4、=，xR，B=y|y=2x+1，xR，则AB=12（5分）已知圆C的圆心为（0，1），直线4x3y2=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=2，则圆C的半径为13（5分）如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体O1，O2，O2分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点则异面直线AF与GO2所成的角的余弦值为14（5分）在平面直角坐标系xOy中过定点Q（1，1）的直线l与曲线C：y=交与M，N点，则=15（5分）如图，A是两条平行直线l1，l2之间的一个定点，且A到l1，l2的距离分别为AM=1，AN
5、=2，设ABC的另两个顶点B，C分别在l1，l2上运动，且ABAC，=，则以下结论正确的序号是ABC是直角三角形；+的最大值为；（S四边形MBCN）min=（SABC）min+（SAMB+SACN）min；设AMB的周长为y1，ACN的周长为y2，则（y1+y2）min=10三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）已知数列an满足（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列an2是等比数列；（3）求an，并求an前n项和Sn17（12分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，A
6、DE=（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，最大？18（12分）某次网球比赛分四个阶段，只有上一阶段的胜者，才能参加继续下一阶段的比赛，否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积10分，否则积0分甲、乙两个网球选手参加了此次比赛已知甲每个阶段取胜的概率为，乙每个阶段取胜的概率为（1）求甲、乙两人最后积分之和为20分的概率；（2）设甲的最后积分为X，求X的分布列和数学期望19（12分）如图，AB
7、是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点（）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明（）设（）中的直线l与圆O的另一个交点为D，记直线DF与平面ABC所成的角为，直线DF与直线BD所成的角为，二面角EBDC的大小为，求证：sin=sinsin20（12分）设函数f（x）=（m3）ex，g（x）=2ax+1+blnx，其中m，a，bR，曲线g（x）在x=1处的切线方程为y=3x（1）求函数g（x）的解析式；（2）若f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求m的取值范围；（3）讨论关于x的方程f（x）=g（x
8、）根的个数21（15分）已知抛物线C2：x2=2py（p0）的通径长为4，椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为，且过抛物线C2的焦点（1）求抛物线C2和椭圆C1的方程；（2）过定点M（1，）引直线l交抛物线C2于A，B两点（点A在点B的左侧），分别过A、B作抛物线C2的切线l1，l2，且l1与椭圆C1相交于P，Q两点记此时两切线l1，l2的交点为点C求点C的轨迹方程；设点D（0，），求DPQ的面积的最大值，并求出此时点C的坐标四川省雅安中学2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
9、目要求的）1（5分）设集合A=1，2，3，5，7，B=xZ|1x6，全集U=AB，则ACUB=（）A1，4，6，7B2，3，7C1，7D1考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：先把集合B利用列举法表示出来，然后求出集合A与B的并集，根据题意确定出全集U，根据全集U和集合B，求出集合B的补集，最后求出集合B补集与集合A的交集即可解答：解：B=xZ|1x6=2，3，4，5，6，集合A=1，2，3，5，7，全集为U=AB=1，2，3，4，5，6，7，CUB=1，7，则ACUB=1，7故选C点评：此题考查了交集、补集及并集的混合运算，利用列举法表示出集合B，求出A与B的并集，确定出全集U是本
10、题的突破点，学生在求补集时注意全集的范围2（5分）命题“存在x0R，使2x00”的否定是（）A不存在x0R，使2x00B存在x0R，使2x00C对任意的xR，使2x0D对任意的xR，使2x0考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据特称命题的否定是全称命题，可以直接写出答案来解答：解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0R，使2x00”的否定是“对任意的xR，使2x0”故选：D点评：本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，应记住“特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题”3（5分）已知x、y的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若从散点图分析，y与x线性相
11、关，且=0.95x+，则的值等于（）A2.6B6.3C2D4.5考点：线性回归方程 专题：计算题分析：首先求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出a的值解答：解：=4.5，这组数据的样本中心点是（2，4.5）y与x线性相关，且=0.95x+，4.5=0.952+a，a=2.6，故选A点评：本题考查线性回归方程的求解和应用，应注意线性回归方程恒过样本中心点，是一个基础题4（5分）在等差数列an中，已知a2与a4是方程x26x+8=0的两个根，若a4a2，则a2014=（）A2012B2013C2014D2015考点：等差数列的性质 专题：等差数
12、列与等比数列分析：利用一元二次方程的根与系数关系列式，解方程组求出a4，a2的值，然后代入等差数列的通项公式得答案解答：解：由题意知，a2+a4=6，a2a4=8，又a4a2，a4=4，a2=2，an=a1+（n1）d=n，a2014=2014故选：C点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题5（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A2B1CD1考点：程序框图 专题：计算题；算法和程序框图分析：根据框图的流程模拟运行程序，发现a值出现的规律，根据条件确定跳出循环的i值，从而确定输出的a值解答：解：由程序框图知，第一次循环a=1，i=2；第二次循环a=，
13、i=3；第三次循环a=2，i=4，第四次循环a=1，i=5，a值的周期为3，跳出循环的i值为2015，又2014=3671+1，输出a=1故选：D点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序，发现a值出现的规律是解答本题的关键6（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积为（）A2（1+2）+4B2（1+）+4C4（1+）+4D2（2+）+4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：几何体是半圆锥，根据三视图的数据判断底面半径与高，求母线长，把数据代入表面积公式计算解答：
14、解：由三视图知：几何体是半圆锥，其中底面半径为2，高为2母线长为=2几何体的表面积S=22+4+2=2+4+2故选：B点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键7（5分）有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，朝上数字为b，若|ab|1就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（）ABCD考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：分别求出甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件及“甲、乙两人默契配合”所包含的基本
15、事件，代入古典概型概率计算公式，可得答案解答：解：甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件有36种，其中“甲、乙两人默契配合”所包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16种甲乙两人“默契配合”的概率为P=故选：D点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键8（5分）已知函数的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则的取值
16、范围是（）AB（，）（1，+）CD考点：函数在某点取得极值的条件 专题：压轴题；数形结合分析：先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，而 可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可解答：解：函数 f（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内画出区域如图，而 可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，M，N两个点为边界处的点，当连线过M（3，1）时，当连线过N（1，0）时，由图知 故选C点
17、评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题9（5分）已知两个实数a，b（ab），满足aea=beb，命题p：lna+a=lnb+b；命题q：（a+1）（b+1）0则下面命题正确的是（）Ap真q假Bp假q真Cp真q真Dp假q假考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：由已知aea=beb可联想构造函数y=xex，求导后由函数的单调性结合x1时y恒小于0可得a，b均小于0而且一个比1大一个比1小，由此可以得到选项解答：解：构造函数y=xex，则y=ex+xex=（x+1）ex，ex0，当x1时，y0，函数y=xex为减函数，当x1时，y0，函数y=xex为增函
18、数，要使aea=beb，则a，b必须均小于0而且一个比1大一个比1小，命题p为假命题，命题q为真命题故选：B点评：本题考查命题的真假判断与应用，训练了函数构造法，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题10（5分）若实数u，v，s，t满足（v+u23lnu）2+（st+2）2=0，则的最小值为（）ABC2D4考点：两点间距离公式的应用 专题：数形结合分析：由题意先求的最小值，转化为曲线y=x2+3lnx上点到直线l：xy+2=0上点的距离的最小值，作图可得点M到直线l的距离为d，代入要求的式子化简即可解答：解：表示点（u，v）与（s，t）之间的距离，先求的最小值由（v+u23lnu）2+（st
19、+2）2=0可知v=u2+3lnu，st+2=0，即点（u，v），（s，t）分别是曲线y=x2+3lnx与直线xy+2=0上的动点，要求的最小值，只要求曲线y=x2+3lnx上点到直线l：xy+2=0上点的距离的最小值，如图所示：设曲线y=x2+3lnx在点M（m，n）处的切线l与直线l平行，则y=2x+，2m+=1，解得m=1或m=（舍），点M的坐标为（1，1），则点M到直线l的距离为d=2，的最小值为=2故选：C点评：本题考查数形结合的思想，涉及距离公式和曲线的切线，属中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分将答案填在题中的横线上）11（5分）集合A=x|y=，xR，B=y|
20、y=2x+1，xR，则AB=x|x1考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可解答：解：由集合A中y=，得x10，即x1，A=x|x1，由集合B中y=2x+11，得到B=x|x1，则AB=x|x1故答案为：x|x1点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键12（5分）已知圆C的圆心为（0，1），直线4x3y2=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=2，则圆C的半径为考点：圆的标准方程 专题：计算题；直线与圆分析：利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，再由弦长公式，即可求出圆C的半径解答：解：圆心到直线
21、的距离d=1直线4x3y2=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=2，R2=（）2+d2=5+1=6，所求圆的半径为故答案为：点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求出圆心到直线的距离是解题的关键13（5分）如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体O1，O2，O2分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点则异面直线AF与GO2所成的角的余弦值为考点：异面直线及其所成的角 专题：空间角分析：连接AF、FB、BG、GC，由圆的性质可知，G、B、F三点共线，且AFBCGB，
22、可得AFCG，则CGO2即为所求的角或其补角，然后利用余弦定理在三角形CGO2求解即可解答：解：如图，连接AF、FB、BG、GC，F为半圆弧AFB的中点，G为半圆弧BGC的中点，由圆的性质可知，G、B、F三点共线，且AF=CG，FB=GB，AB=BC，AFBCGB，AFCG，则CGO2即为所求的角或其补角，又半径为1，高为2，且AFB，CGB都是等腰Rt，CG=，CO2=，在CGO2中，cosCGO2=，即异面直线AF与GO2所成的角余弦值故答案为：点评：这个题有些打破传统，是利用圆的性质来完成异面直线所成的角向相交直线所成角的转化，然后在三角形中利用余弦定理求角14（5分）在平面直角坐标系x
23、Oy中过定点Q（1，1）的直线l与曲线C：y=交与M，N点，则=4考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：将曲线C变形为y=1+，明确与y=的关系，知道其对称中心为Q（1，1），则=解答：解：将曲线C变形为y=1+，则可知对称中心为Q（1，1），=故答案为：4点评：本题考查了向量的加减运算，关键是将曲线C变形，得到Q恰好为M，N的中点15（5分）如图，A是两条平行直线l1，l2之间的一个定点，且A到l1，l2的距离分别为AM=1，AN=2，设ABC的另两个顶点B，C分别在l1，l2上运动，且ABAC，=，则以下结论正确的序号是ABC是直角三角形；+的最大值为；（S四边形MBCN）
24、min=（SABC）min+（SAMB+SACN）min；设AMB的周长为y1，ACN的周长为y2，则（y1+y2）min=10考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由正弦定理得：=，则可求得sin2C=sin2B，进而根据ABAC，进而求得A+B的值，则A的值可求得设，则可分别表示出CNA，AB，AC，MB，CN，则+可表示出来，利用两角和公式整理后利用三角函数性质求得其最大值；分别运用表示出四边形MBCN，和三角形ABC的面积利用基本不等式求得其最小值；用表示出y1+y2，令，进而利用二次函数的性质求得其最小值解答：解：由正弦定理得：=，则sin2C=sin2B，又ABAC，所以正确；设，则
25、，MB=tan，CN=2cot，则，所以正确；，所以错误；，令，（当时取等），所以正确故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式的应用，函数思想以及转化与化归思想的运用三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）已知数列an满足（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列an2是等比数列；（3）求an，并求an前n项和Sn考点：数列的求和；等比关系的确定 专题：计算题分析：（1）由数列an满足，分别令n=1，2，3，能求出a2，a3，a4的值（2）由，能够证明数列an2是等比数列（3）由（2）得，由此能求出an前n项和Sn解答：解：
26、（1）数列an满足，（3分）（2），又a12=1，数列an2是以1为首项，为公比的等比数列（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，（ 9分）（12分）点评：本题考查数列中各项的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化17（12分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提
27、高测量精确度若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，最大？考点：解三角形的实际应用 专题：解三角形分析：（1）在RtABE中可得AD=，在RtADE中可得AB=，BD=，再根据ADAB=DB即可得到H（2）先用d分别表示出tan和tan，再根据两角和公式，求得tan（）=，再根据均值不等式可知当d=55时，tan（）有最大值即有最大值，得到答案解答：解：（1）=tanAD=，同理：AB=，BD=ADAB=DB，故得=，得：H=124因此，算出的电视塔的高度H是124m（2）由题设知d=AB，得tan=，tan=，tan（）=d+2，（当且仅当d=55时，取等号）故当d=55时，tan（）
28、最大因为0，则0，所以当d=55时，最大故所求的d是55m点评：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决18（12分）某次网球比赛分四个阶段，只有上一阶段的胜者，才能参加继续下一阶段的比赛，否则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积10分，否则积0分甲、乙两个网球选手参加了此次比赛已知甲每个阶段取胜的概率为，乙每个阶段取胜的概率为（1）求甲、乙两人最后积分之和为20分的概率；（2）设甲的最后积分为X，求X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 专题：应用题；概率与统计分析：（1）甲、乙两人最后积分之
29、和为20分分为：甲得0分、乙得20分；甲得10分、乙得10分；甲得20分、乙得0分，即可求出概率；（2）X的取值可为：0，10，20，30，40，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望解答：解：（1）设“甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件A，“甲得0分、乙得20分”为事件B，“甲得10分、乙得10分”为事件C，“甲得20分、乙得0分”为事件D，又P（B）=，P（C）=，P（D）=，P（A）=P（B+C+D）=P（B）+P（C）+P（D）=；（6分）（2）X的取值可为：0，10，20，30，40，P（X=0）=1=，P（X=10）=（1）=，P（X=20）=，P（X=30）=，P（X=4
30、0）=所以X的分布列可为X010203040P数学期望EX=0+10+20+30+40=（12分）点评：本题这种类型是近几年2015届高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，确定变量的取值，正确求概率是关键19（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点（）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明（）设（）中的直线l与圆O的另一个交点为D，记直线DF与平面ABC所成的角为，直线DF与直线BD所成的角为，二面角EBDC的大小为，求证：sin=sinsin考点：与二面角有关的立
31、体几何综合题；空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间角分析：（I）由已知条件推导出EFAC，从而得到EF平面ABC，由此能证明l平面PAC（II）过B作AC的平行线BD，交线l即为直线BD，且lAC，由已知条件推导出CBF=，CDF=，BDF=，由此能证明sin=sinsin解答：（I）解：E，F分别是PA，PC的中点，EFAC，AC平面ABC，EF不包含于平面ABC，EF平面ABC又EF平面BEF，平面BEF平面ABC=lEFl，l平面PAC（4分）（II）证明：如图，过B作AC的平行线BD，由（I）知，交线l即为直线BD，且lACAB是O的直径，ACBC，于是BDBCPC平面ABC，P
32、CBD，BD平面PBC连接BE，BF，则BDBFCBF就是二面角EBDC的平面角，即CBF=（7分）连结CD，PC平面ABC，CD就是FD在平面ABC内的射影，CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即CDF=又BD平面PBC，BDBF，则BDF为锐角，BDF=（9分）在RtCDF，RtBDF，RtBCF中，分别得sin=，sin=，sin=，sinsin=sin，sin=sinsin（12分）点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断与证明，考查三角函数正弦值相等的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）设函数f（x）=（m3）ex，g（x）=2ax+1+blnx，其中m，
33、a，bR，曲线g（x）在x=1处的切线方程为y=3x（1）求函数g（x）的解析式；（2）若f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求m的取值范围；（3）讨论关于x的方程f（x）=g（x）根的个数考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（1）由导数的几何意义求得a，b的值即可得出结论；（2）由题意，（m3）ex2x+1+lnx对一切x0恒成立，分离参数m得，令，利用导数求得h（x）的最大值，即可得出结论（3）由题意，原方程等价于分离参数后的方程m=+3，令，利用导数判断函数的单调性，数形结合即可得出结论解答：解：（1）
34、，则g（1）=2a+b=3，又g（1）=2a+1=3，解得a=1，b=1，所以g（x）=2x+1+lnx（2）由题意，（m3）ex2x+1+lnx对一切x0恒成立，分离参数m得，令，则，令，探根：令x=1，则t（1）=0，又，说明函数t（x）过点（1，0），且在（0，+）上单调递减，其大致图象如图观察图象即知，当x（0，1）时，t（x）0；当x（1，+）时，t（x）0又易知h（x）与t（x）同号，所以h（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+）上单调递减，即，故所求m取值范围为（3）由题意，原方程等价于分离参数后的方程m=+3，仍令，则由（1）知：h（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+）上
35、单调递减又当x0+时，h（x）；当x+时，h（x）3，即直线x=0（y轴）和y=3是函数h（x）图象的两条渐近线，所以h（x）的大致图象如图2，观察图象即知：当m=+3或m（，3时，方程f（x）=g（x）根的个数为1；当m（3，+3）时，f（x）=g（x）根的个数为2；当m（+3，+）时，f（x）=g（x）根的个数为0点评：本题主要考查利用导数研究函数的切线问题，研究函数的单调性、最值等知识，考查学生转化划归思想、分类讨论思想的运用能力及分析问题、解决问题的能力，属难题21（15分）已知抛物线C2：x2=2py（p0）的通径长为4，椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为，且过抛物线C2的焦点（1
36、）求抛物线C2和椭圆C1的方程；（2）过定点M（1，）引直线l交抛物线C2于A，B两点（点A在点B的左侧），分别过A、B作抛物线C2的切线l1，l2，且l1与椭圆C1相交于P，Q两点记此时两切线l1，l2的交点为点C求点C的轨迹方程；设点D（0，），求DPQ的面积的最大值，并求出此时点C的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由抛物线C2：x2=2py（p0）的通径长为4，得p=2，由此能求出抛物线C2的方程由题意C2焦点坐标为（0，1），e=，由此能求出椭圆C1的方程（2）设直线l：y=kx+（k+）联立，得x24kx4k6=0由已知条件求出l1：y
37、=，l2：y=，由此能求出点C的轨迹方程设l1：y=kx+b，代入，得：（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，由此利用韦达定理和根的判别式结合已和条件能求出DPQ的面积的最大值和此时点C的坐标解答：解：（1）抛物线C2：x2=2py（p0）的通径长为4，2p=4，解得p=2，抛物线C2的方程为x2=4y由题意C2焦点坐标为（0，1），b=1，离心率为，e=，解得a=2，椭圆C1的方程为（2）设直线l的斜率为k，则直线l：y=k（x+1），即y=kx+（k+）联立，得x24kx4k6=0设A（s，），B（t，），st，则s+t=4k，st=4k6，抛物线y=，则l1：y=（xs），即l1：
38、y=，同理l2：y=，由，得x=2k，y=，x+2y+3=0l1与椭圆C1相交于P，Q两点，由，得，l1与椭圆C1相交于P，Q两点，=（s3）24（s2+1）（）0，解得0由，得x=点C的轨迹方程为x+2y+3=0（x）设l1：y=kx+b，代入，得：（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则设l1与y轴交于点E，则=（*）由l1：y=kx+b与抛物线相切，得：x24kx4b=0，=16k2+16b=0，k2=b，代入（*）得：SDPQ=b=2时，10成立，DPQ的面积的最大值为此时直线，由，得x=，y=此时点点评：本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意直线和圆锥曲线的位置关系的灵活运用
