1、20102014年高考真题备选题库第二章 函数、导数及其应用第九节 函数模型及其应用1(2014北京，5分)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p 与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc (a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A3.50分钟 B3.75分钟 C4.00分钟 D4.25分钟解析：由实验数据和函数模型知，二次函数pat2btc的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得解得所以p0.2t21.5t20.2(t3.75)20
2、.812 5，所以当t3.75分钟时，可食用率p最大故选B.答案：B2（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_(m)解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力如图，过A作AHBC于H，交DE于F，易知AFxFH40x.则Sx(40x)2，当且仅当40xx，即x20时取等号所以满足题意的边长x为20(m)答案：203（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面
3、的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨论思想(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)由h0，且r0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r
4、(5,5)时，V(r)0，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求I长度的最小值解：本题考查含参数的一元二次不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2，故f(x)0的解集为x|x1xx2因此区间I，I的长度为.(2)设d(a)，则d(a).令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka0，d(a)单调递增；当1a1k时，d(a)0，d(a)单调递减所以当1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或 a1k处取
5、得而1，故d(1k)d(1k)因此当a1k时，d(a)在区间1k,1k上取得最小值.5（2012陕西，14分）设函数f(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)设n2，b1，c1，证明：f(x)在区间(，1)内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(1)|1，|f(1)|1，求b3c的最小值和最大值；(3)设n2，若对任意x1，x21,1，有|f(x1)f(x2)|4，求b的取值范围解：(1)证明：当b1，c1，n2时，f(x)xnx1.f()f(1)()10，f(x)在(，1)上是单调递增的，f(x)在(，1)内存在唯一零点(2)法一：由题意知即由图象知，b3c在点(0，2)处取到最小值6，在点
6、(0,0)处取到最大值0，b3c的最小值为6，最大值为0.法二：由题意知1f(1)1bc1，即2bc0，1f(1)1bc1，即2bc0，2得62(bc)(bc)b3c0，当b0，c2时，b3c6；当bc0时，b3c0，所以b3c的最小值为6，最大值为0.法三由题意知解得b，c，b3c2f(1)f(1)3.又1f(1)1，1f(1)1，6b3c0，当b0，c2时，b3c6；当bc0时，b3c0，所以b3c的最小值为6，最大值为0.(3)当n2时，f(x)x2bxc.对任意x1，x21,1都有|f(x1)f(x2)|4等价于f(x)在1,1上的最大值与最小值之差M4.据此分类讨论如下：()当|1，
7、即|b|2时，M|f(1)f(1)|2|b|4，与题设矛盾()当10，即03)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解：(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，0r3，所以c20，当r30时，r.令 m，则m0.所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2即3c时，当r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r .