1、2016-2017学年广东省揭阳市华侨中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（60分，每题5分）1已知集合A=x|x22x30，Z为整数集，则集合AZ中所有元素的和为（）A1B2C3D42已知复数，则的虚部为（）A3B3C3iD3i3某高中共有2000名学生，其中各年级男生、女生的人数如表所示，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级中应抽取的学生人数是（）高一高二高三女生373mn男生377370pA8B16C28D324如图所示，程序框图的输出值S=（）A21B15C28D215若双曲线+=1（m0n）的渐近
2、线方程是y=x，则该双曲线的离心率为（）ABCD6等差数列an的前n项为Sn，若公差d=2，S3=21，则当Sn取得最大值时，n的值为（）A10B9C6D57已知x，y满足约束条件，那么z=2x+3y的最小值为（）AB8CD108一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A12B24C40D729已知函数f（x）=sin（x+）（0，|），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C函数f（x）的图象关于直线x=对称D函数f（x）在，上单调递增10平行四边形ABCD中，AB=4，
3、AD=2， =4，点P在边CD上，则的取值范围是（）A1，8B1，+）C0，8D1，011三棱锥PABC的四个顶点均在同一球面上，其中ABC是正三角形，PA平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）A16B32C48D6412已知点P（x，y）在不等式组，表示的平面区域上运动，则z=xy的取值范围是（）A1，2B2，1C2，1D1，2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13某小学1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100根据统计学的知识估计成绩在80，90）内
4、的人数约为14已知直线3x+4y+2=0与圆x2+y22tx=0相切，则t=15函数f（x）=，不等式f（x）2的解集为16如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积三、解答题（共70分）17已知数列an的前n项和Sn=，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对任意的n1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列18ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB（）求B；（）若b=2，求ABC面积的最大值19如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，DAB为直角，ABCD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中
5、点（）证明：AB平面BEF；（）若PA=，求二面角EBDC20椭圆H： +y2=1（a1），原点O到直线MN的距离为，其中点M（0，1），点N（a，0）（1）求该椭圆H的离心率e；（2）经过椭圆右焦点F2的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为原点，若=+，求直线l的方程21设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=已知曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线2xy=0平行（）求a的值；（）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（）设函数m（x）=minf（x），g（x）（minp，q表示p，q
6、中的较小值），求m（x）的最大值选考题请从22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第1题计分。（本题满分10分）22已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为（sin+cos）=1，求直线l被曲线C截得的弦长23已知函数f（x）=|xa|，不等式f（x）3的解集为1，5（）求实数a的值；（）若f（x）+f（x+5）m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围2016-2017学年广东省揭阳市华侨中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1已知集合A=
7、x|x22x30，Z为整数集，则集合AZ中所有元素的和为（）A1B2C3D4【考点】交集及其运算【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x22x30=x|1x3，则AZ=0，1，2，则AZ中所有元素的和为0+1+2=3，故选：C2已知复数，则的虚部为（）A3B3C3iD3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，求得后得答案【解答】解：由=，得，的虚部为3故选：B3某高中共有2000名学生，其中各年级男生、女生的人数如表所示，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级中应
8、抽取的学生人数是（）高一高二高三女生373mn男生377370pA8B16C28D32【考点】系统抽样方法【分析】根据题意，在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，可得=0.19，解可得m的值，进而可得高三年级人数，由分层抽样的性质，计算可得答案【解答】解：根据题意，在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，有=0.19，解可得m=380则高三年级人数为n+p=2000=500，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，应在高三年级抽取的人数为500=16；故选：B4如图所示，程序框图的输出值S=（）A21B15C28D21【考点】程序框图【分析】模拟程序的
9、运行，依次写出每次循环得到的S，i的值，可得当i=7时不满足条件i6，退出循环，输出S的值为21【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，i=1满足条件i6，不满足条件i是偶数，S=1，i=2满足条件i6，满足条件i是偶数，S=3，i=3满足条件i6，不满足条件i是偶数，S=6，i=4满足条件i6，满足条件i是偶数，S=10，i=5满足条件i6，不满足条件i是偶数，S=15，i=6满足条件i6，满足条件i是偶数，S=21，i=7不满足条件i6，退出循环，输出S的值为21故选：D5若双曲线+=1（m0n）的渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可
10、得可得=，再由曲线的离心率为e=，运算求得结果【解答】解：根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=x，可得=，则该双曲线的离心率为e=，故选：B6等差数列an的前n项为Sn，若公差d=2，S3=21，则当Sn取得最大值时，n的值为（）A10B9C6D5【考点】等差数列的前n项和【分析】由题意求出等差数列的首项，得到等差数列的通项公式，再由通项大于等于0求得n值【解答】解：设等差数列an的首项为a1，由d=2，S3=21，得3a1+3d=21，a1+d=7a1=7d=9则an=92（n1）=112n由an=112n0，得，nN*，n5即数列an的前5项大于0，自第6项起小于0当Sn取得最大值时
11、，n的值为5故选：D7已知x，y满足约束条件，那么z=2x+3y的最小值为（）AB8CD10【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小由，解得，即A（）此时z的最小值为z=2+31=5+3=8，故选：B8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A12B24C40D72【考点】由三视图求面积、体积【分析】先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用棱锥和长方体的体积公式，可得答
12、案【解答】解：由三视图得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥和长方体的组合体，长方体的长宽高分别为3，4，2，故长方体的体积为342=24，四棱锥的底面积为：34=12，高为62=4，故四棱锥的体积为：124=16，故组合体的体积V=24+16=40，故选：C9已知函数f（x）=sin（x+）（0，|），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C函数f（x）的图象关于直线x=对称D函数f（x）在，上单调递增【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象【分析】由题意
13、可求f（x）的周期T，利用周期公式可求，函数f（x+）是偶函数，可得+=k+，kZ，又|，解得，可得解析式f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解【解答】解：函数f（x）=sin（x+）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，函数f（x）的周期T=，故A错误；0=2，函数f（x+）的解析式为：f（x）=sin2（x+）+=sin（2x+），函数f（x+）是偶函数，+=k+，kZ，又|，解得：=f（x）=sin（2x+）由2x+=k，kZ，解得对称中心为：（，0），kZ，故B错误；由2x+=k+，kZ，解得对称轴是：x=，kZ，故C错误；由2k2x+2k+，kZ，解得单调递增
14、区间为：k，k，kZ，故D正确故选：D10平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2， =4，点P在边CD上，则的取值范围是（）A1，8B1，+）C0，8D1，0【考点】平面向量数量积的运算【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A=60，再建立坐标系，得到=x（x4）+3=x24x+3=（x2）21，构造函数f（x），利用函数的单调性求出函数的值域m，问题得以解决【解答】解：AB=4，AD=2， =4，|cosA=4，cosA=，A=60，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，A（0，0），B（4，0），D（1，），设P（x，），则1x5，=（x，），=（
15、4x，），=x（x4）+3=x24x+3=（x2）21，设f（x）=（x2）21，f（x）在1，2）上单调递减，在2，5上单调递增，f（x）min=f（2）=1，f（x）max=f（5）=8，的取值范围是1，8，故选：A11三棱锥PABC的四个顶点均在同一球面上，其中ABC是正三角形，PA平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）A16B32C48D64【考点】球内接多面体【分析】由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的体积【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球
16、的半径，PA=2AB=6，OE=3，ABC是正三角形，AB=3，AE=AO=2所求球的体积为：（2）3=32故选：B12已知点P（x，y）在不等式组，表示的平面区域上运动，则z=xy的取值范围是（）A1，2B2，1C2，1D1，2【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=xy，得y=xz表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y=xz，当直线y=xz经过点B时，直线y=xz的截距最小，此时z最大，当直线经过点C时，此时直线y=xz截距最大，z最小由，解得，即B（2，0），此时zmax=2由，解得
17、，即C（0，1），此时zmin=01=11z2，故选：D二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13某小学1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100根据统计学的知识估计成绩在80，90）内的人数约为200【考点】频率分布直方图【分析】由频率分布直方图得成绩在80，90）内的频率，由此根据统计学的知识估计成绩在80，90）内的人数【解答】解：由频率分布直方图得成绩在80，90）内的频率为：0.0210=0.2，根据统计学的知识估计成绩在80，90）内的人数约为：0.210
18、00=200故答案为：20014已知直线3x+4y+2=0与圆x2+y22tx=0相切，则t=1或【考点】圆的切线方程【分析】由直线与圆相切得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到t的值【解答】解：圆x2+y22tx=0的标准方程为（xt）2+y2=t2，直线3x+4y+2=0与圆x2+y22tx=0相切，圆心（t，0）到直线的距离d=|t|，解得：t=1或故答案为：1或15函数f（x）=，不等式f（x）2的解集为x|1x2或x【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法【分析】先分两段分别解不等式，最后所求将不等式解集合并即可【解答】解
19、：不等式f（x）2或由得1x2，由得x不等式f（x）2的解集为x|1x2或x故答案为x|1x2或x16如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积2【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长为2的正方形，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且四棱锥的顶点距离最远的底面的顶点长是，做出垂直的棱长和底面面积，求出体积【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长为2的正方形，四棱锥的一条侧棱和底面垂直，且四棱锥的顶点距离最远的底面的顶点长是，与底面垂直的棱长是=3，四棱锥底面的面积是四棱锥的体积是故答案为：2三、解答题
20、（共70分）17已知数列an的前n项和Sn=，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对任意的n1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列【考点】等比关系的确定；数列递推式【分析】（1）利用“当n2时，an=SnSn1；当n=1时，a1=S1”即可得出；（2）对任意的n1，假设都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列利用等比数列的定义可得，即（3n2）2=1（3m2），解出m为正整数即可【解答】（1）解：Sn=，nN*当n2时，an=SnSn1=3n2，（*）当n=1时，a1=S1=1因此当n=1时，（*）也成立数列an的通项公式an=3n2（2）证明：对任意的n1，假设都存在
21、mN*，使得a1，an，am成等比数列则，（3n2）2=1（3m2），化为m=3n24n+2，n1，m=3n24n+2=1，因此对任意的n1，都存在m=3n24n+2N*，使得a1，an，am成等比数列18ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB（）求B；（）若b=2，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最
22、大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值【解答】解：（）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinB=cosB，即tanB=1，B为三角形的内角，B=；（）SABC=acsinB=ac，由已知及余弦定理得：4=a2+c22accos2ac2ac，整理得：ac，当且仅当a=c时，等号成立，则ABC面积的最大值为=（2+）=+119如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，DAB为直角，ABCD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点
23、（）证明：AB平面BEF；（）若PA=，求二面角EBDC【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）只需证明ABBFABEF即可（）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系，求出平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，设二面角EBDC的大小为，则=，【解答】解：（）证：由已知DFAB且DAB为直角，故ABFD是矩形，从而ABBF又PA底面ABCD，平面PAD平面ABCD，ABAD，故AB平面PAD，ABPD，在PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EFPD，ABEF由此得AB平面BEF（）以A为原点，以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴正向
24、建立空间直角坐标系，则设平面CDB的法向量为，平面EDB的法向量为，则 可取设二面角EBDC的大小为，则=，所以，20椭圆H： +y2=1（a1），原点O到直线MN的距离为，其中点M（0，1），点N（a，0）（1）求该椭圆H的离心率e；（2）经过椭圆右焦点F2的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为原点，若=+，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）直线MN的方程为： +=1，即xaya=0由=，解得a=利用，即可的得出H的离心率e=（2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为： =1，设A（x1，y1），B（x2，y2）由=+，可得C，利用A，B，C都在椭圆上整理化简可得：x
25、1x2+3y1y2=0设直线l的方程为：x=my+，代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+2my1=0，利用根与系数的关系代入可得m，对直线l的斜率为0时，直接验证即可【解答】解：（1）直线MN的方程为： +=1，即xaya=0=，解得a=又b=1，则=该椭圆H的离心率e=（2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为： =1，设A（x1，y1），B（x2，y2）=+，C，由A，B，C都在椭圆上，=3，=3，+3=3，由化简整理可得：（）+（）+（x1x2+3y1y2）=3，把代入化简可得：x1x2+3y1y2=0，设直线l的方程为：x=my+，代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+2my1=0，y1+y
26、2=，y1y2=+3，x1x2=m2y1y2+m（y1+y2）+2，（m2+3）y1y2+m（y1+y2）+2=0，（m2+3）+m+2=0，解得m=1直线l的方程为x=y+当直线l的斜率为0时，其方程为：y=0，此时A（，0），B（，0），不满足，舍去综上可得：直线l的方程为x=y+21设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=已知曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线2xy=0平行（）求a的值；（）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（）设函数m（x）=minf（x），g（x）（minp，q表示p
27、，q中的较小值），求m（x）的最大值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1；（）求出f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1；（）由（）求得m（x）的解析式，通过g（x）的最大值，即可得到所求【解答】解：（）函数f（x）=（x+a）lnx的导数为f（x）=lnx+1+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为f（1）=1+a，由切线与直线2xy=0平行，则a+1=2，解得a=1；（）由（）可得f（x）=（x+1）lnx，f（
28、x）=lnx+1+，令h（x）=lnx+1+，h（x）=，当x（0，1），h（x）0，h（x）在（0，1）递减，当x1时，h（x）0，h（x）在（1，+）递增当x=1时，h（x）min=h（1）=20，即f（x）0，f（x）在（0，+）递增，即有f（x）在（k，k+1）递增，g（x）=的导数为g（x）=，当x（0，2），g（x）0，g（x）在（0，2）递增，当x2时，g（x）0，g（x）在（2，+）递减则x=2取得最大值，令T（x）=f（x）g（x）=（x+1）lnx，T（1）=0，T（2）=3ln20，T（x）的导数为T（x）=lnx+1+，由1x2，通过导数可得lnx1，即有lnx+1+2
29、；ex1+x，可得，可得lnx+1+2+=0，即为T（x）0在（1，2）成立，则T（x）在（1，2）递增，由零点存在定理可得，存在自然数k=1，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根；（）由（）知，m（x）=，其中x0（1，2），且x=2时，g（x）取得最大值，且为g（2）=，则有m（x）的最大值为m（2）=选考题请从22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第1题计分。（本题满分10分）22已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为（sin+cos）=1，求直线l被曲
30、线C截得的弦长【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）曲线c的参数方程消去参数，得到普通方程，然后求出曲线c的极坐标方程（2）求出l的直角坐标方程为x+y1=0，利用圆心到直线的距离，半径半弦长关系求解即可【解答】解：（1）曲线c的参数方程为（为参数），曲线c的普通方程为（x2）2+（y1）2=5，将代入并化简得：=4cos+2sin即曲线c的极坐标方程为=4cos+2sin，（2）l的直角坐标方程为x+y1=0，圆心c到直线l的距离为d=弦长为2=223已知函数f（x）=|xa|，不等式f（x）3的解集为1，5（）求实数a的值；（）若f（x）+f（x+5）m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】（）由f（x）3求解绝对值的不等式，结合不等式f（x）3的解集为1，5列式求得实数a的值；（）利用绝对值的不等式放缩得到f（x）+f（x+5）5，结合f（x）+f（x+5）m对一切实数x恒成立，即可求得实数m的取值范围【解答】解：（）由f（x）3，得|xa|3，a3xa+3，又f（x）3的解集为1，5，解得：a=2；（）f（x）+f（x+5）=|x2|+|x+3|（x2）（x3）|=5又f（x）+f（x+5）m对一切实数x恒成立，m52017年3月20日