1、北京市大兴区2014年高三统一练习数学（理科） 本试卷分两部分，第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）共4页，共150分，考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，那么等于 A. B. C. D. （2）复数 A. B. C. D. （3）在极坐标系中，点到直线的距离是 A. B. C. 1 D. （4）将函数的图像向左平移个单位后，所得图像的解析式是 A. B. C. D.（5）“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充
2、要条件 D. 既不充分也不必要条件（6）不等式组在坐标平面内表示的图形的面积等于 A. B. C. D. （7）某三棱锥的三视图如图所示，则其表面中，直角三角形的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（8）给出下列函数：；则满足关系式的函数的序号是 A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）椭圆的离心率等于 . （10） .（11）在锐角中,，则角_.（12）当圆的圆心到直线的距离最大时， （13）已知数列满足，则 ； 前2n项和 （14）如图所示，点是圆上的两点，点D是圆周上异于A，B的任意一点，线段OD与线段交于
3、点.若，则 ；若，则的取值范围是 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）已知（I）求的值；（II）求的最大值以及取得最大值时的值（16）（本小题共13分）为了改善空气质量，某市规定，从2014年3月1日起，对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行碳排放检 测，记录如下：（单位：g/km）甲80110120140150乙100120120100160（I）根据表中的值，比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性（写出判断过程）；（II）现从被检测的甲、乙品牌汽车中随机抽取
4、2辆车，用表示抽出的二氧化碳排放量超过130g/km的汽车数量，求的分布列注：方差，其中为的平均数（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥中，侧面底面，已知是等腰直角三角形，其中为直角，底面是边长为2的正方形，是的中点，是上的点（I）求证：平面； （II）若，求证：平面； （III）求二面角的大小 （18）（本小题共13分）已知函数，. （）求在点处的切线方程； （）设函数，求证：对任意，都有.（19）（本小题共14分）已知点，直线，动点P到点F的距离与到直线的距离相等（）求动点P的轨迹C的方程； （）直线与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点D使得四边形FABD为平行四边形，求b的值.（2
5、0）（本小题共13分）对于各项均为正数的无穷数列，记，给出下列定义：若存在实数，使成立，则称数列为“有上界数列”；若数列为有上界数列，且存在，使成立，则称数列为“有最大值数列”；若，则称数列为“比减小数列”.（）根据上述定义，判断数列是何种数列？（）若数列中，求证：数列既是有上界数列又是比减小数列；（）若数列是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：，理科参考答案题号12345678答案DBBACBDC一、选择题二、填空题(9) (10) 1 (11) (12) 0 (13) 7； (14) 1；三、解答题（15）（II） 取最大值38分（16）（本题满分13分）解: （I）甲
6、品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均数为:甲品牌轻型汽车二氧化碳排放量的方差为: 2分乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均数为:乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的方差为: 4分因为样本的甲品牌轻型汽车二氧化碳排放量的方差比乙品牌的方差大,所以估计乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量比甲品牌稳定. 5分 012（II）由题意可知， 1分, 7分随机变量的分布列是8分（17）（本题满分14分）证明：（）连结AC交BD于点O，连结EO,因为ABCD是正方形，所以O为AC中点,又因为E为PC中点，所以EO为CPA的中位线,所以EOPA .2分因为EO平面EDB , PA平面EDB,所以PA平面EDB.4分（）因为侧面P
7、DC底面ABCD,平面PDC平面ABCD=DC,又因为侧面PDC是等腰直角三角形，其中PDC为直角所以PDDC.又PD平面PCD,所以PD平面ABCD.又 ADCD， 得DA、DC、DP两两垂直.如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz. 1分D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1）A (2, 0, 0), C (0, 2, 0).设F（x，y，z），由得： 所以，所以. 2分又，所以， 4分 所以，且于。所以平面. 5分（） 由（）知 PD平面ABCD,又因为AC平面ABCD,所以ACPD,又ACBD,所以AC平面PBD.所以平面PBD的法向量是. 1分设平
8、面PBC的法向量(x,y,z) 由（）知, 则有所以 令z=1 得n=(0,1,1) . 3分 则 .4分由图可知二面角C-PB-D的平面角为锐角,所以二面角C-PB-D的大小为. 5分（18）（本小题共13分）解：（），2分由题意，4分 所以切线方程为5分（），（）=2分=0，得3分-0+减极小值增 5分所以=6分 即8分 （19）（本小题共14分）解：（）依题意，动点P的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线 -2分 设轨迹C的方程为， 则 所以动点P的轨迹C的方程为 -4分 （）解法一：因为，故直线FD的方程为 -1分 联立方程组消元得：，解得点的横坐标为或 由抛物线定义知：或 -3分又由 消
9、元得：。设，则且 -5分 所以 -7分因为FABD为平行四边形，所以 所以或， -9分解得或，代入成立。-10分（）解法二：因为，故直线FD的方程为-1分联立方程组消元得：，解得或 故点或-3分 当时，设联立方程组消元得：（*） 根据韦达定理有， -5分又因为四边形是平行四边形，所以， 将坐标代入有 -6分代入有， 代入有 整理得-8分此时（*）的判别式,符合题意-9分 当时，同理可解得 -10分（20）（本题满分13分）解：（），且显然，且存在，所以数列既是有上界数列，又是有最大值数列。3分（）下面用数学归纳法证明，显然，假设n=k时命题成立，即当n=k+1时， 所以，当n=k+1时，命题成立，即；下面证明。因为，所以，即。由，两式相除得：，所以，即；下面证明即需证明，即需证明，而已证明成立，所以，即，所以，数列既是比减少数列又是有上界数列；6分（）用反证法，假设对于，即，因为无穷数列各项为正且单调递增，所以。，所以。当，时，所以无穷数列不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，因此，对于数列，4分