1、2016-2017学年山东省济南市长清一中大学科技园校区高二（上）期中数学试卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分1下列命题正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若ab，则abC若acbc，则abD若ab，则acbc2已知等差数列an中，a2+a4=6，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A30B15CD3在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（）ABCD4在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A33B72C84D1895已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2c2+b2=ab，则角C等
2、于（）AB或CD6等比数列an中，a1=2，q=2，Sn=126，则n=（）A9B8C7D67ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）ABCD8已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A5B4C3D29已知不等式ax2+bx+20的解集为x|1x2，则不等式2x2+bx+a0的解集为（）ABCx|2x1Dx|x2，或x110若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是（）A4B6C8D911设x，y满足，则z=x+y（）A有最小值2，最大值3B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值D既无最小值，
3、也无最大值12已知点（a，b）在直线x+3y2=0上，则u=3a+27b+3的最小值为（）ABC6D9二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.13在ABC中，已知c=2，A=120，a=2，则B=14若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn，Tn，已知=，则等于15函数y=x+（x2）的最小值是16函数f（x）=log2（x2x+a）在2，+）上恒为正，则a的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分17已知数列an是等比数列，首项a1=2，a4=16（）求数列an的通项公式；（）若数列bn是等差数列，且b3=a3，b5=a5，求数列bn的通项公式及前
4、n项的和18设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b19解关于x的不等式：（x1）（x+a）020已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1（）求证：数列an+1是等比数列；（）求数列an的通项和前n项和Sn21在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0（）求角B；（）若，求ABC的面积22已知函数f（x）=x2+（a+2）x+5+a，aR（）若方程f（x）=0有一正根和一个负根，求a的取值范围；（）当x1时，不等式f（x）0恒成立，求a的取值范围2016-2017学年山东省济
5、南市长清一中大学科技园校区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分1下列命题正确的是（）A若ab，则ac2bc2B若ab，则abC若acbc，则abD若ab，则acbc【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据不等式式的性质，令c=0，可以判断A的真假；由不等式的性质3，可以判断B，C的真假；由不等式的性质1，可以判断D的真假，进而得到答案【解答】解：当c=0时，若ab，则ac2=bc2，故A错误；若ab，则ab，故B错误；若acbc，当c0时，则ab；当c0时，则ab，故C错误；若ab，则acbc，故D正确故选D2已知等差数列an中，a2+a4=
6、6，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A30B15CD【考点】等差数列的性质【分析】根据等差数列的性质，利用p+q=m+n时，ap+aq=am+an，求出a3的值，进而即可得到a1+a2+a3+a4+a5的值【解答】解：等差数列an中，a2+a4=6，a3=3，则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=15故选B3在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（）ABCD【考点】正弦定理【分析】先根据正弦定理以及题设条件可知=sinA进而求得sinB的值【解答】解：由正弦定理可知=sinAsinA0sinB=故选B4在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为2
7、1，则a3+a4+a5=（）A33B72C84D189【考点】等比数列的性质【分析】根据等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案【解答】解：在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21故3+3q+3q2=21，q=2，a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=2122=84故选C5已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2c2+b2=ab，则角C等于（）AB或CD【考点】余弦定理【分析】先将a2c2+b2=ab变形为，再结合余弦定理的公式可求出cosC的值，进而
8、可求出C的值【解答】解：a2c2+b2=abC=故选A6等比数列an中，a1=2，q=2，Sn=126，则n=（）A9B8C7D6【考点】等比数列的性质【分析】由首项和公比的值，根据等比数列的前n项和公式表示出Sn，让其等于126列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值【解答】解：由a1=2，q=2，得到Sn=126，化简得：2n=64，解得：n=6故选D7ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）ABCD【考点】余弦定理；等比数列【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案【解答】解：ABC中，
9、a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B8已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A5B4C3D2【考点】等差数列的通项公式【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果【解答】解：，故选C9已知不等式ax2+bx+20的解集为x|1x2，则不等式2x2+bx+a0的解集为（）ABCx|2x1Dx|x2，或x1【考点】一元二次不等式的解法【分析】不等式ax2+bx+20的解集为x
10、|1x2，ax2+bx+2=0的两根为1，2，且a0，根据韦达定理，我们易得a，b的值，代入不等式2x2+bx+a0 易解出其解集【解答】解：不等式ax2+bx+20的解集为x|1x2，ax2+bx+2=0的两根为1，2，且a0即1+2=（1）2=解得a=1，b=1则不等式可化为2x2+x10 解得 故选A10若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是（）A4B6C8D9【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由已知中正实数a，b满足a+b=1，根据基本不等式“1的活用”，我们将分子式中的“1”全部变形成a+b，然后利用分式的性质，化简得到两数为定值的情况，利用基本不等式即可得到答案【解
11、答】解：正实数a，b满足a+b=1，+=5+（）9故+的最小值是9故选D11设x，y满足，则z=x+y（）A有最小值2，最大值3B有最小值2，无最大值C有最大值3，无最小值D既无最小值，也无最大值【考点】简单线性规划【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值故选B12已知点（a，b）在直线x+3y2=0上，则u=3a+27b
12、+3的最小值为（）ABC6D9【考点】基本不等式【分析】由于3a27b=3a+3b是常数，利用基本不等式求3a+27b的最小值，从而得出u=3a+27b+3的最小值【解答】解：又x+2y=2=9当且仅当3a=27b即a=3b时取等号故选D二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.13在ABC中，已知c=2，A=120，a=2，则B=30【考点】正弦定理【分析】先根据正弦定理利用题设条件求得sinC，进而求得C，最后利用三角形内角和求得B【解答】解：由正弦定理可知=sinC=c=2=C=30B=18012030=30故答案为：3014若两个等差数列an和bn的前n项
13、和分别是Sn，Tn，已知=，则等于【考点】等差数列的性质【分析】由等差数列的性质和求和公式可得=，代值计算可得【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得： =故答案为：15函数y=x+（x2）的最小值是【考点】基本不等式【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x2，x20函数y=x+=（x2）+2+2=2+2，当且仅当x=+2时取等号函数y=x+（x2）的最小值是故答案为：16函数f（x）=log2（x2x+a）在2，+）上恒为正，则a的取值范围是 a1【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题【分析】根据函数f（x）=log2（x2x+a）在2，+）上恒为正，我们易根据对数函数的单
14、调性，判断出其真数部分大于1恒成立，构造真数部分的函数，易判断其在2，+）的单调性，进而得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到结论【解答】解：f（x）=log2（x2x+a）在2，+）上恒为正g（x）=x2x+a1在2，+）上恒成立又g（x）=x2x+a在2，+）单调递增g（2）=2+a1恒成立即a1故答案为：a1三、解答题：本大题共6小题，共70分17已知数列an是等比数列，首项a1=2，a4=16（）求数列an的通项公式；（）若数列bn是等差数列，且b3=a3，b5=a5，求数列bn的通项公式及前n项的和【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【分析】（I）设等比数列an的公比为q
15、，利用通项公式和已知a1=2，a4=16，即可解得q（II）设等差数列bn的公差为d，利用等差数列的通项公式和已知b3=a3=23=8，b5=a5=25，可得，解得b1，d即可得出数列bn 的通项公式及前n项的和【解答】解：（I）设等比数列an的公比为q，首项a1=2，a4=16，16=2q3，解得q=2（II）设等差数列bn的公差为d，b3=a3=23=8，b5=a5=25，解得，bn=16+（n1）12=12n28=6n222n18设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【分析】（1
16、）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由ABC为锐角三角形可得答案（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值【解答】解：（）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得（）根据余弦定理，得b2=a2+c22accosB=27+2545=7所以，19解关于x的不等式：（x1）（x+a）0【考点】一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法【分析】先由不等式：（x1）（x+a）0，得出其对应方程（x1）（x+a）=0的根的情况，再对参数a的取值范围进行讨论，分类解不等式【解答】解：由（x1）（x+a）=0得，x
17、=1或x=a，当a1时，不等式的解集为x|xa或x1；当a=1时，不等式的解集为x|xR且x1；当a1时，不等式的解集为x|xa或x1综上，当a1时，不等式的解集为x|xa或x1；当a=1时，不等式的解集为x|xR且x1；当a1时，不等式的解集为x|xa或x120已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1（）求证：数列an+1是等比数列；（）求数列an的通项和前n项和Sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【分析】（1）由an+1=2an+1变形为an+1+1=2（an+1），即可证明数列an+1是等比数列；（2）由（1）可得：再利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可得出Sn【解答】解：（
18、1）由an+1=2an+1变形为an+1+1=2（an+1），又a1+1=2，数列an+1是等比数列，公比为2，首项为2（2）由（1）可得：，Sn=n=2n+12n21在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0（）求角B；（）若，求ABC的面积【考点】正弦定理；诱导公式的作用；余弦定理【分析】（I）把已知的等式变形，利用正弦定理化简，再根据两角和与差的正弦函数公式及诱导公式进行变形，根据sinA不为0，在等式两边同时除以sinA，得到cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由第一问求出的B的度数，得到sinB
19、的值，同时利用余弦定理得到b2=a2+c22accosB，配方化简后，把cosB，b，及a+c的值代入，求出ac的值，最后由ac及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：（I）由已知得，由正弦定理得即2sinAcosB+sinCcosB=sinBcosC，即2sinAcosB+sin（B+C）=03分B+C=A，sin（B+C）=sin（A）=sinA，；6分（II）由（I）得7分将代入b2=a2+c22accosB中，得ac=310分12分22已知函数f（x）=x2+（a+2）x+5+a，aR（）若方程f（x）=0有一正根和一个负根，求a的取值范围；（）当x1时，不等式f（x）0恒成立，求a的取值范围【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数恒成立问题【分析】（I）函数的两根一正一负可以用0和两根之积0判断解决（II）当x1时，不等式f（x）0恒成立，就是a（x+1）x22x5，由x1得x+10，整理不等式求解即可【解答】解：（）设方程x2+（a+2）x+5+a=0有一正根和一个负根，则，解得a5故答案为a5（）当x1时，不等式x2+（a+2）x+5+a0恒成立，即a（x+1）x22x5，因为x1，所以x+10，而，当且仅当x=1时等号成立，所以a4故答案为a42017年1月10日