1、第2课时 双曲线方程及性质的应用关键能力合作学习类型一 直线与双曲线的位置关系(数学抽象)1过双曲线x2a2 y25a2 1(a0)的右焦点 F 作一条直线，当直线斜率为 1 时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 2 时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则 a 的取值范围为()A(1，2)B1，102 C(2，2)D(2，5)2已知双曲线 x2y24 1，过点 P(1，1)的直线 l 与双曲线只有一个公共点，求直线 l 的方程【解析】1.选 B.由题意可得双曲线的渐近线斜率 1ba 2，1 5a2a 2，解得1a0，b0)，把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b
2、20.(1)当 b2a2k20，即 kba 时，直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(2)当 b2a2k20，即 kba 时，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2).0直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；0直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；0，1k20，得2 33 k2 33 且 k1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点(2)由43k20，1k20，得 k2 33 ，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且只有一个公共点，当 1k20，即 k1 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，
3、方程(*)化为 2x5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点故当 k2 33 或1 时，直线与双曲线有且只有一个公共点(3)由43k20，b0)上不同的两点，且 x1x2，x1x20，M(x0，y0)为线段 AB 的中点，则x21 a2 y21 b2 1，x22 a2 y22 b2 1.两式相减可得y1y2x1x2 y1y2x1x2 b2a2，即 kABy0 x0 b2a2.已知双曲线的方程为 2x2y22.(1)过定点 P(2，1)作直线交双曲线于 P1，P2两点，当点 P(2，1)是弦 P1P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点 Q(1，1)能否作直线 l，
4、使 l 与此双曲线相交于 Q1，Q2两点，且 Q 是弦Q1Q2的中点？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 【解析】(1)若直线斜率不存在，即 P1P2垂直于 x 轴，则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在 x 轴上，不可能是点 P(2，1)，所以直线 l 斜率存在 故可设直线 l 的方程为 y1k(x2)，即 ykx2k1.由2x2y22，ykx2k1 消去 y 并化简，得(2k2)x22k(2k1)x4k24k30.设直线 l 与双曲线的交点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2).当 2k20，即 k22 时，有 x1x22k（2k1）2k2.又点 P(2，1)是弦 P1P2的中
5、点，所以2k（2k1）2k2 4，解得 k4.当 k4 时，4k2(2k1)24(2k2)(4k24k3)5650.当 k22，即 k 2 时，此时与渐近线的斜率相等，即 k 2 的直线 l 与双曲线不可能有两个交点 综上可知，所求直线的方程为 4xy70.(2)假设这样的直线 l 存在，设 Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有x1x22 1，y1y22 1，所以 x1x22，y1y22，且2x21 y21 2，2x22 y22 2，两式相减，得(2x21 2x22)(y21 y22)0，所以 2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以 2(x1x2)(y1y2)0.若
6、直线 Q1Q2垂直于 x 轴，则线段 Q1Q2中点不可能是点 Q(1，1)，所以直线 Q1Q2斜率存在，于是 ky1y2x1x2 2，所以直线 Q1Q2的方程为 y12(x1)，即 y2x1.由y2x1，2x2y22 得 2x2(2x1)22，即 2x24x30，所以16240，b0)的焦点为 F1，F2，且 C 上点 P 满足1PF 2PF0，|1PF|3，|2PF|4，则双曲线 C 的离心率为()A 102 B 5 C52 D5【解析】选 D.依题意得，2a|PF2|PF1|1，|F1F2|PF2|2|PF1|2 5，因此该双曲线的离心率 eca 2c2a 5.4已知双曲线 C：x2a2
7、y2b2 1()a，b0 的右焦点为 F，过原点的直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，且|BF 3|AF ，则双曲线 C 的离心率的取值范围为()A(1，2 B(1，3 C()3，D)2，【解析】选 A.因为直线 AB 和双曲线 C 都关于原点对称，所以 A，B 也关于原点对称，设 F为左焦点，则 F，F关于原点对称，所以|BF|AF ，因为|BF|3|AF|，所以|AF 3|AF|，所以|AF|AF|2|AF|2a，所以|AF|a，|AF 3a，当点 A 不在线段 FF上时，在AFF中，3aa2c ，所以 ac2a，所以 eca(1，2).当点 A 在线段 FF上时，|AF|AF|FF|，所以 4a2c，所以 eca 2.综上所述，e(1，2.5过双曲线 x2y23 1 的左焦点 F1，作倾斜角为6 的直线 AB，其中 A，B 分别为直线与双曲线的交点，求|AB 的长【解析】因为双曲线方程为 x2y23 1，所以左焦点 F1(2，0)，因为直线 AB 的倾斜角为6 ，所以直线斜率为 33 ，直线 AB 的方程为 y33 ()x2 ，代入 x2y23 1 可得 8x24x130，x1x212，x1x2138 ，所以|AB 113|x1x2 2 33 ()x1x224x1x2 2 33 1224138 3.
