1、2.4幂函数与二次函数考情考向分析以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为填空题，中档难度1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质 函数特征性质yxyx2yx3yx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(
2、xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0，当时，恒有f(x)0.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(2)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(3)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(4)函数是幂函数()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上
3、的减函数()题组二教材改编2P89练习T3已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k_.答案解析由幂函数的定义，知k1，.k.3P111复习T17已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是_答案(，3解析函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，(，6)(，2a)2a6，解得a3.题组三易错自纠4幂函数f(x)(aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a_.答案5解析因为a210a23(a5)22，f(x)(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)220，从而a4,5,6，又f(x)
4、为偶函数，所以a5.5已知a，b，c，则以下关系正确的是_(填序号)bac；abc；bca；cab.答案解析因为，函数y在(0，)上单调递增，所以，即ac，又因为函数y4x在R上单调递增，所以，即ba，所以ba(m2m1)，则实数m的取值范围是_答案解析因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解2m10，得m；解m2m10，得m或m.解2m1m2m1，得1m2，综上所述，m0.所以函数的图象开口向上，且在1,2上单调递增，f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.命题点2二次函数的单调性典例 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上单调递减，则实数a的
5、取值范围是_答案3,0解析当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意；当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减，知解得3a0.综上，a的取值范围是3,0引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.答案3解析由题意知f(x)必为二次函数且a0，又1，所以a3.命题点3二次函数的最值典例 已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值解f(x)a(x1)21a.(1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(
6、3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.引申探究将本例改为：求函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最大值解f(x)(xa)21a2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa.(1)当a，即a时，f(x)maxf(2)4a5；(2)当a，即a时，f(x)maxf(1)22a.综上，f(x)max命题点4二次函数中的恒成立问题典例 (1)(2014江苏)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_答案解析作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即
7、解得m0.(2)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围为_答案解析2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，a.综上，实数a的取值范围为.思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键一般有两个解题思路：一是分离参数；二
8、是不分离参数；两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域跟踪训练 (1)(2017苏州质检)(6a3)的最大值为_答案解析易知函数y(3a)(a6)的两个零点是3，6，图象的对称轴为a6,3，y(3a)(a6)的最大值为y2，则的最大值为.(2)已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的值为_答案1或3解析由于函数f(x)的值域为1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，当xR时，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.(3)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，则实数a的取值范围为_答案解析由题意得，a对1x4恒成
9、立，又22，1，max，a.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例 (14分)设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值思想方法指导 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论规范解答解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.2分当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f(t1)t21；5分当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；8分当t1时，函数图象如图(3)所
10、示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.12分综上可知，f(x)min14分1幂函数yx(mZ)的图象如图所示，则m的值为_答案2解析yx(mZ)的图象与坐标轴没有交点，m24m0，即0m0)，若x11,2，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_答案3，)解析由函数f(x)x22x(x1)21，当x1,2时，f(x)minf(1)1，f(x)maxf(1)3，即函数f(x)的值域为1,3当x1,2时，函数g(x)ming(1)a2，g(x)maxg(2)2a2，若满足题意，则解得a3.5已知二次函数f(x)2ax2ax1(a0)，若x1x
11、2，x1x20，则f(x1)与f(x2)的大小关系为_答案f(x1)f(x2)解析该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x，又由题意，得x10，又x1x20，当x1，x2在对称轴的两侧时，x1x2，故f(x1)f(x2)当x1，x2都在对称轴的左侧时，由单调性知f(x1)f(x2)综上，f(x1)1时，恒有f(x)1时，恒有f(x)1时，函数f(x)x的图象在yx的图象的下方，作出幂函数f(x)x在第一象限的图象(图略)，由图象可知0，故00时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为_答案1解析f(x)为偶函数，当x0，f(x)f(x)(x1)2(x1)2，当x时，
12、f(x)max1，f(x)min0，0f(x)1，m1，n0，(mn)min1.12已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴x2,3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，函数f(x)的值域为.(2)对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a，满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1，满足题意综上可知，a或1.13已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，
13、x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围为_答案1，解析由于函数f(x)x22tx1的图象的对称轴为xt，函数f(x)x22tx1在区间(，1上递减，t1.当x0，t1时，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，只需1(t21)2，解得t.又t1，1t.14当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_答案(，5解析方法一不等式x2mx40对x(1,2)恒成立，mxx24对x(1,2)恒成立，即m对x(1,2)恒成立，令yx，则函数yx在x(1,2)上是减函数4y5，54，m5.方法二设f(x)x2mx4，当x(1,2)时，由f(x)1，即a2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，不合题意；当01，即0a2时，符合题意；当0，即a0，则x0)，f(x)(3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为xa1，当a11，即a0时，g(1)12a为最小值；当1a12，即02，即a1时，g(2)24a为最小值综上，g(x)min