1、数学基础知识与典型例题第5章平面向量平面向量相关知识关系表向量的概念及运算一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等.坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,则称为的坐标,记为=.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量
2、.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 向量的概念及运算其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题
3、奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=记=(x1,y1),=(x1,y2)则=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积记则=x1x2+y1y2(二)运算律加法：(交换律); (结合律)实数与向量的乘积：; ;两个向量的数量积: =; ()=()=();(+)=+注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积
4、的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如()2=(三)运算性质及重要结论平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，称为的线性组合。其中叫做表示这一平面内所有向量的基底;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果且,那么.当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量的概念及运算向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，
5、向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言为：设非零向量,则(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数是唯一存在的,当与同向时,0；当与异向时,0。|=,的大小由及的大小确定。因此,当,确定时，的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中的几何意义。两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，则两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度);(垂直的判断); (求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识
6、的重要价值.注:两向量,的数量积运算结果是一个数(其中),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. 叫做向量在方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积.如果,则=,这就是平面内两点间的距离公式.向量的概念及运算例1在中，（ ） 例2.平面内三点,若，则x的值为()(A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5向量的概念及运算例3. 设， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：()()=0|-|()()不与垂直(3+2)(32)=9|2- 4|2中，真命题是( )(A) (B) (C) (D)例4. OAB中,=,=,=,若=，tR，则点P在( )(A)A
7、OB平分线所在直线上 (B)线段AB中垂线上(C)AB边所在直线上 (D)AB边的中线上例5. 正方形对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），则=( )(A)（） (B)（） (C)（7，4） (D)（）例6.已知,则实数x=_.例7.已知则_, _,与的夹角的余弦值是_.例8. 已知的三个顶点分别为求的大小.例9. 已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。例10.在OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|=13，|=14，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量.定比分点线段的定比分点1
8、.定义:设是直线上的两点,点P是上不同于的任意一点,则存在一个实数使,叫做点P分有向线段所成的比.(如图)P在线段上,P为内分点时,;P在线段或的延长线上, P为外分点时,.内分取 “+”, 外分取 “一”.2. 定比分点坐标公式:设、，则： ,特殊地，得中点坐标公式：另外，注意一下定比分点的向量公式： O为平面内任意一点，则. 有时直接运用它来考虑更简便!3. 三角形重心公式及推导（见课本例2）：三角形重心公式：例11.点A(m,n)关于点B(a,b)对称点的坐标是( )(A)（m，n） (B)（am，bn） (C)（a2m，b2n） (D)（2am，2bn）例12设，直线AB交轴于C点，则
9、点C分所成的比为（） 平移1.图形平移：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量平移)，得到图形F，我们把这一过程叫做图形的平移。2.平移公式：点按向量平移到 则（新=旧+移）其中叫做平移向量.3. 设曲线C：y=f(x)按=（h，k）平移，则平移后曲线对应的解析式为,当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下平移.注:函数图象平移口诀:左加右减,上加下减. 注意这里是指函数解析式的变化,另外注意顺序性.例13.设向量,则将按平移得到的坐标表示为( )(A)(0,1) (B)(4,-11) (C)(7,-5) (D)(3,6)例14.若将曲线C1
10、:平移到C2,使得曲线C1上一点P的坐标由(1,0)变为(2,2),则C2的方程是( )(A)(B)(C)(D)例15. 把函数的图象按平移后得到的函数解析式为_.解三角形解斜三角形：常用的主要结论有：(1)A+B+C=1800 任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.等边对等角:; 大边对大角:.底高=(其中是内切圆半径)(正弦定理)(余弦定理) 解三角形例16.在中,则a等于( )(A) (B) (C) (D)例17.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )(A)米 (B)米 (C)米 (D)米例18在中，,若这个三角形有两解，则的取值范
11、围是（ ） 数学基础知识与典型例题(第5章平面向量)答案例1A、例2.C、例3.D、例4.A、例5.A、例6.6、例7.,、例8.例9. 解:(用解方程组思想)设D（x，y），则=（x-2，y+1）=（-6，-3），=0,-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0=(x-3，y-2)，,-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0由得：,D（1，1）,=（-1，2）例10. 解: B、P、M共线 记=s 同理，记 = ,不共线 由得解之得： 注：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。例11.D、 例12.B、 例13.C 、 例14.A 、 例15.、例16.C、 例17.A 、 例18.C、