1、2.6.2 双曲线的几何性质第1课时 双曲线的几何性质必备知识自主学习1.双曲线的几何性质 导思 1.双曲线的几何性质主要有哪些？2.什么叫等轴双曲线？2等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为 .2思考(1)椭圆中要求ab0，在双曲线中a，b是否也要满足该条件？提示：不是，在双曲线中，a，b没有大小关系，只需a0，b0.(2)双曲线离心率对双曲线形状有何影响？提示：以双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)为例 eca a2b2a 1b2a2，故当ba 的值越大，渐近线 yba x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的
2、大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大 1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)双曲线x2a2 y2b2 1 与y2a2 x2b2 1(a0，b0)的形状相同()(2)双曲线x2a2 y2b2 1 与y2a2 x2b2 1(a0，b0)的渐近线相同()(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关()(4)离心率是 2 的双曲线为等轴双曲线()提示：(1).双曲线x2a2 y2b2 1 与y2a2 x2b2 1(a0，b0)的形状相同，但是位置不一样(2).双曲线x2a2 y2b2 1 的渐近线方程为 yba x；双曲线y2a2 x2b2 1 的渐近线方程为 yab x.(3).等轴双曲
3、线的渐近线方程都是 yx.(4).等轴双曲线的离心率是 2.2双曲线x225 y29 1 的顶点坐标是()A(5，0)B(5，0)或(0，3)C(4，0)D(4，0)或(0，3)【解析】选 A.因为双曲线的顶点在 x 轴上，又因为 a5，所以顶点为(5，0)和(5，0).3双曲线 3x2y23 的渐近线方程是()Ay3x By13 x Cy 3 x Dy 33 x【解析】选 C.令 x2y23 0，则 y 3 x.4已知双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)的焦距为 4 2，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为()A2 B4 C6 D8【解析】选 B.因为双曲线x2a2 y2b2 1
4、(a0，b0)的两条渐近线为 yba x，因为两条渐近线互相垂直，所以ba 21 得 ab，因为双曲线焦距为 4 2，所以 c2 2，由 c2a2b2可知 2a28，所以 a2，所以实轴长为 2a4.关键能力合作学习类型一 双曲线的几何性质(逻辑推理、直观想象)1双曲线x29 y216 1 的左顶点到其渐近线的距离为()A2 B95 C125 D3 2已知双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的离心率为43，则双曲线 C 的渐近线方程为()Ay43 x By34 x Cy 73 x Dy3 77 x 3已知双曲线x2a2 y22 1(a0)的一条渐近线为 y 2 x，则实数 a_.【
5、解析】1.选 C.由双曲线x29 y216 1，得 a29，b216，所以双曲线x29 y216 1 的左顶点坐标为(3，0)，其一条渐近线方程为 y43 x，即 4x3y0.由对称性得左顶点到其渐近线的距离为 d|12|42（3）2 125 .2选 C.eca 43，又因为在双曲线中，c2a2b2，所以 e2c2a2 1b2a2 169 ，故ba 73 ，所以双曲线 C：x2a2 y2b2 1 的渐近线方程为 yba x 73 x.3双曲线x2a2 y22 1(a0)的一条渐近线为 y 2 x，可得 2a 2，解得 a1.答案：1 由双曲线方程研究几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形
6、式，确定 a，b 的值是关键(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用 如过双曲线x2a2 y2b2 1 的左焦点 F1(c，0)垂直于 x 轴的弦 AB，则|AB|2b2a .(5)双曲线中 c2a2b2，易与椭圆中 a2b2c2混淆【补偿训练】1.(2020遵义高二检测)双曲线x23 y21 的焦点到渐近线的距离是()A1 B 2 C 3 D2【解析】选 A.双曲线x23 y21 的渐近线为 y 33 x，a23，b21，c2a2b2314，即 c2，
7、设一个焦点 F(2，0)，渐近线方程为 33 xy0，则焦点 F 到其渐近线的距离 d33 21332 2 332 33 1.2已知双曲线的方程为y24 x29 1，则下列关于双曲线说法正确的是()A虚轴长为 4 B焦距为 2 5 C离心率为 233 D渐近线方程为 2x3y0【解析】选 D.根据题意，依次分析选项：对于 A，双曲线的方程为y24 x29 1，其中 b3，虚轴长为 6，则 A 错误；对于 B，双曲线的方程为y24 x29 1，其中 a2，b3，则 c 49 13，则焦距为 2 13，则 B 错误；对于 C，双曲线的方程为y24 x29 1，其中 a2，b3，则 c 49 13，
8、则离心率为 eca 132 ，则 C 错误；对于 D，双曲线的方程为y24 x29 1，其中 a2，b3，则渐近线方程为 2x3y0，则 D 正确 类型二 利用双曲线的几何性质求双曲线的方程(数学运算)【典例】1.已知双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上，OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为()Ax24 y212 1 Bx212 y24 1 Cx23 y21 Dx2y23 1 2渐近线方程为 y12 x，且经过点 A(2，3)的双曲线的方程为_.【思路导引】1.OAF 是边长为 2 的等边三角形求 c 和点 A 的坐
9、标渐近线的斜率求 a，b 2方法一：待定系数法求解，分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况求解 方法二：巧设参数 ，代入点的坐标，求解即可【解析】1.选 D.不妨设点 A 在第一象限，由题意可知 c2，点 A 的坐标为(1，3)，所以ba 3，又 c2a2b2，所以 a21，b23，故所求双曲线的方程为 x2y23 1.2方法一：因为双曲线的渐近线方程为 y12 x，若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为 x2a2 y2b2 1(a0，b0)，则ba 12.因为点 A(2，3)在双曲线上，所以4a2 9b2 1.联立，无解若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2 x2b2 1(
10、a0，b0)，则ab 12.因为点 A(2，3)在双曲线上，所以9a2 4b2 1.联立，解得 a28，b232.故所求双曲线的标准方程为y28 x232 1.方法二：由双曲线的渐近线方程为 y12 x，可设双曲线的方程为x222 y2(0).因为点 A(2，3)在双曲线上，所以2222(3)2，即8.故所求双曲线的标准方程为y28 x232 1.答案：y28 x232 1 巧设双曲线方程的方法与技巧(1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2 y2b2 1(a0，b0).(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2 x2b2 1(a0，b0).(3)与双曲线x2a2 y2
11、b2 1 共焦点的双曲线方程可设为x2a2 y2b2 1(0，b2 0)，将点(2，0)的坐标代入方程得 116，故所求双曲线的标准方程为x24 y21；当所求双曲线的焦点在 y 轴上时，可设其方程为y264 x216(0)，将点(2，0)的坐标代入方程得14 0，b0)的左，右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与 C 在第一象限交于点 P.若PF1F230，则 C 的离心率为()A 3 1 B 3 C 312 D 3 1 2(2020全国卷)已知 F 为双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴若 A
12、B 的斜率为 3，则 C 的离心率为_【思路导引】1.先设 F1F22c，由题意知F1F2P 是直角三角形，利用PF1F230，求出|PF1|，|PF2|，根据双曲线的定义求得 a，c 之间的关系，则双曲线的离心率可得 2根据双曲线的几何性质可知，|BF b2a，|AF ca，即可根据斜率列出等式求解即可【解析】1.选 A.设 F1F22c，由题意知F1F2P 是直角三角形，又因为PF1F230，所以|PF1|3 c，|PF2|c，所以|PF1|PF2|3 cc2a，所以 eca 231 3 1.2依题可得，|BF|AF 3，而|BF b2a，|AF ca，即b2aca 3，变形得c2a23a
13、c3a2，化简可得，e23e20，解得 e2 或 e1(舍去).答案：2 1求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出 a，c，再计算 eca.(2)依据条件建立参数 a，b，c 的关系式，一种方法是消去 b 转化成离心率 e 的方程求解，另一种方法是消去 c 转化成含ba 的方程，求出ba 后利用 e1b2a2 求离心率 2求离心率的范围技巧(1)根据条件建立 a，b，c 的不等式(2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围 1.(2020合肥高二检测)如图所示，F1和 F2分别是双曲线x2a2 y2b2 1(a0，b0)的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，|OF1 为半
14、径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB 是等边三角形，则离心率为()A 5 1 B 312 C 3 1 D 512 【解析】选 C.连接 AF1，则F1AF290，AF2B60.所以|AF1 c，|AF2 3 c，所以 3 cc2a，所以 eca 231 3 1.2已知 F1，F2是双曲线 E：x2a2 y2b2 1 的左、右焦点，点 M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直，tan F1MF22 2，则双曲线 E 的离心率为()A2 2 B2 C 2 D 3 【解析】选 C.不妨设 M(c，y)，y0，代入双曲线方程得 yb2a，所以 Mc，b2a ，|F1F2 2c，tan F1MF22c
15、b2a 2 2，2 b2ac0，即 2 c2ac 2 a20，2 e2e 2 0，()e 2 ()2e1 0，所以 e 2.【补偿训练】若 a1，则双曲线x2a2 y21 的离心率的取值范围是()A(2，)B(2，2)C(1，2)D()1，2 【解析】选 C.c2a21，e2c2a2 a21a2 11a2.因为 a1，所以 01a2 1，1e22，则 1e 2.备选类型 双曲线的实际应用问题(数学建模)【典例】由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航某日，甲舰在乙舰正东方向 6 km 处，丙舰在乙舰北偏西 30方向，相距 4 km 处，某时
16、刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此 4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？【思路导引】建立平面直角坐标系，表示每个点的坐标，根据条件中的数量关系得到点 P 在线段 BC 的垂直平分线上和以 A，B 为焦点的双曲线的右支上，求出方程并联立方程求解即可得到结果【解析】设 A，B，C，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船 如图所示，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则 A(3，0)，B(3，0)，C(5，2 3)，因为|PB|PC|，所以点 P 在线段 BC 的
17、垂直平分线上，又易知 kBC 3，线段 BC 的中点 D(4，3)，所以直线 PD 的方程为 y 3 13(x4)又|PB|PA|4，所以点 P 在以 A，B 为焦点的双曲线的右支上，所以双曲线方程为x24 y25 1(x2)联立，得 P 点坐标为(8，5 3)，所以 kPA5 383 3，因此甲舰行进的方向角为北偏东 30.本题考查平面直角坐标系的应用，考查直线方程和双曲线方程在实际中的应用，根据实际问题建立合适的坐标系并求得满足条件的方程是本题的关键 如图，某野生保护区监测中心设置在点 O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A、B、C，且|OA|OB|OC 30 km，一名野生动物观察员在
18、保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比 B 点接收到信号的时间早40V0 秒(注：信号每秒传播 V0千米).(1)以 O 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知 C 点与 A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心 O 的距离；(3)若 C 点监测点信号失灵，现立即以监测点 C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径 r 至少是多少千米？【思路导引】(1)根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；(2)AC 垂直平分线与双曲线的交点，
19、即为所求点；(3)根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可【解析】(1)设观察员可能出现的位置的所在点为 P()x，y ，因为 A 点接收到信号的时间比 B 点接收到信号的时间早40V0 秒，故|PB|PA 40V0 V040|AB 60，故点 P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为x2a2 y2b2 1(x0).由题可知 2a40，2c60，解得 b2c2a2500，故点 P 的轨迹方程为 x2400 y2500 1(x0).(2)因为 A()30，0 ，C()0，30 ，设 AC 的垂直平分线方程为 ykx，则 k3000()30 1，则 AC 的垂直平分线方程为 y
20、x，联立 x2400 y2500 1(x0 的离心率为2 33 ，O 为坐标原点，过右焦点 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M、N，且OMN 为直角三角形，若SONM3 32 ，则双曲线 C 的方程为()Ax212 y24 1 Bx26 y22 1 Cx23 y21 Dx22 y26 1【解析】选 C.由于双曲线 C 的离心率为 eca 1ba2 2 33 ，所以ba 33 ，可得 a 3 b，c2b，设点 M，N 分别为直线 y 33 x，y 33 x 上的点，且 MNON，则直线 MN 的方程为 y 3()x2b ，联立y 3()x2b，y 33 x，解得x32b，y 32 b，所以点 N3b2，3b2，则|ON 3b22 3b22 3 b，易知MON3 ，所以|MN|ON tan 3 3 3 b3b，所以 SONM12|ON|MN 3 32 b23 32 ，解得 b1，所以 a 3，因此双曲线 C 的方程为x23 y21.5(教材二次开发：练习改编)已知双曲线 y2n6 x2n 1 的离心率是 3，则 n_.【解析】当焦点在 y 轴上时，n60n0n6nn6 3，解得 n12，当焦点在 x 轴上时，双曲线标准方程为 x2n y26n 1，6n0，n0，n6nn3，解得 n6，综上得 n12，或 n6.答案：6 或 12