1、广东省揭阳市榕城区第三中学2020届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）第卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.）1.已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合A，根据集合的交集运算求解即可.【详解】，则.所以本题答案为D.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，属基础题.2.设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出不等式的解，根据
2、包含关系即可确定结论.【详解】不等式的解为x1或x-3，所以“”是“”成立的必要不充分条件.所以本题答案为B.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的概念，以及对必要不充分条件的判断，属基础题.3.设f(x)为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则f(-2)=（ ）A. 6B. -6C. 4D. -4【答案】A【解析】f(x)为定义在R上的奇函数，且当时，选A 4.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】所以5.函数的大致图象是A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由题意，函数满足，则或， 当时，为单调递增函数， 当时，故选A.6.函数f（x）=log2x的零点所在的区间为
3、（）A. （0，1）B. （l，2）C. （2，3）D. （3，4）【答案】B【解析】 单调递增 ，所以零点所在的区间为(1,2)，选B.7.设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相
4、应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.8.若函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数的对称轴，讨论区间与对称轴的位置关系，从而得到结果.【详解】函数的对称轴是，函数在区间上是单调函数，且函数的图象是开口向上的，则当，即时，函数在区间上是单调增函数；当，即时，函数在区间上是单调减函数.的取值范围是.所以本题答案为C.【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，由对称轴确定二次函数的单调性是常用手段，属基础题.9.设满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A. -4B. -2C. 0D. 2
5、【答案】C【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，将目标函数化为斜截式，通过平移得到过点C（2，0）时取得最小值.【详解】目标函数可化简为：y=2x-4+z,根据图像得到当目标函数过点C（2，0）时取得最小值，代入得到.故答案为：C.【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.10.若正数满足，当取得最小值时，
6、的值为（ ）A. B. 2C. D. 5【答案】B【解析】【分析】将方程变形 代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=3，然后利用基本不等式即可求解【详解】x+3y=5xy，x0，y03x+4y=（3x+4y）（）=3 当且仅当即x=2y=1时取等号,的值为2.故答案为：B.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.11.已知函数在处的极值为6，则数对为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】求出原函数的导函数，利用函数在处有极值6，得到，联
7、立方程组求解a和b的值即可得到结果.【详解】由得：，在处有极值6，计算得出：，或，则数对为或.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查了已知函数的极值求解参数的问题，要求仔细审题，认真计算，属基础题.12.已知函数，则方程实根的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由得到或，再根据的图象来判断当或时对应的有几个，即为实根个数【详解】由可得或，当时，当时，单调递减，当时，单调递增，函数在处取得极小值，极小值为，绘制函数的图象如图所示，观察可得，方程的实根个数为3，故选B【点睛】本题考查函数与方程中，导数在研究函数中的应用，图像法处理零点个数
8、问题，找到变量关系，灵活利用图象，是解题关键第卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题.）13.函数的定义域_【答案】xx-1且x2【解析】【分析】根据函数表达式得到解出即可.详解】根据函数表达式得到.故答案为：【点睛】求函数定义域的注意点：(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化；(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接.14.已知函数，则_【答案】-1【解析】【
9、分析】设，判断是奇函数，利用已知条件和奇函数的性质求出，从而得到的值.【详解】因，所以可设，即，所以为奇函数.因为，所以，即，所以.故本题正确答案为.【点睛】本题考查奇函数的概念和性质，考查了构造函数的方法，根据题意构造奇函数是解决本题的关键，属中档题.15.已知函数若，则_.【答案】或-1.【解析】【分析】讨论与0的大小关系后，分别代入到每段的表达式中，解出即可【详解】当时，当时，综上，或【点睛】本题考查分段函数已知函数值求自变量问题，需要分类讨论，且对最后结果要检验并进行取舍。16.已知函数在上连续，对任意都有；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；若，则实数的取值范围是_【答案】【解析
10、】【分析】利用函数的对称性，由可知函数关于直线对称，然后再根据所得性质构造函数，最后把进行单调性转化，整理出不等式，最后求解，即可求出实数的取值范围.【详解】由可知函数关于直线对称；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；可知函数在区间上单调递减，由对称性可知函数在区间上单调递增，不妨设，则由可得，整理得，即，解得或，所以实数的取值范围是答案为：【点睛】本题考查函数的对称性与构造函数的应用，难点在于根据已有的函数性质构造出相应的函数，属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题.）17.在等差数列中，前4项和为18.（1）求数列的
11、通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，即可求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求和，计算求解即可.【详解】（1）设等差数列的公差为.由已知得，解得，所以；（2）由（1）可得，所以，-，得，所以.【点睛】本题考查等差数列的基本运算和错位相减法求和，要求熟记公式，认真计算，属中档题.18.已知函数，.（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式
12、即可；（2）根据二次函数的图象与性质，列出不等式组，求出解集即可.【详解】（1）因为不等式的解集为，则方程两个根为1和2，由根与系数的关系可得，所以.由，得，即，解得或，所以不等式的解集为；（2）由题知函数，且在区间上有两个不同的零点，则，即，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式(组)的解法与应用问题，综合性较强，属中档题.19.如图，四棱锥的底面为直角梯形，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)求解线面平行，根据题意，连接相应的中位线
13、，根据中位线的关系可得，四边形是平行四边形.(2) 设的中点为， 可证两两垂直，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，然后求出平面的法向量，最后利用向量的内积关系即可求解出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）设的中点为，连接，为的中点，所以为的中位线，则可得，且；在梯形中，且，所以四边形是平行四边形，又平面，平面，平面 法二：设为的中点，连接，为的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，平面， 又在梯形中，且，所以四边形是平行四边形，又平面，平面，平面， 又，所以平面平面，又平面，平面 （2）设的中点为，又因为平面平面，交线为，平面，平面，又由，即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为
14、轴，为轴建立坐标系 已知点，设平面的法向量为：则有 ，可得平面的一个法向量为， 可得：，所以直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题的第一问是比较常规的证明线面平行的题目，难点在于根据中点连成相应的平行四边形，进而证明出线面平行；第二问是常规的求线面角的正弦值，难点在于建立坐标系，当建立了坐标系后，即可求出平面的法向量，进而求解所求角的正弦值.20.已知函数，.（1）若曲线在处的切线与函数也相切，求实数的值；（2）求函数在上最小值【答案】（1）或-1（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程，再与联立消去y得到关于x的一元二次方程，令判别式为0即可求得结果；（2）利用函
15、数的导数求出函数的单调区间， 通过讨论t的范围从而求出的最小值即可.【详解】（1），当时，所以在处的切线方程为.联立，得，由题意可知，所以或-1；（2）由（1）知，当时，单调递减，当时，单调递增当，即时，；当，即时，；当，即时，.综上，.【点睛】本题考查导数的几何意义和曲线相切的概念，考查了利用导数研究函数的最值和分类讨论的思想运用，综合性强，属难题.21.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据
16、以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P80120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？【答案】（1）；（2）甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大, 且最大收益为万元.【解析】试题分析：（1）当甲大棚投入万元，则乙大棚投入万元，此时直接计算即可；（2）列出总收益的函数式得，令，换元将函数转换为关于的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的值.试题解析： （1）甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，（2），依题得，即，故.令，则，当时，即时，甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.考点：1.函数建模；2.二次函数.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求的极坐标方程；(2)若直线的极坐标方程分别为，设直线与曲线的交点为，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由题意可得C的普通方程，极坐标方程为.（2）由题意可得，OMN为直角三角形，则.试题解析：（1）由参数方程，得普通方程，所以极坐标方程，即（2）直线与曲线的交点为，得，又直线与曲线的交点为，得，且，所以.
