1、第六章单元能力测试一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1已知O、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足20,则等于()A2B2C. D答案A解析22(),2.故选A2已知平面向量a(x,1),b(x,x2),则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线答案C解析ab(xx,1x2)(0,1x2),易知ab平行于y轴3设P是ABC所在平面内的一点,2,则()A.0 B.0C.0 D.0答案B解析如图,根据向量加法的几何意义2P是AC的中点,故0.4设向量a(3,),b为单位向量,且ab,则b()A(,)或(,)B(,
2、)C(,)D(,)或(,)答案D解析设b(x,y),由ab可得3yx0,又x2y21,得b(,)或b(,),故选D.5已知A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点,且|1,则等于()A. BC. D答案B解析11cos120.6复数等于()A1i B1iC1i D1i答案B7复数z的共轭复数是()A.i B.iC1i D1i答案B解析zi,i,故选B.8已知向量a(x1,2),b(4,y),若ab,则9x3y的最小值为()A2 B6C12 D3答案B解析ab,ab4(x1)2y0.2xy2.9x3y2269已知|a|2|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0有实根,则a与b的夹角的取值范围是()
3、A0, B,C, D,答案B解析|a|2|b|0,且关于x的方程x2|a|xab0有实根,则|a|24ab0,设向量ab的夹角为,cos,10已知三点A(2,3),B(1,1),C(6,k),其中k为常数若|,则与的夹角的余弦值为()A B0或C. D0或答案D解析由|解得k0或6,当k0时,与的夹角为,其余弦值为0;当k6时,与的夹角余弦值为11若O为平面内任一点且(2)()0,则ABC是()A直角三角形或等腰三角形B等腰直角三角形C等腰三角形但不一定是直角三角形D直角三角形但不一定是等腰三角形答案C解析由(2)()0得()()0,0,即|,ABAC.12平面向量也叫二维向量,二维向量的坐标
4、表示及其运算可以推广到n(n3)维向量,n维向量可用(x1,x2,x3,x4,xn)表示设a(a1,a2,a3,a4,an),b(b1,b2,b3,b4,bn),规定向量a与b夹角的余弦为cos.已知n维向量a,b,当a(1,1,1,1,1),b(1,1,1,1,1,1)时,cos等于()A. B.C. D.答案D解析ibi(n2)2n4.n,n.cos.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13已知a3i,则a_.答案23i14若平面向量a,b满足|ab|1,ab平行于x轴,b(2,1),则a_.答案(1,1)或(3,1)解析设a(x,y),b(2,1),则
5、ab(x2,y1),ab平行于x轴,y10,y1,故ab(x2,0),又|ab|1,|x2|1,x1或x3,a(1,1)或a(3,1)15已知直线xya与圆x2y24交于A、B两点,且|,其中O为坐标原点,则实数a的值为_答案2解析如图,作平行四边形OADB,则,|.又|,四边形OADB为正方形,易知|为直线在y轴上的截距大小,a2.验证a2时,成立16如图,正六边形ABCDEF中,P是CDE内(包括边界)的动点设(,R),则的取值范围是_答案3,4解析当P与C或E重合时,AF2或2,3当P在直线EC上时,因E,P,C共线,所以3;当P与D重合时,22,4.故的范围是3,4三、解答题(本大题共
6、6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2010江苏卷,文)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(t)0,求t的值解析(1)由题设知(3,5),(1,1),则(2,6),(4,4)所以|2,|4.故所求的两条对角线长分别为4,2.(2)由题设知(2,1),t(32t,5t)由(t)0,得(32t,5t)(2,1)0,从而5t11,所以t.18(本小题满分12分)已知a(1,2),b(1,1),且a与ab的夹角为锐角,求实数的取值范围解析a
7、与ab均不是零向量,夹角为锐角,a(ab)0,35,.当a与ab共线时,abma,即(1,2)m(1,2),得0,即当0时,a与ab共线,0.故且0.小结由a与ab的夹角为锐角,可得a(ab)0,但由a(ab)0,并不能推得a与ab的夹角为锐角,如0时,a(ab)0,但此时夹角为0,所以a(ab)0仅是a与ab夹角为锐角的必要条件,而不是充分条件19(本小题满分12分)(2010盐城一模)已知向量a(sin,),b(1,cos),(,)(1)求ab,求;(2)求|ab|的最大值解析(1)因为ab,所以sincos0.得tan.又(,),所以.(2)因为|ab|2(sin1)2(cos)254s
8、in()所以当时,|ab|2的最大值为549.故|ab|的最大值为320(本小题满分12分)已知向量a(,),b(2,cos2x)(1)若x(0,试判断a与b能否平行?(2)若x(0,求函数f(x)ab的最小值解析(1)若a与b平行,则有cos2x2,因为x(0,sinx0,所以得cos2x2,这与|cos2x|1相矛盾,故a与b不能平行(2)由于f(x)ab2sinx,又因为x(0,所以sinx(0,于是2sinx22,当2sinx,即sinx时取等号故函数f(x)的最小值等于2.21(本小题满分12分)若a,b是两个不共线的非零向量,tR.(1)若a,b起点相同,t为何值时,a,tb,(a
9、b)三向量的终点在一直线上?(2)若|a|b|且a与b夹角为60,t为何值时,|atb|的值最小?解(1)设atbma(ab),mR,化简得(m1)a(t)b,a与b不共线,t时,a,tb,(ab)的终点在一直线上(2)|atb|2(atb)2|a|2t2|b|22t|a|b|cos60(1t2t)|a|2.当t时,|atb|有最小值|a|.22(本小题满分12分)在ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2ac)cosBbcosC.(1)求B的大小(2)设m(sinA,cos2A),n(4k,1)(k1),且mn的最大值是5,求k的值解析(1)(2ac)cosBbcosC,(2sinAsinC)cosBsinBcosC,即2sinAcosBsinBcosCsinCcosBsin(BC)ABC,2sinAcosBsinA.0A,sinA0,cosB.0B1,t1时,mn取最大值依题意得(mn)max24k15,k.