1、第20练平面向量中的线性问题题型分析高考展望平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.体验高考1.(2015课标全国)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.答案A解析3，3()，即43，.2.(2016课标全国甲)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m等于()A.8 B.6 C.6 D.8答案D解析由题知ab(4，m2)，因为(ab)b，所以(ab)b0，即43(2)(
2、m2)0，解之得m8，故选D.3.(2016山东)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A.4 B.4 C. D.答案B解析n(tmn)，n(tmn)0，即tmn|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20，又4|m|3|n|，t|n|2|n|20，解得t4，故选B.4.(2015北京)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.答案解析()，x，y.高考必会题型题型一平面向量的线性运算及应用例1(1)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A. B. C.
3、D.(2)已知在ABC中，D是AB边上的一点，若2， ，则_.答案(1)D(2)解析(1)设y，yy()y(1y).3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，y，x(1x)，xy，x.(2)因为2，所以()，所以.点评平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)(，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.变式训练1(1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若k，则k等于()A.1 B.2 C.2 D.2(2)在ABC中
4、，0，a，b.若ma，nb，CGPQH，2，则_.答案(1)A(2)6解析(1)根据向量的基本定理可得，()()()，所以，k1，所以k1.故选A.(2)由0，知点G为ABC的重心，取AB的中点D(图略)，则()，由P，H，Q三点共线，得1，则6.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点A(3，0)，B(0，)，点O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_.答案1解析由题意知(3，0)，(0，)，则(3，)，由AOC30，知xOC150，tan 150，即，1.(2)平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)，请解答下列问题：求满足ambnc的实数m，n；若(a
5、kc)(2ba)，求实数k；若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.解由题意得(3，2)m(1，2)n(4，1)，得akc(34k，2k)，2ba(5，2)，(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k.设d(x，y)，则dc(x4，y1)，ab(2，4)，由题意得解得或d(3，1)或d(5，3).点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运
6、算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练2(1)如图所示，在ABC中，D为AB的中点，F在线段CD上，设a，b，xayb，则的最小值为()A.82 B.8 C.6 D.62(2)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是_.答案(1)B(2)m解析(1)因为点D为AB的中点，所以2，因为xayb，所以2xy.因为点F在线段CD上，所以2xy1，又x，y0，所以(2xy)4428，当且仅当y2x时取等号，所以的最小值为8.(2)因为(
7、3，4)，(6，3)，(5m，3m)，所以(3，1)，(m1，m).由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，而当与共线时，有，解得m，故当点A、B、C能构成三角形时，实数m满足的条件是m.高考题型精练1.设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是()A.a与a的方向相反B.a与2a的方向相同C.|a|a|D.|a|a答案B解析对于A，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反，B正确；对于C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小.2.设点M是ABC所在平面上的一点，且0，点D是AC的中点，则的值
8、为()A. B. C.1 D.2答案A解析D是AC的中点，延长MD至E，使得DEMD，四边形MAEC为平行四边形，().0，()3，故选A.3.已知点A(3，0)，B(0，2)，点O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC，设 (R)，则的值为()A.1 B. C. D.答案D解析过点C作CEx轴于点E(图略).由AOC，知|OE|CE|2，所以，即，所以(2，0)(3，0)，故.4.在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对答案C解析由已知，得8a2b2(4ab)2，故.又因为与不平行，所以四边形ABC
9、D是梯形.5.设向量a，b满足|a|2，b(2，1)，则“a(4，2)”是“ab”成立的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析若a(4，2)，则|a|2，且ab都成立；ab，设ab(2，)，由|a|2，知42220，24，2，a(4，2)或a(4，2).因此“a(4，2)”是“ab”成立的充分不必要条件.6.在四边形ABCD中，ABCD，AB3DC，点E为BC的中点，则等于()A. B.C. D.答案A解析，.7.给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；a
10、b的充要条件是|a|b|且ab；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是()A. B. C. D.答案A解析方向不一定相同；方向可能相反；若b0，则不对.8.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若5e1，3e2，则_.(用e1，e2表示)答案(5e13e2)解析在矩形ABCD中，因为点O是对角线的交点，所以()()(5e13e2).9.在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则_.答案解析依题意得，.又，于是有.又与不共线，因此有由此解得，2，所以.10.已知点G是ABC的外心，是三个单位向量，且20，如图所示，ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的
11、非负半轴上移动，点O是坐标原点，则|的最大值为_.答案2解析因为点G是ABC的外心，且20，所以点G是BC的中点，ABC是直角三角形，且BAC是直角.又，是三个单位向量，所以BC2，又ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，所以点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又|1，所以当OA经过BC的中点G时，|取得最大值，且最大值为2|2.11.设e1，e2是两个不共线的向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值.(1)证明由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2，2e18e2，
12、2.又与有公共点B，A，B，D三点共线.(2)解由(1)可知e14e2，3e1ke2，且B，D，F三点共线，(R)，即3e1ke2e14e2，得解得k12.12.已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线；(3)若t1a2，求当且ABM的面积为12时，a的值.(1)解t1t2t1(0，2)t2(4，4)(4t2，2t14t2).当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明当t11时，由(1)知(4t2，4t22).(4，4)，(4t2，4t2)t2(4，4)t2，又与有公共点A，不论t2为何实数，A，B，M三点共线.(3)解当t1a2时，(4t2，4t22a2).又(4，4)，4t24(4t22a2)40，t2a2，故(a2，a2).|4，点M到直线AB：xy20的距离d|a21|.SABM12，|AB|d4|a21|12，解得a2，故所求a的值为2.