1、北京市2015年高考数学（理）一轮专题复习特训概率和统计一 选择题1【2012北京（理）真题2】设不等式组表示的平面区域为在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是（A） (B) (C) (D) 【答案】D2【2012北京（理）真题8】某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，的值为 （A）5 (B)7 (C)9 (D)11【答案】C3 (2014年海淀一模理科)小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（ ） A 4种 B5种 C6种 D9种B4(2014年朝阳
2、一模理科)如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域的概率为（ ）A B C DA5 (2014年丰台一模理科)某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两人的平均成绩分别是，则下列说法正确的是( )（A），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛（B），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（C），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（D），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛D6(2014年丰台一模理科)如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2014
3、的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年 到2999年中“七巧年”共有（ ） （A）24个 （B）21个 （C）19个 （D）18个B7(2014年顺义一模理科)将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有（ ） A. 种 B 种 C. 种 D. 种 C二 填空题1 (2014年东城一模理科) 2 (2014年东城一模理科)3 (2014年东城一模理科)244 (2014年西城一模理科)科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法
4、种数是_. （用数字作答）485(2014年朝阳一模理科)有标号分别为1，2，3的红色卡片3张，标号分别为1，2，3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为_726 (2014年石景山一模理科)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有_ _种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）1807 (2014年延庆一模理科)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是
5、_三 解答题1【2014北京（理）真题16】. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217来源:Z#x#x#k#.COM主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过，一 场不超过的概率.（3） 记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明 在这比赛中的命中次数，比
6、较与的大小学科网（只需写出结论）【答案】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率为事件，由题可知，李明在该场比赛中命中率超过的场次有：主场2、主场3、主场5、客场2、客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率（2）设李明一场投篮命中率超过，一场命中率不超过的概率为事件，同理可知，李明主场命中率超过的概率，客场命中率超过的概率 故（3）2【2013北京（理）真题16】.( 本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2
7、天（）求此人到达当日空气重度污染的概率（）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【答案】解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，13） 根据题意，且 （）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 所以 （）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且 所以X的分布列为：X012P故X的期望 （）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大3【2012北京（理）真题17】（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别
8、设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾可回收物其他垃圾（）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（）试估计生活垃圾投放错误的概率；（）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，600当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值（注：，其中为数据的平均数）【答案】（1）由题意可知：（2）由题意可知：（3）由题意可知：，因此有当，时，有4【2011北京（理）真题17】本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植
9、树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为， 的平均数）【答案】解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于
10、“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=17+18+19+20+21=195 (2014年西城一模理科)（本小题满分13分）在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品. 寿命（天）频数频率
11、20307050合计200（）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值； （）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.（）解：，. 2分（）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为. 4分所以按分层抽样法，购买灯泡数，所以的最小值为 6分（）解：的所有取值为. 7分由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为， 8分从本批次灯泡中购
12、买3个，可看成3次独立重复试验，所以， ，. 11分所以随机变量的分布列为：012312分所以的数学期望13分（注：写出，. 请酌情给分）6 (2014年海淀一模理科) （本小题满分13分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：甲公司某员工A乙公司某员工B3965833234666770144222每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件45元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元（
13、）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的分布列和数学期望；（）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费解：（）甲公司员工A投递快递件数的平均数为36，众数为332分（）设为乙公司员工B投递件数，则当=34时，=136元，当35时，元，的可能取值为136，147，154，189，203 4分说明：X取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止的分布列为：1361471541892039分说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机
14、变量值计算错误的此处不再重复扣分11分（）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元13分运动协调能力7(2014年朝阳一模理科)某单位从一所学校招收某类特殊人才对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：逻辑思维能力一般良好优秀一般良好优秀例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为（I）求，的值；（II）从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率
15、；（III）从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望解：（I）设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人则解得所以 4分（II）设事件：从人中任意抽取人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有人则 7分（III）的可能取值为，位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人所以，所以的分布列为012所以， 13分8(2014年丰台一模理科)年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区
16、老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：健康指数210-160岁至79岁的人数250260652580岁及以上的人数20452015其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”。（）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。（）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”.请写出该地区老龄人健康指数X分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”.（）该地区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为， 所以该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为.-5分（
17、）该地区老龄人健康指数X的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计概率)：X210-1p EX=1.15 因为EX1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.-13分9(2014年石景山一模理科)经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量（ppm）0123456789135567中华人民共和国环境保护法规定食品的汞含量不得超过ppm（）检查人员从这条鱼中，随机抽出条，求条中恰有条汞含量超标的概率
18、；（）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数以此条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望解：（）记“条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标”为事件，则，条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标的概率为4分（）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，5分可能取，6分则，10分其分布列如下：012312分所以13分10 (2014年顺义一模理科) 某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错
19、3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响. (）求选手甲进入复赛的概率；() 设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.解：或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛，4分或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛 6分选手甲进入复赛的概率7分 X345P13分11 (2014年延庆一模理科) 对甲、乙两名篮球运动员分别在场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如右，列出乙的得分统计表如下：分值 0 , 10 )1 0 , 20 ) 20 , 30 ) 30 , 40 )场数10204030（）估计甲在一场比赛中得分不低于分的概率；（）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（）在乙所进行的场比赛中，按表格中各分值区间的场数分布采用分层抽样法取出场比赛，再从这场比赛中随机选出场作进一步分析，记这场比赛中得分不低于分的场数为，求的分布列解：（）2分（）甲更稳定，5分（）按照分层抽样法，在内抽出的比赛场数分别为，6分的取值为，7分，9分，10分，11分的分布列为：13分