1、山东省济南市第一中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、单选题：本大题共10个小题.每小题4分；共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：复数，共轭复数为，故答案为B考点：1、复数的四则运算；2、共轭复数的概念2.已知全集，集合, 集合，那么= （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求.【详解】由题得A=x|x0,B=y|y1，所以.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运
2、算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.3.已知等比数列中，则（ ）A. 12B. 10C. D. 【答案】A【解析】由已知，故选A.4.在中，若点满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】详解】试题分析：，故选A5.已知函数满足：对任意、且，都有；对定义域内的任意，都有，则符合上述条件的函数是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得知，满足条件的函数既是偶函数，又在上是增函数，根据这两条性质得出正确选项.【详解】依题意可知，函数既是偶函数，又在上是增函数，A选项中的函数为偶
3、函数，当时，为增函数；B选项中的函数为奇函数；C选项中的函数为非奇非偶函数；D选项中的函数为偶函数，但在上不单调.故选A.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，解题的关键要从题中的抽象关系式得出函数的单调性与奇偶性，并结合初等函数的基本性质或定义进行判断，属于基础题.6.已知为等差数列，为其前项和，若，则（ ）A. 49B. 91C. 98D. 182【答案】B【解析】，即，故选B7.已知函数，要得到的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】A【解析】函数，所以将函数的图象向左平移个单位时，可得到的图象，选A.8
4、.已知向量，则（ ）A. B. C. 5D. 25【答案】C【解析】【分析】先求出，再求出，问题得以解决.【详解】解：向量，.故选：C.【点睛】本题考查向量的模的求法，向量数量积的应用，考查计算能力.9.函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，根据定义在上的奇函数图像关于原点对称可以排除，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果【详解】当时，故函数图像过原点，排除又，令则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化结合四个选项，只有符合要求故选【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判
5、断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证10.已知函数，（其中为自然对数的底数），若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别讨论函数的性质和画出图象，函数有4个零点，即为有四个解，可令，通过图象观察，分析即可得到结论.【详解】解：函数为偶函数，且的最大值为1，由的导数为，可得时，递增，或，递减，取得极小值，作出，的图象，函数有4个零点，即为有四个解，可令，若，则，则有3解，不符题意；若，则有4解，两个负的，两个正的，则可能有4，6解，不符题意；若，则有4解，两个负的，
6、两个正的，（一个介于，一个大于1），则有6解，不符题意；若，则有4解，两个负的，两个正的（一个介于，一个大于1），则有4解，符合题意.故选：B.【点睛】本题考查复合函数的图象交点问题，以及函数的零点个数，考查数形结合思想方法，以及分类讨论思想方法，属于难度较大的题.二、多选题：本大题共3个小题.每小题4分，漏选得3分，错选不得分，共12分11.设是等差数列，为其前项和，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 、均为的最大值【答案】ABD【解析】【分析】利用结论：时，结合题意易推出，然后逐一分析各选项.【详解】解：由得，即，又，故B正确；同理由，得，故A正确；对C，即，可得，由结论，
7、显然C是错误的；与均为的最大值，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式和的最值问题，熟练应用公式是解题的关键.12.下列命题正确的是：（ ）A. 函数的图像关于坐标原点对称，B. 若，则，C. 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为D. 设、，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则不与垂直【答案】ABC【解析】【分析】A.通过函数的奇偶性来判断；B.利用对数函数的性质来判断；C.利用三角函数的对称性来判断；D.通过向量的运算法则来判断.【详解】解：对A：的定义域为，则为奇函数，故A正确；对B：由得，则，故，故B正确；对C：由题可得，得，解得，则当时，的最小值为，故
8、C正确；对D：，则与垂直，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的奇偶性，三角函数的性质，对数的性质，向量的运算法则，是基础题.13.对于函数，下列正确的是（ ）A. 是函数的一个极值点B. 的单调增区间是，C. 在区间上单调递减D. 直线与函数的图象有3个交点【答案】ACD【解析】【分析】求导，求出的单调性，极值点，极值，进而可进行判断.详解】解：由题得，令，可得，则在，上单调递增，在上单调递减，是函数的一个极值点，故AC正确，B错误；因为，又，根据在上单调递减得得，所以直线与函数图象有3个交点，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查函数的单调性，极值的综合应用，是中档题.三、填空题
9、：本大题共4个小题，每小题4分；共16分14.已知函数则_【答案】3【解析】，故答案为.【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于简单题. 对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰. 本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值.15.设是虚数单位，复数对应的点在直线上，则_【答案】0【解析】【分析】利用复数的除法运算，求出对应的点，代入直线，即可求出.【详解】解：，其对应的点为，代入直线得，解得.故答案：.【点睛】本题考查复数除法运算及几何意义，是基础题.16.已知是第四象限角，
10、且sin（+）=，则tan（）= .【答案】【解析】【分析】由题求得的范围，结合已知求得cos（），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（）的值【详解】解：是第四象限角，则，又sin（），cos（）cos（）sin（），sin（）cos（）则tan（）tan（）故答案为【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题17.设函数的最大值为，最小值为，则=_ .【答案】2【解析】，令，则为奇函数，所以的最大值和最小值和为0，又.有，即.答案为：2.四、解答题：本大题共6个小题，共82分，解答应写出文字说明
11、、证明过程或验算步骤.18.已知函数的图像在点处的切线与直线平行.（1）求的值：（2）求函数的单调区间；【答案】（1），（2）分别在，上是增函数，在上是减函数【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，再根据其图象在处的切线斜率为，列出方程即可求出的值；（2）令，可求出函数的单调增区间，相反的即为单调减区间.【详解】解：（1）在的图像上，又，当时，；（2），若，则或，分别在，上是增函数，在上是减函数.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调区间，属于基础题.19.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】
12、【分析】（1）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出的值，即可确定出的最小正周期；（2）由确定出的度数，利用正弦定理化简得到，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，联立求出与的值，利用余弦定理求出的值即可.【详解】解：（1），的最小正周期为；（2），则，又的面积为，则，由余弦定理得.【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.20.已知数列的前项和为，其中为常数（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（I）对于含递推式的处理，往往可转
13、换为关于项的递推式或关于的递推式结合结论，该题需要转换为项的递推式故由得两式相减得结论；（II）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明本题由，列方程得，从而求出得，故数列的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列分别求通项公式，进而求数列的通项公式，再证明等差数列试题解析：（I）由题设，两式相减得，由于，所以（II）由题设，可得，由（I）知，令，解得故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，所以，因此存在，使得为等差数列【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列21.已知向量（，），（，），且（）用cosx表示及|；（）求函数f（x）2|的最
14、小值【答案】（）2cos2x1，|2（）当0时，f（x）取得最小值1【解析】试题分析：（）2cos2x1，|2|，0， |2（）f（x）2|2cos2x142（1）23， 01， 当0时，f（x）取得最小值1考点：本题考查了三角变换与数量积的坐标运算点评：以向量为背景考查三角函数的化简及性质是近两年考试的热点，既考查了向量的坐标运算，又考查了三角函数的性质及最值22.在数列中，已知，且对于任意正整数都有.（1）令，求数列的通项公式.（2）求的通项公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由.化为，利用等比数列的通项公式即可求出；（2）由（1）可得，可得，利用等比数列的通项公式即可求出.【
15、详解】解：（1）由已知可得，即，则是公比为的等比数列，又，所以，即；（2）由（1）知，所以，令，有，则是公比为的等比数列，又，所以，所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.23.已知函数（1）求函数的最大值；（2）若函数与有相同极值点求实数的值；若对于（为自然对数的底数），不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（）；（）（）1； （）【解析】试题分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而得函数的最大值；（2）（）求导函数，利用函数与有相同极值点，可得是函数的极值点，从而求解的值；（）先求出，再将对于，不等式恒成立，等价变形，分类讨
16、论，即可求解实数的取值范围试题解析：（1），由得，由得，在上为增函数，在上为减函数，函数的最大值为；（2），（）由（1）知，是函数的极值点，又函数与有相同极值点，是函数的极值点，解得，经检验，当时，函数取到极小值，符合题意；（）， ， 即，由（）知，当时，当时，故在为减函数，在上为增函数，而，当，即时，对于，不等式恒成立，又，当，即时，对于，不等式，又，综上，所求的实数的取值范围为考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的恒成问题的求解【方法点晴】本题主要考查了导数在求解函数的最大值、最小值等问题中的应用积极函数的恒成立问题的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，属于难度较大的试题，本题的第2解答中，求出，将对于，不等式恒成立，转化为时，；时，分别求解实数的取值范围