1、单调性与最大（小）值教案教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2、掌握增（减）函数的证明和判别.3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质.数字是罗马字体教学重难点重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值.难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值.教学过程在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。一、情景导入问题：1数字是罗马字体，下同、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函
2、数的哪些变化规律：yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1坐标系中x,y需要斜体（1）随x的增大，y的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？二、新课教学（一）函数单调性定义1增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，数字和括号不需要斜体，个别字母格式不正确，下同那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义（学生活动）注意：模糊，建议重新输入，下同 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性
3、质；单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。2函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常
4、是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性） 不要有空格4、判定函数单调性的常见方法（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法（2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。直接判定函数的单调性，可用到以下结论： （3.1）函数y=-f(x)与函数y=-f(x)的单调性相反 （3.2）函数y(x)恒为正或恒为负时，函数与的单调性相反。 （3.3）在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增
5、函数 等提醒：书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。（二）典型例题例1（教材P29例1）根据函数图象说明函数的单调性解：见教材例2（教材P29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性解：见教材例3借助计算机作出函数y =x2 +2| x | + 3的图象并指出它的的单调区间解： 用几何画板画，用A3打印，由学生看图回答。巩固练习：证明函数公式不能是图片在（1，+）上为增函数。归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求
6、函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论（三）函数的最大（小）值画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题： 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）（2）（3）（4）对齐（3.1）函数最大（小）值定义1最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(
7、x)的最小值（Minimum Value）的定义（学生活动）注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）2利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)
8、在x=b处有最小值f(b)；（3.2）典型例题例1（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值解：（略）巩固练习：把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？本题是在教材23页练习第一题的增加（正方形）例2（新题讲解）旅 馆 定 价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（%）16055140651207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位
9、之间，房价与住房率之间存在线性关系设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为(160-x)元时，住房率为数学编辑器里乘号有误，于是得y=150(160-x)由于1，可知0x90因此问题转化为：当0x90时，求的最大值的问题将y的两边同除以一个常数0.75，得y1=x250x17600由于二次函数y1在x=25时取得最大值，可知y也在x=25时取得最大值，此时房价定位应是16025=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）所以该客房定价应为135元（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例2前面也有例2（教材P31例4）求函数在区间2，6上的最大值和最小值解：（略）三、课堂练习教材32页练习1、2、3、4四、作业布置：习题A组1、2、3、4教学反思本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.
