1、考点八 导数及其应用 第一部分 刷考点A卷 一、选择题1求曲线 yx2 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积，其中正确的是()AS01(x2x)dxBS01(xx2)dxCS01(y2y)dyDS01(y y)dy答案 B解析 依题意，在同一坐标系下画出曲线 yx2 与直线 yx 的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1)，结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为01(xx2)dx，选 B.2已知函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为()A1B2C3D4答案 A解析 如图，在区间(
2、a，b)内，f(c)0，且在点 xc 附近的左侧 f(x)0，所以函数 yf(x)在区间(a，b)内只有 1 个极小值点，故选 A.3(2019天津南开区模拟)过函数 f(x)13x3x2 图象上一个动点作图象的切线，则切线倾斜角的范围是()A0，34B0，2 34，C34，D2，34答案 B解析 因为 f(x)x22x(x1)211，所以斜率 ktan1，解得倾斜角 0，2 34，.4函数 f(x)x33x22 在区间1,1上的最大值是()A2B0C2D4答案 C解析 f(x)3x26x.令 f(x)0，得 x0 或 x2(舍去)因为 f(1)2，f(0)2，f(1)0，所以 f(x)max
3、f(0)2.故选 C.5已知偶函数 f(x)的定义域为 R，且当 x0 时，f(x)ln(3x1)ex，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为()A14eB12eC34eD32e答案 C解析 由题意得，偶函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，f(1)f(1)，当 x0 可解得0 x0，则 x0_.答案 3解析 依题意得a3x3bx 30 3(ax20b)，即 3ax209a(a0)，x203(x00)，由此解得 x0 3.12若函数 f(x)x3mx2m43 x6 在 R 上有极值，则实数 m 的取值范围是_答案 m4 或 m0，即 4m212m43 0，解得 m4 或 m0 时，
4、求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程解(1)f(x)x3ax2bxa2，f(x)3x22axb.f(1)1aba24，f(1)32ab0，a3，b9 或a2，b1.经检验都符合题意(2)当 a0 时，由(1)得 f(x)x33x29x9，f(x)3x26x9.f(2)31，f(2)9.所求的切线方程为 y319(x2)，即 9xy130.14已知函数 f(x)ln x，g(x)32ax(a 为实常数)(1)当 a1 时，求函数(x)f(x)g(x)在 x4，)上的最小值；(2)若方程 e2f(x)g(x)(其中 e2.71828)在区间12，1 上有解，求实数 a的取值范围解(1)
5、当 a1 时，函数(x)f(x)g(x)ln x321x，(x)1x1x2x1x2.x4，)，(x)0.函数(x)f(x)g(x)在 x4，)上单调递增，当 x4 时，(x)min2ln 254.(2)方程 e2f(x)g(x)可化为 x232ax.a32xx3.设 y32xx3，则 y323x2.x12，1，函数 y32xx3 在12，22 上单调递增，在22，1 上单调递减x12时，y58；x 22 时，y 22；x1 时，y12，y12，22，a12，22.B卷 一、选择题1已知函数 f(x)x2x，则下列结论正确的是()A当 x 1ln 2时，f(x)取最大值B当 x 1ln 2时，f
6、(x)取最小值C当 x 1ln 2时，f(x)取最大值D当 x 1ln 2时，f(x)取最小值答案 D解析 由题意知，f(x)2xx2xln 2，令 f(x)0，得 x 1ln 2，又当x 1ln 2时，f(x)1ln 2时，f(x)0.当 x 1ln 2时，f(x)取最小值2已知 f(x)2x36x2m(m 为常数)在2,2上有最大值为 3，那么此函数在2,2上的最小值为()A0B5C10D37答案 D解析 由题意知，f(x)6x212x，由 f(x)0 得 x0 或 x2，当 x2 时，f(x)0，当 0 x2 时，f(x)0，此时函数 f(x)在区间(0，)上单调递增，不可能有两个零点；
7、当 a0 时，函数 f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，)上单调递增，因为 f(0)10，若函数 f(x)在区间(0，)内有两个零点，有 f(a)2a33a311a31，故选 B.4(2019江西吉安一模)过点 P(1,1)且与曲线 yx3 相切的直线的条数为()A0B1C2D3答案 C解析 若直线与曲线切于点(x0，y0)(x00)，则 ky01x01x301x01x20 x01，又y3x2，k3x20，2x20 x010，解得 x01 或 x012，过点 P(1，1)与曲线 C：yx3 相切的直线方程为 3xy20 或 3x4y10，故选 C.5设 f(x)x2，x0，1，1x
8、，x1，e(e 为自然对数的底数)，则0ef(x)dx()A43B23C23D43答案 D解析 依题意得，0ef(x)dx01x2dx1e1xdx13x310 ln xe1 13143.6曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy80 的最短距离是()A2 5B2C2 3D 3答案 A解析 当 y22x12 时，x1，则点(1,0)到直线 2xy80 的距离是曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy80 的最短距离，即最短距离为285 2 5，故选 A.7(2019广东揭阳二模)以下四个数中，最大的是()Aln 3 3B1eCln D 15ln 1530答案 B解析 由题意，令 f(x)ln
9、 xx，则 f(x)1ln xx2，xe 时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递减，又由 e3f(3)f()f(15)，则ln e1e ln 313 ln 1 ln(15)115，1eln 3 3ln 1530 ln 15，故选 B.8(2019江西景德镇二检)定义在 R 上的函数 f(x)满足对任意 x(0，)，都有 f(x)f(b)f(a)，则下列关系式中正确的是()AabBab2Da2b2答案 D解析 记 g(x)f(x)f(x)，则 g(x)f(x)f(x)，因为当 x(0，)时，f(x)f(x)，即 g(x)f(b)f(a)f(a)f(a)f(b)f(b)g(a)g(b)，所以|
10、a|b|，即 a2b2，故选 D.二、填空题9(2019天津和平区模拟)已知函数 f(x)2f(1)ln xx，则 f(x)的极大值为_答案 2ln 22解析 f(x)2f1x1，f(1)2f111，f(1)1，因此 f(x)2ln xx.令 f(x)2x10，得 x2，当 x2 时，f(x)取得极大值 2ln 22.10(2019江西新八校第二次联考)若 f(x)3f(x)x32x1 对 xR恒成立，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为_答案 10 x4y50解析 f(x)3f(x)x32x1，f(x)3f(x)x32x1，联立，得 f(x)12x3x14，则f(x)32x21
11、，f(1)32152，又 f(1)1211454，切线方程为 y5452(x1)，即 10 x4y50.11要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm.要使体积最大，则高为_ cm.答案 20 33解析 设高为 h cm，则底面半径 r 400h2(cm)，所以体积 V3r2h3h(400h2)，则 V3(4003h2)令 V3(4003h2)0，解得 h20 33.即当高为20 33 cm 时，圆锥的体积最大12若函数 f(x)13x33x2ln x 在t，t1上不单调，则实数 t 的取值范围是_答案 1t2解析 依题意，f(x)x232xx33x2xx2x12x，可以验证x2 为极小值点
12、，故 t2t1，解得 1t0),所以当 0 x0，g(x)单调递增；当 x e时，g(x)0，g(x)单调递减，所以当 x e时，g(x)取得最大值，g(e)12e，故 a 的取值范围是 a 12e.(2)设 yf(x)的图象与 ya 相切于点(t，a)，依题意可得fta，ft0.因为 f(x)a1ln xx2，所以atln tt a，a1ln tt20，消去 a 可得 t1(2t1)ln t0，令 h(t)t1(2t1)ln t，则h(t)1(2t1)1t2ln t1t2ln t1，显然 h(t)在(0，)上单调递减，且 h(1)0，所以 0t0，h(t)单调递增；t1 时，h(t)0，h(
13、t)单调递减，所以当且仅当 t1 时，h(t)0，故 a1.14(2019山西考前适应性考试)已知函数 f(x)(kx1)exk(x1)(1)若 f(x)在 xx0 处的切线斜率与 k 无关，求 x0；(2)若xR，使得 f(x)0 成立，求整数 k 的最大值解(1)f(x)(kxk1)exk，即 f(x)k(x1)ex1ex，由已知得(x01)ex010.令(x)(x1)ex1，则(x)(x2)ex，当 x(，2)时，(x)0，(x)单调递减，x2，x11，(x1)ex0，(x1)ex10，因此(x)0，(x)单调递增又(0)0，所以(x)只有唯一零点，故 x00.(2)f(x)0，即 k(
14、xexx1)0；当 x0 时，ex10，x(ex1)10.x(ex1)10.k(xexx1)ex 可等价转化为 kexxexx1.设 g(x)exxexx1，由题意 kg(x)max.又 g(x)ex2exxxexx12，令 h(x)2exx，则 h(x)ex10，h(x)0，h(1)0，即 g(x)0，g(x)单调递增；当 x(x0，)时，h(x)0，即 g(x)0，g(x)单调递减g(x)maxg(x0)ex0 x0 ex0 x012x0 x02x0 x011x021x023.令 tx02t(2，1)，则 yt1t312，1，g(x)max(1,2)，故整数 k 的最大值为 1.本课结束