1、2020年11月高一年级期中考试数学试题本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据交集的定义写出即可【详解】集合，则故选：.2. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】“a1”“”，“”“a1或a0”，由此能求出结果【详解】aR，则“a1”“”，“”“a1或a0”，“a1”是“”的充分非必要条件故选A【点睛】充分、必要条
2、件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据对应关系和定义域均相同则是同一函数，对选项逐一判断即可.【详解】选项A中，但的定义域是，定义域是R，不是同一函数；选项B中，但的定义域是，定义域是R，对应关系相同，定义域不同，不是同一函数；选项C中，定义域R，定义域为，对应关系相同，
3、定义域相同，是同一函数；选项D中，定义域R，与，定义域，对应关系不相同，定义域不相同，不是同一函数.故选：C.4. 设，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解【详解】解：，即，即，在上为增函数，且，即，故选：A【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题5. 已知函数 是幂函数，且 时，单调递减，则 的值为（ ）A. 1B. -1C. 2或-1D. 2【答案】B【解析】分析】由题意可得，且，解出即可【详解】解： 是幂函数，即，或，又当 时，单调递减，当时，不合题意，舍去；当，符合题意，故选：B6. 已知，函数与的图象可能是
4、（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域，判断两个函数的单调性，即可求解.【详解】，函数在上是增函数，而函数定义域为，且在定义域内是减函数，选项B正确故选:B.【点睛】本题考查函数的定义域、单调性，函数的图像，属于基础题.7. 已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据分段函数在上是增函数，则由每一段都是增函数且左侧函数值不大于右侧的函数值求解.【详解】因为函数，在上是增函数，所以，解得，故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题.8. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式
5、的解集是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知在上是减函数，再根据对称性和得出在各个区间的函数值的符号，从而可得出答案【详解】解：对任意的恒成立，在上是减函数，又，当时，当时，又是偶函数，当时，当时，的解为故选B【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 下列不等式成立的是（ ）A. 若ab0，则a2b2B. 若ab4，则ab4C. 若ab，则ac2bc2D. 若ab0，m0，则【
6、答案】AD【解析】【分析】由不等式的性质对各个选项进行推理、验证可得正确答案.【详解】解：对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；对于B，当，时，显然B错误；对于C，当时，故C错误；对于D，因为，所以，所以所以，即成立，故D正确故选AD【点睛】本题主要考查不等式的性质及应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.10. 下列叙述正确的是（ ）A. 已知函数，则f(6)=8B. 命题“对任意的，有”的否定为“存在，有”C. 已知正实数，满足，则的最小值为D. 已知的解集为，则a+b=5【答案】ACD【解析】【分析】直接由分段函数表达式代入求解即可判断A，由全称命题的否定为特称命题可判断B，由基本
7、不等式结合，巧用“1”即可求最值，根据一元二次不等式解与系数的关系可判断C.【详解】对于A，所以，正确；对于B，命题“对任意的，有”为全称命题，否定为特称命题，即“存在，有”，不正确；对于C，由，可得，所以，当且仅当，即时，取得最小值，正确.对于D，的解集为，所以的两个根式1和4，所以，所以，正确.故选：ACD.11. 关于函数，下列结论正确的是（ ）A. 的图象过原点B. 是奇函数C. 在区间(1，)上单调递增D. 是定义域上的增函数【答案】AC【解析】【分析】根据函数奇偶性定义、单调性定义以及计算函数值进行判断选择.【详解】,所以A正确，因此不是奇函数，B错误，在区间(1，)和上单调递增，
8、所以C正确，D错误，故选：AC【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（ ）A. B. C. 函数是偶函数D. 函数是奇函数【答案】ABC【解析】【分析】根据自变量是有理数和无理数进行讨论，可判定A、C、D，举特例根据和可判断B即可得到答案.【详解】对于A中，若自变量是有理数，则，若自变量是无理数，则，所以A是真命题；当是无理数，是无理数，则是无理数，则，满足，所以B正确；对于C，当为有理数时，则为有理数，则当无理数时，则为无理数，则故当时，函
9、数为偶函数，所以C是真命题；对于D中，若自变量是有理数，则也是有理数，可得，所以不是奇函数，D不正确.所以D是假命题；故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若，则的解析式为_.【答案】【解析】【分析】换元法令即可求出函数解析式；或者配凑法求解析式【详解】解：（换元法）令，则，（配凑法），且，故答案为：【点睛】方法点睛：本题主要考查函数解析式的求法，常用方法有：（1）换元法或配凑法：已知求，一般采用换元法或配凑法，令，代入求出，或者将中配凑成关于的式子，由此可求得；（2）待定系数法：已知函数类型常用待定系数法；（3）方程组法：已知、满足的关系式或、满足的关系式常
10、用方程组法，将条件中的或替换成得另一方程，再解方程组即可求得答案14. 已知函数（且）恒过定点，则_.【答案】【解析】【分析】当时，函数值域与没有关系，由此求得恒过的定点，并求得表达式的值.【详解】当，即时，函数值域与没有关系，此时，故函数过定点，即，所以.【点睛】本小题主要考查指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为的时候，由此求得恒过的定点，属于基础题.15. 若不等式对一切成立，则的取值范围是 _ _ .【答案】【解析】【详解】当，时不等式即为 ，对一切恒成立 当时，则须 ，由得实数的取值范围是，故答案为.16. 定义区间,的长度为-,若函数y=|log2x|的定义域为a,b,值域为0,
11、3到,则区间a,b的长度最大值为_【答案】【解析】【分析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间，的长度的最大值【详解】因为函数的定义域为，值域为，解得，故函数的定义域为，此时，函数的定义域的区间长度为，故答案为【点睛】本题主要考查新定义的理解及应用，考查对数函数的图象和性质，考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）利用分数指数幂运算及根式求解即可（2）利用对数运算求解【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】
12、本题考查指数幂及对数运算，是基础题18. 已知集合. 若，求实数的取值范围【答案】或【解析】【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案【详解】解：，为方程的解集，若，由 ，或，或，当时，方程有两个相等实根，即， 不合题意，同理，同理当时， ，符合题意；若，则，；综上所述，实数的取值范围为或【点睛】易错点睛：本题主要考查根据集合间的包含关系求参数的取值范围，解题时容易忽略子集可能为空集的情况，属于基础题19. 已知是定义在上的奇函数，当时，（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可；（2）根据函数
13、的解析式分类讨论进行求解即可.【详解】（1）是定义在上的奇函数，.又当时，.又为奇函数，.（2）当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得.综上，不等式的解集用区间表示为.【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.20. 已知lg(3x)lgylg(xy1)(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值【答案】（1）1 （2）2【解析】解：由lg(3x)lgylg(xy1)得(1)x0，y0，3xyxy121，3xy210，即3()2210，(31)(1)0，1，xy1，当且仅当xy1时，等号成立xy的最小值为1.(2)x0，y0，xy13xy3()2，3(xy)
14、24(xy)40，3(xy)2(xy)20，xy2，当且仅当xy1时取等号，xy的最小值为2.21. 已知二次函数，其中（）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；（）若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有成立，求实数的取值范围【答案】（）2；（）.【解析】【分析】（）求出的单调性，求出函数的最值，得到关于的方程，解出即可；（）根据在区间上是减函数，得出的一个取值范围；再对任意的，又可求出的一个取值范围；最后两者取交集，则问题解决【详解】（），开口向上，对称轴是递减，则，即，故；（）因为在区间上是减函数，所以因此任意的，总有，只需即可解得：，又因此【点睛】本题主要考查了已知二次函数单调区间求参
15、数的范围以及根据二次函数的值域求参数的值，属于中档题.22. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有.（1）判断函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）是增函数，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在1，1上是的增函数；（2）利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式m25mt-5进行转化，结合二次函数性质即可求实数m的取值范围【详解】（1）函数在1，1上是增函数.设是定义在1，1上的奇函数，.又，由题设有，即，所以函数在1，1上是增函数. （2）由（1）知，对任意恒成立， 只需对恒成立，即对恒成立， 设，则，解得或， 的取值范围是【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键综合性较强，运算量较大