1、内蒙古包头市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）一.选择题1. 双曲线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再由求焦点坐标.【详解】双曲线方程为，焦点坐标可设为.，焦点坐标为，故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题.2. 已知命题，那么命题的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将特称命题否定为全称命题即可【详解】解：因为，所以命题的否定为，故选：C【点睛】此题考查特称命题的否定，属于基础题3. 已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方
2、程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】椭圆长轴为，焦点恰好三等分长轴，所以椭圆方程为，故选B.4. 圆O1：和圆O2：的位置关系是A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切【答案】B【解析】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B考点：圆与圆的位置关系5. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”B. “”是“”的必要不充分条件C. 命题“，使”的否定是：“均有”D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论【详解】
3、解：命题“若，则”的否命题为：“若，则”，则错误由，解得或，则“”是“”的充分不必要条件，故错误命题“使得”的否定是：“均有”，故错误命题“若，则”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若，则”的逆否命题为真命题，故正确故选【点睛】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否定6. 过原点且倾斜角为60的直线被圆所截得的弦长为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】由题意可得，直线方程为：，即，圆的标准方程为：，圆心到直线的距离：，则弦长为：.本题选择A选项.点睛：圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l
4、，则；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.7. 过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据所给信息，利用排除法解题【详解】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，点在圆上，排除A故选C【点睛】本题考查利用排除法选出圆的标准方程，属于基础题8. 椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则等于（ ）A. 2B. 4C. 8D. 【答案】B【解析】分析】先利用椭圆定义得到，再利用中位线定理得即可.【详解】由椭圆方程，得由椭圆定义得又，为的中点，为的中点，线段为中位线，有.故选：B9. 直线：与圆：位置关系是（ ）A.
5、相交B. 相切C. 相离D. 不确定【答案】A【解析】【分析】由直线方程可得直线过定点，又点在圆内，得到答案.【详解】直线：过定点，因为，则点在圆的内部，直线与圆相交，故选：A.10. 若圆有且仅有三个点到直线距离为1，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆的圆心为，半径，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为，故圆心到直线的距离为，即，解得.11. 椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，若，那么的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，设有本题选择D选项点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用
6、正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a，c的关系12. 椭圆的左、右焦点为，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆的左、右焦点为，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若为等边三角形，可得，所以：，即，解得，故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.二.填空题13. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为_【答案】4【解析】【分析】由题意得，从而可求出的值【详解】由题
7、得，解得或（舍去），故答案为：4【点睛】此题考查椭圆与双曲线共焦点问题，属于基础题14. 圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为_【答案】【解析】设圆心，半径为，则由题意知，解得，所以所求圆的方程为，故填：.15. 已知，是圆与圆的公共点，则线段的长度为_.【答案】【解析】【分析】利用两个圆的方程求出公共弦所在直线方程，然后求出点到直线的距离，再根据勾股定理可求得弦长.【详解】由两圆方程相减，消去二次项可得两圆公共弦所在直线方程为：，又圆的圆心，半径，所以点到直线的距离，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用两个圆的方程求出公共弦所在直线方程是解题关键.16.
8、 椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为_；若，两点的坐标分别为和，且，则的内切圆半径为_.【答案】 (1). 8 (2). 【解析】【分析】利用椭圆的定义可求得的周长，利用两种方法求出的面积相等可得的内切圆半径.【详解】由知，所以，所以，根据椭圆的定义可得，所以的周长为.因为，设的内切圆半径为，则，所以，解得.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：利用两种方法求出的面积相等求解的内切圆半径是解题关键.三.解答题17. 求下列曲线的标准方程.（1）求焦点在轴上，焦距为2，过点的椭圆的标准方程；（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程.【答案】（1）；（2）.【解析
9、】【分析】（1）由题意知，根据椭圆的定义求出，根据得到，从而可得椭圆的标准方程；（2）根据求出焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为，代入点并利用可求得，从而可得结果.【详解】（1）由题意知，焦点，根据椭圆定义可得，即，所以，所以，故椭圆的方程为.（2）由得，所以，所以，所以双曲线双曲线的焦点为，设双曲线的方程为，可得，将点代入双曲线方程可得，解得，即有所求双曲线的方程为：.【点睛】关键点点睛：第一问利用椭圆的定义求出是解题关键；第二问根据两个双曲线的半焦距相等求解是解题关键.18. 已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题关于的不等式恒成立；（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假
10、命题，“”为真命题.求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据判别式小于0可解得结果；（2）根据复合命题的真假可得，为一个真命题，一个假命题，分两种情况讨论列式可解得结果.【详解】（1）若命题是真命题，则关于的不等式恒成立；则判别式，即，得（2）方程表示焦点在轴上椭圆.，解得：，若命题为真命题，则实数的取值范围是；由（1）知，若命题为真命题，则实数的取值范围是若“”为假命题，“”为真命题，则，为一个真命题，一个假命题，若真假，则，此时无解，若假真，则，得.综上，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：分别根据命题为真命题，求出的取值范围是解题关键.19. 已知圆C经过点
11、，且圆心为.（1）求圆C的标准方程；（2）过点作圆C的切线，求该切线的方程及切线长.【答案】(1) ；(2) 切线方程为或.切线长为【解析】【分析】(1)根据点到点的距离公式求解半径,再写出标准方程即可.(2)讨论当切线斜率不存在时是否满足题意,再讨论当切线有斜率时,设点斜式再利用直线与圆相切,根据圆心到直线的距离等于半径求解斜率即可.【详解】(1)由题意可得,圆的半径.故圆的标准方程为.(2)当过点的切线不存在时,方程为,不满足与圆相切.故设切线方程为.此时,化简得.解得或.故切线方程为或.此时由圆的性质可知,切线长为.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程求解以及求过圆外一点的切线方程.需要根
12、据题意求得半径长,再根据点斜式与圆心到直线的距离等于半径列式求解斜率即可.属于中档题.20. 已知点在圆上运动，点坐标为.（1）求线段中点的轨迹方程；（2）若直线与坐标轴交于两点，求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式，进而求解线段中点的轨迹方程即可（2）利用点到直线的距离公式，进行求面积的取值范围即可【详解】（1）已知点在圆上运动，点坐标为设的中点为，由中点坐标公式可知，所以代 入圆中，故线段中点的轨迹方程为（2）圆化为，圆心，半径为1，圆心到直线l的距离为，则圆上一动点到直线的距离的最小值是，最大值是，又，所以面积【点睛】关键点睛：利用中点坐标公式
13、以及点到直线的距离公式求解即可，属于基础题21. 已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为2，为坐标原点.（1）求的方程；（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据离心率和斜率公式可解得，从而可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出弦长，结合已知弦长列方程可解得结果.【详解】（1）由离心率，则，设，则直线的斜率，则，椭圆的方程为；（2）由题意得直线，设，则，整理得：，即，即，解得：或（舍去），【点睛】关键点点睛：根据弦长公式求出弦长是本题解题关键.22. 已知椭圆的离心率是，其上顶点为点，右焦
14、点为点，的面积为，过作圆的一条切线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）根据条件求出，即可求出椭圆的标准方程；（2）由于三角形的高为定值1，故，根据的取值范围分类讨论求弦长，即可的三角面积的最大值.【详解】（1）由已知条件，得，.又，.椭圆的标准方程为.（2）由题意，得.当时，切线的方程为，点，的坐标分别为，则，故.同理，当时，.当时，设切线的方程为，.由消去，得.直线与椭圆有两个不同的交点，即，.又直线与圆相切，即.由，得或.满足题意，或，即.，.，当且仅当时，等号成立.综上所述，当时，有最大值1.【点睛】关键点点睛：本题主要考查根据直线斜率的情况分类讨论求弦长，当直线斜率不存在时直接计算弦长，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理及弦长公式求解即可，属于中档题.