1、【专题二】分类讨论思想【考情分析】分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容，预测2011年高考对本专
2、题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。【知识交汇】分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a0、a0、a
3、2时分a0、a0和a0) ，圆半径|ON|=1，|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|21，设点M的坐标为（x，y），则，整理得：，经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程。当=1时，方程化为 ，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点；当1时，方程化为，它表示圆，该圆圆心的坐标为 ，半径为。点评：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论，求得问题的结果。题型4：不等式中分类讨论问题例7解不等式0 (a为常数，a)分析：含参数的不等式，参数a决定了2a1的符号
4、和两根4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a0、a0、a0、a0时，a； 4a0 。所以分以下四种情况讨论：当a0时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当a0时，x0，解得：x0；当a0，解得: x4a；当a时，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0时，x6a；当a0时，x0；当a0时，x4a；当a时，6ax0或a0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。题型5：数列中分类讨论问题例9（2011天津理20）已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）
5、设，证明：是等比数列；（III）设证明：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.（I）解：由 可得又（II）证明：对任意，得将代入，可得，即又因此是等比数列.（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意点评：数列证明中的数学归纳法是一个需要牢记的分类递进推理过程，证明格式相对严格、规范。例10（2010四川理数）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn
6、12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn。解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126，再令m3,n1，可得a52a3a1820。(2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得：a2n3a2n12a2n18。于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8，即 bn1bn8。所以bn是公差为8的等差数列(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得：an-(n1)
7、2.那么an1an2n12n12n于是cn2nqn1.当q1时，Sn2462nn(n1)当q1时，Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn22nqn2，所以Sn2综上所述，Sn。点评：等比数列的求和公式只适合于，特别公比中含参数时，需要分类讨论。题型6：三角函数与三角形中分类讨论问题例11解析：， ； ；这与三角形的内角和为180相矛盾。， ，因此，只要根据已知条件，求出cosA，sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分
8、类讨论。对角A进行分类。例12若函数f(x)=a+bcosx+csinx的图象经过点(0，1)和时，|f(x)|2恒成立，求实数a的取值范围。解析：f(x)经过点(0，1)和f(x)=a+(1-a)cosx+(1-a)sinx=a+(1-a)(sinx+cosx)，。(1)a0，要使-2f(x)2，恒成立，只要，即。；(2)a=1时，(3)a1时，1-a8,a=8,a8，根据条件，逐一讨论，使问题得以解决【思维总结】分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“各个击破”。但由于分类讨论一般过程较为冗长，叙述较为烦琐，且极易在完备上
9、造成失误，因此它并非一定是解决问题的上策或良策，我们提倡在熟悉和掌握分类思想的同时，要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论。下面结合一些实例，谈谈简化分类讨论的常用策略。消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。 1对于分类讨论题不要急于直接进行分类讨论，首先应认真审查题目的特点，考虑是否可以你用合适的公式、法则，能否进行某中变形，可否改变常规的思维方式和解题策略，即能否消除或掩盖“讨论基因”，若能，则可以避免进行繁杂的分类讨论；若不能，可否先作某些等价变换，使讨论推迟
10、得来，这种延迟讨论有时也是一种简化和一种进步。当然，有些问题，你通过了一番试验，仍无法作到完全回避讨论或延迟讨论，这可能是“不可避免的直接讨论型”问题，这是我们就应遵循分类讨论的原则去攻克它。2实际应用题（排列组合）中分类讨论往往带有隐蔽性，理解题意，抓住限制条件，准确把握分类对象和标准是解决问题的关键。如果发现多种分类途径，则应加强比较，从中选择最为合理的分类途径。3分类的原则是不重复不遗漏，即将讨论的对象分为若干类时，其并集为全集，两两的交集为空集。4分类对象，即使问题变换不定的变动因素；分类的标准，即使变换不定的问题转化为相对稳定问题的分类界值，分类对象和分类标准的确定，应通过识别问题情景来完成。5应该注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论，有的题目虽然含有分类因素，但不要急于分类讨论，要首先对问题作深入的研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系，寻求正确的解题策略，则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论，使解题更简单。