1、2012高考数学压轴题精炼一1（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（）求这三条曲线的方程；（）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.解：（）设抛物线方程为，将代入方程得（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为（2分）对于椭圆，（4分）对于双曲线，（6分）（）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为令（7分）（12分）2（14分）已知正项数列中，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上.（）求数列的通项公式
2、；（）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；（）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围.解：（）将点代入中得（4分）（）（5分）（8分）（）由（14分）3.（本小题满分12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C.(1) 求C的方程;(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.求证: 的充要条件是.解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知(2分)又.所以, 点M的轨迹C的方程为.(4分)(2)设点, , 点N的坐标为,当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不
3、合题意,舍去; (5分)设直线l: 由消去x, 得(6分),点N的坐标为.(8分)若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上, 得, 即 舍去). 由方程得又.(10分)若, 由得点N的坐标为, 射线ON方程为: ,由 解得 点E的坐标为.综上, 的充要条件是.(12分)4.（本小题满分14分）已知函数.(1) 试证函数的图象关于点对称;(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和(3) 设数列满足: , . 设.若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.由 得所以, 点P的坐标为P.(2分)由点在
4、函数的图象上, 得. 点P在函数的图象上.函数的图象关于点对称. (4分)(2)由(1)可知, , 所以,即(6分)由, 得 由, 得(8分)(3) , 对任意的. 由、, 得即.(10分)数列是单调递增数列.关于n递增. 当, 且时, .(12分)即 m的最大值为6. (14分)5（12分）、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点.（1） 当时，求的面积；（2） 当时，求的大小；（3） 求的最大值.解：（1）（2）因，则（1） 设 ，当时，6（14分）已知数列中，当时，其前项和满足，（2） 求的表达式及的值；（3） 求数列的通项公式；（4） 设，求证：当且时，.解：
5、（1）所以是等差数列.则.（2）当时，综上，.（3）令，当时，有 （1）法1：等价于求证.当时，令，则在递增.又，所以即.法（2） （2） （3）因，所以由（1）（3）（4）知.法3：令，则所以因则，所以 （5）由（1）（2）（5）知7 (本小题满分14分)第21题设双曲线=1( a 0, b 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|2 = | ( O为坐标原点)；(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), | =|+| =. 4分 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:m2 =, n2 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,点P在双曲线上，b2 a2k2 0 . 无论P点在什么位置，总有|2 = | . 4分（2）由条件得：= 4ab, 2分即k2 = 0 , 4b a, 得e 2分