1、2.4 曲线与方程必备知识自主学习1.曲线的方程与方程的曲线在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)0之间具有如下关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)0的_(2)以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在_则称曲线C为方程F(x，y)0的曲线，方程F(x，y)0为曲线C的方程导思1.曲线的方程与方程的曲线的概念是什么？2如何求曲线的方程？解曲线C上(1)从集合角度怎样理解曲线与方程的关系？提示：设 A 是曲线 C 上的所有点组成的点集，B 是所有以方程 F()x，y0 的实数解为坐标的点组成的点集，若AB；BA，则 AB.(2)怎样判断曲线 F()x，y0 与 G()x，y0
2、 是否有交点？提示：转化为方程组F()x，y 0，G()x，y 0是否有实数解2求动点 M 轨迹方程的一般步骤(1)设动点 M 的坐标为()x，y(如果没有平面直角坐标系，需先建立).(2)写出 M 要满足的几何条件，并将该几何条件用 M 的坐标表示(3)化简并检验所得的方程是否为 M 的轨迹方程 1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).如果曲线 l 上的点的坐标满足方程 F(x，y)0，则(1)曲线 l 的方程是 F(x，y)0.()(2)方程 F(x，y)0 的曲线是 l.()(3)坐标不满足方程 F(x，y)0 的点不在曲线 l 上()(4)坐标满足方程 F(x，y)0 的点在曲线 l 上
3、()提示：因为以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点不一定在曲线 l 上，所以(1)，(2)，(4)错误；坐标不满足方程 F(x，y)0 的点不在曲线 l 上是正确的答案：(1)(2)(3)(4)2(2020台州高二检测)下列各点中，在曲线 x2xy2y10 上的是()A(1，2)B(1，2)C(1，2)D(2，3)【解析】选 A.将各点代入验证，得 A 中点(1，2)满足3(教材例题改编)方程 x2y21 的曲线是()【解析】选 D.方程 x2y21，化为 xy1，即 y1x.所以曲线为 D.关键能力合作学习类型一 曲线与方程的概念(数学抽象)1命题“以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点都
4、在曲线 C 上”是命题“曲线 C 的方程是 f(x，y)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选 B.根据曲线方程的概念，“曲线 C 的方程是 f(x，y)0”包含“曲线 C上的点的坐标都是这个方程 f(x，y)0 的解”和“以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上”两层含义 2若曲线 C 的方程为 y2x1(1x5)，则下列四个点中在曲线 C 上的是()A(0，0)B(7，15)C(2，3)D(4，4)【解析】选 C.由 y2x1(1x0，即 k 512 时，直线与圆有两个不同的交点0，即 k 512 时，直线与圆有一个交点0，即 k
5、 2k，所以2k2，所以 k 的范围是k|2k2，kR 类型三 曲线方程的性质与求法(逻辑推理)角度1 由方程研究曲线的性质【典例】写出方程 y24x40 的曲线的主要性质【解析】(1)曲线变化情况：因为 y24x40，得 x1，y 可取一切实数，x 逐渐增大时，|y|逐渐增大所以曲线在直线 x1 的右侧，向上向下无限伸展(2)对称性：用y 代替 y 方程不变，故曲线关于 x 轴对称(3)截距：令 y0，得 x1；令 x0 得 y2，所以曲线的横截距为1，纵截距为2.(4)画方程的曲线：列表：x10123y022 22 34描点作图如图所示 角度2 直接法求曲线方程【典例】已知平面上两个定点
6、A，B 之间的距离为 2a，点 M 到 A，B 两点的距离之比为 21，求动点 M 的轨迹方程【思路导引】因为已知条件中未给定坐标系，所以需“恰当”建立坐标系考虑到对称性，由|AB|2a，选 A，B 两点所在的直线为 x 轴，AB 中点为坐标原点，则A(a，0)，B(a，0)，然后求解【解析】如图所示，以两定点 A，B 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系由|AB|2a，可设 A(a，0)，B(a，0)，M(x，y).因为|MA|MB|21，所以（xa）2y2 （xa）2y2 21，所以（xa）2y2 2（xa）2y2.化简，得x53a2y2169 a2，所以所
7、求动点 M 的轨迹方程为x53a2y2169 a2.角度3 代入法求曲线方程【典例】动点 M 在曲线 x2y21 上移动，M 和定点 B(3，0)连线的中点为 P，求 P 点的轨迹方程【思路引导】所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得【解析】设 P(x，y)，M(x0，y0)，因为 P 为 MB 的中点所以xx032，yy02，即x02x3，y02y，又因为 M 在曲线 x2y21 上，所以(2x3)24y21，所以 P 点的轨迹方程为(2x3)24y21.本例中把条件“M 和定点 B(3，0)连线的中点为 P”改为“一动点 P 和定点 B(3，0)连线的中点为
8、M”，试求动点 P 的轨迹方程【解析】设 P(x，y)，M(x0，y0)，因为 M 为 PB 的中点所以x0 x32，y0y2，又因为 M 在曲线 x2y21 上，所以x322y221，即(x3)2y24，所以 P 点轨迹方程为(x3)2y24.1关于曲线性质的探究(1)曲线的方程将曲线上点的坐标联系成一个有机体，当一个变量变化时另一个变量也随之变化，因此能借助方程研究曲线上点的变化规律，即探究曲线的性质(2)主要从变量范围、变化趋势，曲线的对称性，与坐标轴的交点等方面探究曲线的性质 2关于曲线轨迹方程的求法(1)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆等)，可用定义直接探求
9、(2)代入法：如果所求轨迹中的动点随着另一动点的运动而运动，另一动点又在某已知的曲线 C：f(x，y)0 上运动，那么利用轨迹中的动点坐标(x，y)表示已知曲线上的动点(x1，y1)，再将它代入已知曲线 C 的方程 f(x，y)0 即可求得动点轨迹方程 1已知曲线：1x3 1y4 1，则下列正确的是()A曲线 关于 y 轴对称B曲线 与 x 轴相交Cx 的取值范围是(，0)(0，)Dy 无限趋近于零时，x 也无限趋近于零【解析】选 D.将(x，y)代入曲线 的方程得，1x3 1（y）4 1，即为 1x3 1y41，故曲线 关于 x 轴对称，因为 y0，故曲线 与 x 轴不相交，当 x1 时无相
10、应的 y 值与之相对应，故 C 错误，当 y 无限趋近于零时，x 也无限趋近于零 2已知动点 P 在曲线 2x2y0 上移动，则点 A(0，1)与点 P 连线中点的轨迹方程是()Ay2x2By8x2C2y8x21 D2y8x21【解析】选 C.设 AP 中点为(x，y)，则 P(2x，2y1)在 2x2y0 上，即 2(2x)2(2y1)0，所以 2y8x21.3设 A，B 分别是直线 y2 55x 和 y2 55x 上的两个动点，并且|AB|20，动点 P 满足OP OA OB(O 为坐标原点)，记动点 P 的轨迹为 C，求轨迹 C 的方程【解析】设 P(x，y)，因为 A，B 分别是直线
11、y2 55x 和 y2 55x 上的点，故可设 Ax1，2 55 x1，Bx2，2 55 x2.又|AB|20，所以(x1x2)245(x1x2)220，因为OP OA OB，所以有xx1x2，y2 55（x1x2），即x1x2x，x1x2 52 y，代入得：54 y245 x220.即曲线 C 的方程为x225 y216 1.【补偿训练】已知 A 在 y 轴正半轴上，为定点，线段 BC 在 x 轴上滑动，已知|BC|4，A 到 x轴的距离为 3，求 ABC 外心的轨迹方程【解析】如图所示，A 点坐标为(0，3).设 ABC 的外心 P(x，y)，因为 P 在 BC 的垂直平分线上，所以 B(
12、x2，0)，C(x2，0).因为 P 也在 AB 的垂直平分线上，所以|PA|PB|，即 x2（y3）2 22y2，化简得 x26y50.所以 ABC 外心的轨迹方程为 x26y50.课堂检测素养达标1下列点在曲线 x22xyy29 上的是()A(1，3)B(4，1)C(2，3)D(3，2)【解析】选 B.因为 x4，y1 满足 x22xyy29，所以(4，1)是曲线上的点2方程 x2y2xy 表示的曲线是()A一个点B一条直线C两条直线D圆【解析】选 C.因为 x2y2xy，所以 x2y2(xy)0，即(xy)(xy1)0，所以 xy0 或 xy10，所以方程 x2y2xy 表示的曲线是两条
13、直线3(教材练习改编)在第四象限内，到原点的距离等于 2 的点 M 的轨迹方程是()Ax2y24 Bx2y24(x0)Cy 4x2Dy4x2(0 x2)【解析】选 D.排除法，第四象限内满足 x0，y0.4在平面直角坐标系 xOy 中，设点集 G(x，y)|y2x，则 G 中的点都落在曲线()Ay x 上 By2|x|上Cy2x 1 上 Dx2y 上【解析】选 B.在平面直角坐标系 xOy 中，设点集 G(x，y)|y2x，y2x 中 x0，而 y2|x|y2x(x0)或 y2x(x0)，所以 G 中的点都落在曲线 y2|x|上5方程|x1|y1|1 所表示的图形是_【解析】对 x，y 分类讨论，将式中的绝对值分别去掉后，利用图象作答答案：正方形