1、第三章综合测试时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列函数存在极值的是()Ay2xByCy3x1Dyx2答案D解析画出图像即可知yx2存在极值f(0)0.2设函数f(x)lnx，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点答案D解析本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题f(x)(1)0可得x2.当0x2时，f(x)2时f(x)0，f(x)单调递增所以x2为极小值点对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域3(2013天津红桥区
2、高二段测)二次函数yf(x)的图象过原点且它的导函数yf (x)的图象是如图所示的一条直线，yf(x)的图象的顶点在()A第象限B第象限C第象限D第象限答案A解析设f(x)ax2bxc，二次函数yf(x)的图象过原点，c0，f (x)2axb，由yf (x)的图象可知，2a0，a0，0，0，故选A.4若函数yf(x)是定义在R上的可导函数，则f(x0)0是x0为函数yf(x)的极值点的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析如yx3，y3x2，y|x00，但x0不是函数yx3的极值点5(2014武汉实验中学高二期末)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)
3、的图象如下图所示，则导函数yf (x)的图象可能是()答案A解析f(x)在(，0)上为增函数，在(0，)上变化规律是减增减，因此f (x)的图象在(，0)上，f (x)0，在(0，)上f (x)的符号变化规律是负正负，故选A.6用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6B8C10D12答案B解析设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得Vx(482x)2(0x，则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1Dx|x1答案
4、B解析令g(x)2f(x)x1，f (x)，g(x)2f (x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x1时，g(x)0，即2f(x)f(b)Bf(a)f(b)Cf(a)f(b)Df(|a|)f(b)答案A解析f(x)cosx2f( )，f()cos2f()，即f().f(x)sinxx.又f(x)cosx10，故f(x)在R上递减又f(log32)，即f(a)f(b)10(2013华池一中高二期中)若关于x的方程x33xm0在0,2上有根，则实数m的取值范围是()A2,2B0,2C2,0D(，2)(2，)答案A解析令f(x)x33xm，则f (x)3x233(x
5、1)(x1)，显然当x1时，f (x)0，f(x)单调递增，当1x1时，f (x)0，则此时无解；若a0，则a，综上知，a.12函数yxex的最小值为_答案解析y(x1)ex0，x1.当x1时，y1时y0yminf(1)13(2012重庆双江中学高二月考，理15)若函数f(x)(a0)在1，上的最大值为，则a的值为_答案1解析f(x).当x时f(x)0，f(x)在(，)上是递减的，当x0，f(x)在(，)上是递增的当x时，f()，1，不合题意f(x)maxf(1)，解得a1.14一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C2元，产品生产后暂存库房，然后
6、均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)设每年每台的库存费为C1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床_台，一年中库存费和生产准备费之和最小答案解析设每批生产x台，则一年生产批一年中库存费和生产准备费之和yC1x(0xN)yC1.由y0及0xN，解得x(台)根据问题的实际意义，y的最小值是存在的，且y0有唯一解故x台是使费用最小的每批生产台数15(2014泉州实验中学期中)已知函数f(x)x33x，若过点A(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，则实数m的取值范围为_答案(3，2)解析f (x)3x23，设切点为P(x0，y0)，则切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0
7、)，切线经过点A(1，m)，m(x3x0)(3x3)(1x0)，m2x3x3，m6x6x0，当0x01时，此函数单调递增，当x01时，此函数单调递减，当x00时，m3，当x01时，m2，当3m0.因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，所以应有2a4，解得6a3.17求证：x0时，12x0时，e2x1，f(x)2(1e2x)0时，f(x)0时，12xe2x0，即12x0，f(x)在(0，)递增令g(x)ax22(a1)xa4(a1)24a28a42当a0时，0，此时g(x)0的两根x1，x2a0，x10，x20，x(0，)，f(x)0故f(x)在(0，)递增3当a0，即a0，x20
8、令f(x)0，x(x1，x2)，f(x)0，x(0，x1)(x2，)f(x)在(x1，x2)递增，在(0，x1)和(x2，)上递减综上所述：当a0时，f(x)在(0，)递增当a0时，f(x)在(x1，x2)递增，在(0，x1)和(x2，)递减(其中x1，x2)当a时，f(x)在(0，)递减19已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长 分析如图，设出AD的长，进而求出|AB|表示出面积S，然后利用导数求最值解析设矩形边长为AD2x，则|AB|y4x2，则矩形面积S2x(4x2)(0x2)，即S8x2x3，S86x2，令S0，解得x1，
9、x2(舍去)当0x0；当x2时，S0，当x时，S取得最大值，此时，S最大，y.即矩形的边长分别为、时，矩形的面积最大点评本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长20(2014重庆文，19)已知函数f(x)lnx，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，由导数的几何意义，且切线与yx垂直得f(1)a12，a.(2)由(1)知f(x)lnx，f(x).令f(x)0解得x1或5，1不在定义域之内故舍去当x(0,5)，f(x)0，f(x)在(5，)递增f(x)在x5时取
10、极小值f(5)ln5ln5.21设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f (x)x10，求k的最大值分析(1)先确定函数的定义域，然后求导函数f (x)，因不确定a的正负，故应讨论，结合a的正负分别得出在每一种情况下f (x)的正负，从而确立单调区间；(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题解析(1)f(x)的定义域为(，)，f (x)exa.若a0，则f (x)0，所以f(x)在(，)单调递增若a0，则当x(，lna)时，f (x)0，所以f(x)在(，lna)单调递减，在
11、(lna，)单调递增(2)由于a1，所以(xk)f (x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f (x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)存在唯一的零点故g(x)在(0，)存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2.点评本题考查导数的应用及参数的取值范围的求法利用导数求参数的取值范围时，经常需将参数分离出来，转化为恒成立问题，最终转化为求函数的最值问题，求得参数的取值范围