1、第 2 讲 空间中的平行与垂直 感悟高考 明确考向(2010安徽)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB2EF2，EFAB，EFFB，BFC90，BFFC，H 为 BC 的中点(1)求证：FH平面 EDB；(2)求证：AC平面 EDB；(3)求四面体 BDEF 的体积(1)证明 如图，设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点连接 EG，GH，由于 H 为 BC 的中点，故 GH 綊12AB.又 EF 綊12AB，EF 綊 GH.四边形 EFHG 为平行四边形EGFH.而 EG平面 EDB，FH平面 EDB，FH平面 EDB.(2)证明 由四边形 AB
2、CD 为正方形，得 ABBC.又 EFAB，EFBC.而 EFFB，EF平面 BFC.EFFH.ABFH.又 BFFC，H 为 BC 的中点，FHBC.FH平面 ABCD.FHAC.又 FHEG，ACEG.又 ACBD，EGBDG，AC平面 EDB.(3)解 EFFB，BFC90BF平面 CDEF.BF 为四面体 BDEF 的高又 BCAB2，BFFC 2.VBDEF13121 2 213.考题分析本题主要考查空间线面关系，线面平行的判定和线面垂直的判定考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力试题突出考查立体几何的基本知识和思想方法以及考生推理论证的能力易错提醒(1)不能准确运用线面
3、平行的判定定理，易漏掉条件：FH平面 EDB.(2)线面关系的转化运用不熟练，如要证 AC平面DEB，可转化为证明 ACBD，ACEG.(3)不能正确确定三棱锥的底面和高(4)书写解题过程混乱，条件不充分，表达不规范主干知识梳理1点、线、面的位置关系(1)公理 1 A，B，AB.(2)公理 2 A，B，C 三点不共线，A，B，C 确定一个平面三个推论：过两条相交直线有且只有一个平面过两条平行直线有且只有一个平面过一条直线和直线外一点有且只有一个平面(3)公理 3 P，且 P，l，且 Pl.(4)公理 4 ac，bc，ab.(5)等角定理 OAO1A1，OBO1B1，AOBA1O1B1 或AOB
4、A1O1B1180.2直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理 a，b，ab，a.(2)线面平行的性质定理 a，a，b，ab.(3)面面平行的判定定理 a，b，abP，a，b，.(4)面面平行的性质定理，a，b，ab.3直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理 m，n，mnP，lm，ln，l.(2)线面垂直的性质定理 a，b，ab.(3)面面垂直的判定定理 a，a，.(4)面面垂直的性质定理，l，a，al，a.4异面直线所成的角(1)定义(2)范围：(0，2(3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形若求得的角为钝角，则这个角的补角
5、才为所求的角5直线与平面所成的角(1)定义(2)范围：0，2(3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得6二面角(1)定义(2)范围：0，(3)找二面角平面角的方法定义法垂面法垂线法特殊图形法垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：弄清该二面角及它的棱考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小热点分
6、类突破 题型一 线线、线面的平行与垂直例1 如图所示，正三棱柱 A1B1C1ABC中，点 D 是 BC 的中点，BC 2BB1，设 B1DBC1F.求证：(1)A1C平面 AB1D；(2)BC1平面 AB1D.思维启迪 本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第(1)问可利用“线线平行”或“面面平行”，第(2)问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”证明(1)连结 A1B，设 A1B 与 AB1 交于 E，连结 DE.点 D 是 BC 中点，点 E 是 A1B 中点，DEA1C，A1C平面 AB1D，DE平面 AB1D，A1C平面 AB1D.(2)ABC 是正三角形，点 D 是 BC 的中
7、点，ADBC.平面 ABC平面 B1BCC1，平面 ABC平面 B1BCC1BC，AD平面 ABC，AD平面 B1BCC1，BC1平面 B1BCC1，ADBC1.点 D 是 BC 的中点，BC 2BB1，BD 22 BB1.BDBB1CC1BC 22，RtB1BDRtBCC1.BDB1BC1C.FBDBDFC1BCBC1C90.BC1B1D.B1DADD，BC1平面 AB1D.探究提高线面平行、线面垂直的证明是立体几何的基本功，备考中要加强训练，熟练运用，在运用中体会判定定理条件的运用，包括思路分析、方法确认，书写表达规范新课标考试说明对立体几何的要求有所降低，这只是在知识应用方面有所降低，但
8、是表达规范性上提出了更高的要求，一定要推理充分，论证有力，思路清晰，逻辑严密变式训练 1如图所示，在四棱锥 PABCD中，PD平面 ABCD，ADCD，DB 平分ADC，E 为 PC 的中点，ADCD.求证：(1)PA平面 BDE；(2)AC平面 PBD.证明 设 ACBDH，连结 EH，在ADC中，因为 ADCD，且 DB 平分ADC，所以 H 为 AC 的中点，又由题设，知 E 为 PC的中点，故 EHPA.又 EH平面 BDE，且PA平面 BDE，所以 PA平面 BDE.(2)因为 PD平面 ABCD，AC平面 ABCD，所以PDAC.由(1)可得，DBAC.又 PDDBD，故 AC平面
9、 PBD.题型二 面面平行与垂直例 2如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABa，F、F1 分别是 AC、A1C1的中点求证：(1)平面 AB1F1平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 ACC1A1.思维启迪(1)证平面 AB1F1 内有两条相交直线与平面 C1BF 平行(2)可证 B1F1平面 ACC1A1.证明(1)在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F1，BFC1FF，B1F1、AF1面 AB1F1，BF、C1F面 C1BF，平面 AB1F1平面 C1BF.(2)在正三棱柱 ABCA
10、1B1C1 中，AA1平面 A1B1C1，F1 是 A1C1 的中点B1F1AA1，B1F1A1C1.又A1C1AA1A1，B1F1平面 ACC1A1，而 B1F1平面 AB1F1，平面 AB1F1平面 ACC1A1探究提高(1)要证两平面平行，常根据：“如果一个平面内有两相交直线分别和另一平面平行，那么这两个平面平行”或“一个平面内两相交直线分别与另一平面内两相交直线平行，那么这两个平面平行”，还可以利用线面垂直的性质，即“垂直于同一条直线的两个平面平行”(2)要证明两平面垂直，常根据“如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直”从解题方法上说，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间
11、可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行变式训练 2(2009山东)如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1 分别是棱 AD，AA1 的中点(1)设 F 是棱 AB 的中点，证明：直线EE1平面 FCC1；(2)证明：平面 D1AC平面 BB1C1C.证明(1)方法一 取 A1B1 的中点 F1.连结 FF1，C1F1.由于 FF1BB1CC1，所以 F1平面 FCC1，因此平面 FCC1 即为平面 C1CFF1.连结 A1D，F1C，由于 A1F1 綊 D1C1 綊 CD
12、，所以四边形 A1DCF1 为平行四边形，因此，A1DF1C，又 EE1A1D，得 EE1F1C.而 EE1平面 FCC1，F1C平面 FCC1.故 EE1平面 FCC1.方法二 因为 F 为 AB 的中点，CD2，AB4，ABCD，所以 CD 綊 AF，因此四边形 AFCD 为平行四边形，所以 ADFC.又 CC1DD1，FCCC1C，FC平面 FCC1，CC1平面 FCC1，ADDD1D，AD平面 ADD1A1，DD1平面 ADD1A1.所以平面 ADD1A1平面 FCC1.又 EE1平面 ADD1A1，所以 EE1平面 FCC1.(2)连结 AC，在FBC 中，FCBCFB，又 F 为
13、AB的中点，所以 AFFCFB.因此ACB90，即 ACBC.又 ACCC1，且 CC1BCC，所以 AC平面 BB1C1C.而 AC平面 D1AC，故平面 D1AC平面 BB1C1C.题型三 平面图形的折叠问题例3 如图，平行四边形 ABCD 中，DAB60，AB2，AD4.将CBD 沿 BD 折起到EBD 的位置，使平面 EBD平面ABD.(1)求证：ABDE.(2)求三棱锥 EABD 的侧面积思维启迪(1)证明 在ABD 中，AB2，AD4，DAB60，BD AB2AD22ABADcosDAB2 3.AB2BD2AD2，ABBD.又平面 EBD平面 ABD，平面 EBD平面 ABDBD，
14、AB平面 ABD，AB平面 EBD.DE平面 EBD，ABDE.(2)解 由(1)知 ABBD.CDAB，CDBD，从而 DEBD.在 RtDBE 中，DB2 3，DEDCAB2，SDBE12DBDE2 3.又AB平面 EBD，BE平面 EBD，ABBE.BEBCAD4，SABE12ABBE4.DEBD，平面 EBD平面 ABD，ED平面 ABD，而 AD平面 ABD，EDAD，SADE12ADDE4.综上，三棱锥 EABD 的侧面积 S82 3.探究提高(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问
15、题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形变式训练 3如下图(1)所示，在直角梯形 ABCP 中，BCAP，ABBC，CDAP，ADDCPD2.E，F，G 分别为线段 PC，PD，BC 的中点，现将PDC折起，使平面 PDC平面 ABCD(图(2)(1)求证：AP平面 EFG；(2)在线段 PB 上确定一点 Q，使 PC平面 ADQ，试给出证明(1)证明 E、F 分别是 PC，PD 的中点，EFCDAB.又 EF平面 PAB，AB平面 PAB，EF平面 PAB.同理：EG平面 PAB.平面 EFG平面 PAB.AP平面 EFG.(2)解
16、取 PB 的中点 Q，连结 AQ，QD，则 PC平面 ADQ.连结 DE，EQ，E、Q 分别是 PC、PB 的中点，EQBCAD.平面 PDC平面 ABCD，PDDC，PD平面 ABCD.PDAD，又 ADDC，AD平面 PDC.ADPC.在PDC 中，PDCD，E 是 PC 的中点DEPC，PC平面 ADEQ，即 PC平面 ADQ.1线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化在证明平行或垂直的问题中，认真体会“转化”这一数学思想方法不仅要领悟“平行”“垂直”内部间的转化，还要注意平行与垂直之间的转化关系2弄清各类问题的关键点，把握问题的层次，重视容易忽视的问题，如证平行时，由于过
17、分强调线线、线面、面面平行的转化，而忽视由垂直关系证平行关系；证垂直时，同样忽视由平行关系来证明和利用勾股定理计算证明规律方法总结3图形的展开、折叠、切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优势，解决此类问题的关键是弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系，并分析清楚变化前后点、线、面的位置变化.知能提升演练 一、选择题1(2010山东)在空间，下列命题正确的是()A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行解析 由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此 A 不对平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故 B 不
18、对垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故 C 不对由于垂直于同一平面的两条直线平行，故 D 正确D2已知平面 平面，l，点 A，ADl，直线 ABl，直线 ACl，直线 m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABmBACmCABDAC解析 m，m，l，ml.ABl，ABm，故 A 一定正确ACl，ml，ACm，从而 B 一定正确A，ABl，l，B.AB，l.AB.故 C 也正确ACl，当点 C 在平面 内时，AC 成立，当点 C不在平面 内时，AC 不成立，故 D 不一定成立D3(2009山东)已知，表示两个不同的平面，m 为平面 内的一条直线，则“”是“m”的()A充分不
19、必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的一条直线，m，则，反过来则不一定所以“”是“m”的必要不充分条件B4若 m、n 是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是()A若 m，则 mB若 m，n，mn，则 C若，则 D若 m，m，则 解析 利用线面垂直以及面面垂直的性质可知，D 正确D5(2010浙江)设 l，m 是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若 lm，m，则 lB若 l，lm，则 mC若 l，m，则 lmD若 l，m，则 lm解析 对于 A，由 lm 及 m，可知 l 与 的位
20、置关系有平行、相交或在平面内三种，故 A 不正确B 正确对于 C，由 l，m 知，l 与 m 的位置关系为平行或异面，故 C 不正确对于 D，由 l，m知，l 与 m 的位置关系为平行、异面或相交，故 D 不正确B二、填空题6.如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC与 BD 相交于 O，剪去AOB，将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为_解析 折叠后的四面体如图所示OA、OC、OD 两两相互垂直，且OAOCOD2 2，体积 V13 SOCDOA1312(2 2)38 23.8 237已知 m，n 是不重合的直线，是
21、不重合的平面，给出下列命题：若 m，m，则；若 m，n，m，n，则；如果 m，n，m，n 是异面直线，则 n 与 相交；若 m，nm，且 n，n，则 n 且 n.其中正确命题的序号为_8如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC12，P 是 BC1 上一动点，则 CPPA1 的最小值是_解析 将BCC1 沿 BC1 线折到面 A1C1B 上，如图连结 A1Q 即为 CPPA1 的最小值，过点 Q 作 QDC1D于 D 点，BQC1 为等腰直角三角形，QD1，C1D1，A1DA1C1C1D7.A1Q A1D2QD2 4915 2.5 2三、解答题
22、9.如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，DBAC，点 M 是棱 BB1 上一点求证：(1)B1D1平面 A1BD；(2)MDAC.证明(1)由直四棱柱，得 BB1DD1，且 BB1DD1，所以 BB1D1D 是平行四边形，所以 B1D1BD.而 BD平面 A1BD，B1D1平面 A1BD，所以 B1D1平面 A1BD.(2)因为 BB1平面 ABCD，AC平面 ABCD，所以 BB1AC.又因为 BDAC，且 BDBB1B，所以 AC平面 BB1D，而 MD平面 BB1D，所以 MDAC.10下面的一组图形为某四棱锥 SABCD 的底面和侧面(1)请画出四棱锥 SABCD 的直观
23、图，在该四棱锥中，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明(2)用多少个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1？试证明你的结论(3)在(2)的条件下，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1的中点为 M，DD1 的中点为 N，求证：平面 MAC平面 NA1C1.(1)解 如图所示，SAADAB2，SDSB2 2，SC2 3，可知 BCSB，CDSD.又因为 CBAB，ABSBB，所以 CB平面 SAB.因为 SA平面 SAB，所以 SACB，同理，SACD.又因为 BCCDC，所以 SA平面 ABCD.(2)解 正方体 ABCDA1B1C1D1 的体积
24、为 2228，四棱锥 SABCD 的体积 VSABCD13SABCDSA83.因为 8833，所以用 3 个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为 2 的正方体(3)证明 如图，设 CC1 的中点为 P，连接 MC1、MP、AN、NP.由 NP 綊 DC 綊 AB 知：四边形 ABPN 为平行四边形，所以 BP 綊 AN.又因为 BP 綊 MC1，所以 AN 綊 MC1，所以四边形 AMC1N 是平行四边形，所以 AMC1N.又因为 AM平面 A1NC1，C1N平面 A1NC1，所以 AM平面 A1NC1.因为 AA1 綊 CC1，所以四边形 AA1C1C 是平行四边形，所以 ACA1C1.同理可知 AC平面 A1NC1.因为 ACAMA，所以平面 MAC平面 NA1C1.返回