1、北京市2021届高三数学下学期3月学综能力测试试题本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合,则(A)(B)(C)(D)(2)已知,则(A)(B)(C)(D)(3)在复平面内,复数对应的点位于第二象限,则角的终边在(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(4)在的展开式中,的系数为(A)(B)(C)(D)(5)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的最长棱为(A)
2、(B) (C)(D)(6)已知函数,则“”是“为奇函数”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(7)已知直线经过点,则原点到点的距离可以是(A)(B)(C)(D)(8)等差数列的前项和为已知,记,则数列的(A)最小项为(B)最大项为(C)最小项为(D)最大项为(9)抛物线的焦点为. 对于上一点,若的准线上只存在一个点,使得为等腰三角形,则点的横坐标为(A)(B)(C)(D)(10)在正方体中,点在正方形内,且不在棱上,则(A)在正方形内一定存在一点,使得(B)在正方形内一定存在一点,使得 (C)在正方形内一定存在一点,使得平面平面(D)在
3、正方形内一定存在一点,使得平面第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。(11)函数的定义域为_(12)已知双曲线(其中)的渐近线方程为,则_,的右焦点坐标为_(13)已知平面向量与的夹角为,则_(14)已知函数若非零实数,使得 对都成立,则 满足条件的一组值可以是_,_(只需写出一组)(15)已知曲线,其中 当时,曲线与有个公共点; 当时,曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积; ,曲线围成的区域面积等于围成的区域面积; ,曲线围成的区域内整点(即横、纵坐标均为整数的点)个数不少于曲线 围成的区域内整点个数其中,所有正确结论的序号是_三、解答题共6小题,共8
4、5分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题14分)在中,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,求:()的值;()的面积条件:,;条件:,为等腰三角形注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分(17)(本小题共14分)如图,长方体中, ,点为的中点()求证:平面;()求证:平面;()求二面角的余弦值(18)(本小题14分)某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务,付款方式分为四个档次:1期、2期、3期和4期记随机变量、分别表示顾客购买型手机和型手机的分期付款期数,根据以往销售数据统计,和的分布列如下表所示:()若某位顾客购买型和手机各一部,求这位顾客两种手机都
5、选择分期付款的概率;()电商平台销售一部型手机,若顾客选择分期付款,则电商平台获得的利润为300元;若顾客选择分期付款,则电商平台获得的利润为350元;若顾客选择分期付款,则电商平台获得的利润为400元;若顾客选择分期付款,则电商平台获得的利润为450元记电商平台销售两部型手机所获得的利润为(单位:元),求的分布列;()比较与的大小(只需写出结论)(19)(本小题14分)已知函数()若曲线在点处的切线倾斜角为,求的值;()若在上单调递增,求的最大值;()请直接写出的零点个数. (20)(本小题14分)已知椭圆()求椭圆的离心率;()经过原点的直线与椭圆交于两点,直线与直线垂直,且与椭圆的另一个
6、交点为(i) 当点为椭圆的右顶点时,求证:为等腰三角形;(ii)当点不是椭圆的顶点时,求直线和直线的斜率之比.(21)(本小题15分)对于给定的区间和非负数列 若存在使,成立,其中,则称数列可“嵌入”区间.()分别指出下列数列是否可“嵌入”区间; .()已知数列满足,若数列可“嵌入”区间,求数列的项数的最大值;()求证:任取数列满足,均可以“嵌入” 区间.(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)2020-2021学年北京市高三年级学科综合能力测试数学参考答案一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)(1)A (2)D (3)D (4)B (5)C(6)C (7)B (8)C (9)
7、D (10)A二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)(11)(12)(13)(14)(答案不唯一)(15)三、解答题(共6小题,共85分)(16)(共14分)解:选条件:,()在中,因为,3分且, 所以所以,(舍)5分由正弦定理得8分因为,所以9分所以10分()因为13分在中,所以14分选条件:,为等腰三角形()在中,因为,所以为钝角因为为等腰三角形, 所以为顶角所以2分因为,5分所以由正弦定理得8分因为,所以9分所以10分()因为13分在中,所以14分(17)(共14分)解:()连接交于点,连接因为为长方体,所以为矩形所以点为中点又因为为中点,所以在中,2分又平面,平面, 4分所以平面
8、5分()以D为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系6分则,所以,所以 所以8分又,9分所以平面10分()因为为长方体,所以平面所以取平面的法向量为,11分再由(),取平面的法向量为12分所以由题知二面角为钝角,所以其余弦值为14分(18)(共14分)解:()设事件为“这位顾客两种手机都选择分期付款”1分故4分()的所有可能值为5分所以的分布列为11分()14分(19)(共14分)解:()因为,所以2分由题设知,即,解得5分()设所以7分令,因为当时,单调递减;当时,单调递增,所以的最小值为,即的最小值为9分因为在上单调递增,所以对成立所以所以的最大值为11分()当时,只有1个零点12分当时,
9、有3个零点14分(20)(共14分)解:()因为椭圆方程,所以1分所以2分所以离心率4分()(i)设由题设知,5分因为,所以点在以线段为直径的圆上,所以有6分又7分解得(舍)所以9分所以又10分所以,即为等腰三角形 (ii)法1:设 ,且,.记直线的斜率分别为.所以.11分因为,所以.12分又.因为所以.13分所以.所以,即直线和直线的斜率之比为.14分(ii)法2:因为点不是椭圆的顶点,所以直线的斜率都存在且不为0,设直线的方程为 由得 由所以.设 ,的中点.因为 12分所以,13分因为 所以又因为所以.所以. 14分(21)(共15分)解:()不可以;可以.4分()因为,所以.6分当为奇数时,取当为偶数时,取此时可取,所以10分()设数列满足,构造数列如下:, 其中.根据的定义知道,当时,因为,所以.当时,因为,所以.而所以 所以任取数列满足,均可以“嵌入” 区间.