1、14角平分线第1课时角平分线1复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点)2能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等 如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BDDF.求证：(1)CFEB；(2)ABAF2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距
2、离，即CDDE.再根据RtCDFRtEBD，得CFEB；(2)利用角平分线的性质证明ADC和ADE全等得到ACAE，然后通过线段之间的相互转化进行证明证明：(1)AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，DEDC.在RtDCF和RtDEB中，RtCDFRtEBD(HL)CFEB；(2)AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，CDDE.在ADC与ADE中，ADCADE(HL)，ACAE，ABAEBEACEBAFCFEBAF2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用 如图，AD是ABC的
3、角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是()A6 B5 C4 D3解析：过点D作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFDE2，SABC42AC27，解得AC3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用 如图所示，D是ABC外角ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.解析：由角平分线上的性质可得DEDF，再利用“HL”证明RtCDE和RtCDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可证明：CD是ACG的
4、平分线，DEAC，DFCG，DEDF.在RtCDE和RtCDF中，RtCDERtCDF(HL)，CECF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件探究点二：角平分线的判定定理【类型一】 角平分线的判定 如图，BECF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，且DBDC，求证：AD是BAC的平分线解析：先判定RtBDE和RtCDF全等，得出DEDF，再由角平分线的判定可知AD是BAC的平分线证明：DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，BEDCFD，BDE与CDF是直角三角形在RtBDE和RtCDF中，RtBDERtCDF(HL)，
5、DEDF.DEAB，DFAC，AD是BAC的平分线方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上【类型二】 角平分线的性质和判定的综合 如图所示，ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，AD平分EDF；AEAF；AD上的点到B、C两点的距离相等；到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等其中正确的结论有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：由AD平分BAC，DEAB，DFAC可得DEDF，由此易得ADEADF，故ADEADF，即AD平分EDF正确；AE
6、AF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故正确；到AE、AF距离相等的点，在BAC的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故正确；都正确故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题 如图，ABC的ABC和ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是BAC的平分线解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DEDG，再利用到角两边距离相等的点在角
7、平分线上来证明证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.BD平分CBE，DEBE，DFBC，DEDF.同理DGDF，DEDG，点D在BAC的平分线上，AD是BAC的平分线方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用 如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明AOCAOD
8、，可得AO平分DAC，根据角平分线的性质可得OEOF.解：(1)AB、CD互相垂直平分，OCOD，AOOB，且ACBCADBD；(2)OEOF，理由如下：在AOC和AOD中，AOCAOD(SSS)，CAODAO.又OEAC，OFAD，OEOF.方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键三、板书设计1角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等2角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.