1、2.3 圆及其方程2.3.1 圆的标准方程必备知识自主学习1.圆的标准方程(1)圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆的圆心,定长称为圆的半径.(2)标准方程:圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.(3)确定圆的标准方程的几何要素:圆心、半径.导思 1.确定一个圆的几何要素有哪些?2.怎么确定点与圆的位置关系?【思考】以原点为圆心,半径为r的圆的标准方程是什么?提示:x2+y2=r2.2点 M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2 的位置关系(1)在圆内：(x0a)2(y0b)2r2 或 dr2 或 dr.1辨析记忆(对的打
2、“”，错的打“”).(1)圆的标准方程由圆心、半径确定()(2)方程(xa)2(yb)2m2 一定表示圆()(3)原点在圆(xx0)2(yy0)2r2 上，则 x20 y20 r2.()提示：(1).如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的(2).当 m0 时，表示点(a，b).(3).原点在圆上，则(0 x0)2(0y0)2r2，即 x20 y20 r2.2圆(x1)2(y3)22 的圆心和半径分别是()A(1，3)，1 B(1，3)，3C(1，3)，2D(1，3)，2【解析】选 D.由圆的标准方程可得圆心为(1，3)，半径为 2.3(教材二次开发：例题改编)点(1，1)在圆(xa)
3、2(ya)24 的内部，则 a 的取值范围是()A1a1 Ba1Ca1 Da1【解析】选 A.因为点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，所以表示点(1，1)到圆心(a，a)的距离小于 2，（1a）2（1a）2 2，两边平方得(1a)2(a1)24，化简得 a21，解得1a2，所以点 P 在圆外 2已知圆(x2)2y28 上的点 P(x，y)，则 x2y2 的最大值为_【解析】方法一：因为(x2)28，解得 22 2 x22 2.圆上的点 P()x，y，y28(x2)2，所以 x2y24x4128 2.答案：128 2方法二：x2y2 表示圆上点 P 到原点距离的平方因为圆心到原点距离
4、为 2，所以 x2y2 最大值为(22 2)2128 2.答案：128 2 3已知圆(x1)2y21 上的点到直线 ykx2 的距离的最小值为 1，则实数 k_【解析】由|k02|k2111 解得 k43 或 0.答案：43 或 0 4已知点 P(x，y)在圆 x2y21 上，求（x1）2（y1）2 的最大值【解析】（x1）2（y1）2 的几何意义是圆上的点 P(x，y)到点 A(1，1)的距离，因此最大值为点 A 到圆心的距离加上半径即 2 1.【拓展延伸】求圆外一点到圆的最大距离和最小距离可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可求得【补偿训练】已知两点 A()1，0
5、，B()0，2，点 P 是圆()x12y21 上任意一点，则 PAB面积的最大值是_【解析】AB 5.当点 P 到直线 AB 的距离最大时，PAB 的面积最大，圆的圆心()1，0到直线 AB：x1 y2 1，即 2xy20 的距离为4 55，则 P 到直线 AB 的距离的最大值为4 551.所以 PAB 面积的最大值为12 54 55 12 52.答案：2 52课堂检测素养达标1设 A()2，1，B()4，1，则以线段 AB 为直径的圆的方程是()A(x3)2y22 B(x3)2y28C(x3)2y22 D(x3)2y28【解析】选 A.弦长 AB（42）2（11）2 2 2，所以半径为 2，
6、中点坐标()3，0，所以圆的方程为(x3)2y22.2过点 A(1，1)与 B(1，1)且圆心在直线 xy20 上的圆的方程为()A(x3)2()y124 B(x1)2(y1)24C()x32(y1)24 D()x12()y124【解析】选 B.线段 AB 的中点为(0，0)，AB 的斜率为1，所以线段 AB 的垂直平分线方程为 yx.由yx，xy20，解得圆心(1，1).半径为圆心到点 A 的距离 2，所以圆的标准方程为(x1)2(y1)24.3(教材二次开发：练习改编)若点()2a，a1在圆 x2(y1)25 的内部，则 a的取值范围是()A(1，1)B(0，1)C1，15D15，1【解析】选 A.由(2a)2(a11)25 得5a25，所以 a21，所以1a1.4若圆 C 的半径为 1，点 C 与点()2，0关于点()1，0对称，则圆 C 的标准方程为_【解析】圆心(0，0)，所以圆 C 的标准方程为 x2y21.答案：x2y215与圆(x2)2(y3)26 同圆心且过点 P()1，1的圆的方程是_【解析】由题意可设所求圆的方程为(x2)2(y3)2r2.由点 P()1，1在圆上，得 r2()122()13225，所以所求圆的方程为(x2)2(y3)225.
