1、山东省济南市章丘区第四中学2019-2020学年高二数学下学期第六次教学质量检测试题（含解析）一、单选题1.如图所示，在空间四边形中，点在上，且为中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量的加法和减法运算，即得解【详解】由向量的加法和减法运算：.故选：B【点睛】本题考查了空间向量的加法和减法运算，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算能力，属于基础题2.已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虛部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算及模的运算可得，再结合复数虚部的概念即可得解.【详解】解：复数满足，则，即复数的虛部为，故选：B.
2、【点睛】本题考查了复数的除法运算及模的运算，重点考查了复数虚部的概念，属基础题.3.若直线表示两和不同的直线，则的充要条件是（ ）A. 存在直线，使，B. 存在平面，使，C. 存在平面，使，D. 存在直线，使与直线所成角都是【答案】B【解析】【分析】根据充要条件定义和平行线定义，逐项判断，即可求得答案.【详解】对于A，若，则直线，可以平行，也可以相交，还可以异面，故A错误；对于B，若存在平面，使，则，故：“，”可以推出“”，“存在平面，使，”是“”的充分条件若，则存在平面，使，故：“”可以推出“存在平面，使，”“存在平面，使，”是“”的必要条件故B正确；对于C，若，则直线，可以平行，也可以相交
3、，还可以异面，故C错误；对于D，若直线，与直线所成的角都是，则直线，可以平行，也可以相交，还可以异面，故D错误故选：B.【点睛】本题考查直线与直线直线与平面的位置关系，考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如下的列联表：由公式算得：K27.8.附表：参照附表，得到的正确结论是()A. 有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”【答案】
4、A【解析】【详解】 ，则有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.本题选择A选项.点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释.5.我国古代名著九章算术中，将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体称之为阳马已知阳马的顶点都在球O的表面上，平面PAD平面ABCD，平面PAB平面ABCD，则球O的半径为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】将四棱锥置入到正方体中，利用正方体的体对角线为其外接球的直
5、径即可得到答案.【详解】将四棱锥置入到正方体中，如图，因为，所以，所以外接球O的半径为.故选：B【点睛】本题考查求四棱锥外接球的半径，在处理较为特殊的锥体时，首先考虑能否将其置入长方体中，本题是一道容易题.6.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. 0.34B. 0.48C. 0.68D. 0.84【答案】C【解析】【分析】根据正态分布，即可得到结论.【详解】因为随机变量服从正态分布，所以，所以故选：C.【点睛】本题考查正态分布，属于基础题7.年月日，某地援鄂医护人员，人（其中是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这
6、名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻，而不相邻的排法种数为（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】【分析】根据题意，分步进行分析：领导和队长站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，中间人分种情况讨论：若相邻且与相邻，若相邻且不与相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻分2步进行分析：领导和队长站在两端，有种情况，中间人分种情况讨论：若相邻且与相邻，有种安排方法，若相邻且不与相邻，有种安排方法，则中间人有种安排方法，则有种不同的安排方
7、法；故选：D【点睛】本题主要考查了带有限制的排列问题，解题关键是掌握分步计数原理和特殊元素优先排列，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可【详解】的定义域是（0，+），若函数有两个不同的极值点，则在（0，+）由2个不同的实数根，故，解得：，故选D【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题二、多选题9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为9
8、50斤比全球人均粮食产量高了约250斤如图是中国国家统计局网站中20102019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在20102019年中（ ）A. 我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B. 2011年我国粮食年产量的年增长率最大C. 2015年2019年我国粮食年产量相对稳定D. 2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰【答案】BCD【解析】【分析】仔细观察20102019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，利用条形图中的数据直接求解【详解】由中国国家统计局网站中20102019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，
9、知：对于A，我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨左右，2016年，2018年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A错误；对于B，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%，故B正确；对于C，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C正确；对于D，2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D正确故选：BCD【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题10.已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）A. 若复数，则B. 复数满足，在复平面内对应的点为，则C. 若
10、复数，满足，则D. 复数的虚部是3【答案】ABC【解析】【分析】直接运算可判断A；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B；由共轭复数的概念，运算后可判断C；由复数虚部的概念可判断D；即可得解.【详解】由，故A正确；由在复平面内对应的点为，则，即，则，故B正确；设复数，则，所以，故C正确；复数的虚部是-3，故D不正确.故选：A、B、C【点睛】本题综合考查了复数相关问题，属于基础题.11.如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）.A. 在上是增函数；B. 当时，取得极小值；C. 在上是增函数、在上是减函数；D. 当时，取得极大值.【答案】BC【解析】【分析】这是一个图象题，考
11、查了两个知识点：导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，左减右增取到极小值【详解】解：由图象可以看出，在，上导数小于零，故不对；左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以是的极小值点,故对；在，上导数大于零，在上导数小于零，故对；左右两侧导数的符号都为正，所以不是极值点，不对故选：BC【点睛】本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知识性较强的一个题12.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，
12、且EFa，以下结论正确的有（）A. ACBEB. 点A到BEF的距离为定值C. 三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的D. 异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】ABC【解析】【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D【详解】对于A，根据题意，ACBD，ACDD1，AC平面BDD1B1，所以ACBE，所以A正确；对于B，A到平面BDD1B1的距离是定值，所以点A到BEF的距离为定值，则B正确；对于C，三棱锥ABEF的体积为V三棱锥ABEFEFABBB1sin45aaaa3，三棱锥ABEF的体积
13、是正方体ABCDA1B1C1D1体积的，正确；对于D，如图所示异面直线AE，BF所成的角的平面角为不为定值，命题D错误；故选：ABC【点睛】本题主要考查异面直线位置关系；点到面的距离；三棱锥的体积运算；属于中档题。三、填空题13.已知，若，则实数m的值为_【答案】7【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，解得故答案为：7【点睛】本题考查了空间向量垂直的性质，考查了空间向量数量积的坐标表示公式，考查了数学运算能力.14.已知的展开式的常数项为第6项，则常数项为_.【答案】【解析】【分析】根据第6项为常数项，由通项公式可得，再由通项
14、公式即可解得结果.【详解】由通项公式得=为常数项，所以，即，所以.故答案为：【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.15.已知在时有极值0，则的值为_【答案】-7【解析】【分析】求导函数，利用函数f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论【详解】函数f（x）x3+3ax2+bx+a2f（x）3x2+6ax+b，又函数f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1处有极值0，或当时，f（x）3x2+6ax+b3（x+1）20，方程有两个相等的实数根，不满足题意；当时，f（x）3x2+6ax+b3（x+1）（x+3）0，方程有两
15、个不等的实数根，满足题意；ab7故答案为7【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题16.已知三棱锥的各棱长均为2，M，N分别为BC，PA的中点，则异面直线MN与PC所成角的大小为_【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，易知或其补角为异面直线MN与PC所成的角，分别求出，解三角形即可.【详解】取的中点，连接，易知或其补角为异面直线MN与PC所成的角，又三棱锥的各棱长均为2，所以，又易得，所以，所以，所以为等腰直角三角形，故.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，空间想象能力，是一道中档题.四、解答题17.如图
16、，四边形为正方形，平面，点，分别为，的中点（）证明：平面；（）求点到平面的距离【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：（）取的中点，连接、，由已知结合三角形中位线定理可得且，得四边形为平行四边形，从而可得，再由线面平行的判定可得平面；（）利用等积法可得：，代入棱锥体积公式可得点到平面的距离试题解析：（）证明：取点是的中点，连接，则，且，且，且，四边形为平行四边形，平面（）解：由（）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为利用等体积法：，即，点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明
17、线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.18.近年来，共享单车在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也给城市的交通管理带来了一些困难，为掌握共享单车在省的发展情况，某调查机构从该省抽取了5个城市，并统计了共享单车的指标和指标，数据如下表所示：城市1城市2城市3城市4城市5指标24568指标34445（1）试求与间的相关系数，并说明与是否具有较强的线性相关关系（若，则认为与具有较强的线性相关关系，否则认为没有较强的线性相关关系）.（2）建立关于的回归方程，并预测当指标
18、为7时，指标的估计值.（3）若某城市的共享单车指标在区间的右侧，则认为该城市共享单车数量过多，对城市的交通管理有较大的影响交通管理部门将进行治理，直至指标在区间内现已知省某城市共享单车的指标为13，则该城市的交通管理部门是否需要进行治理？试说明理由.参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关系数参考数据：，.【答案】（1），与具有较强的线性相关关系；（2），指标的估计值为4.6；（3）城市的交通管理部门需要进行治理，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出，求出相关系数公式中的各个量，即可得出结论；（2）利用（1）中的数据求出，求出线性回归方程，即可求出时，的值；（3）分别求出的值
19、，13与对比，即可得出结论.【详解】（1）由题得，所以，则.因为，所以与具有较强的线性相关关系.（2）由（1）得，所以线性回归方程为.当时，即当指标为7时，指标的估计值为4.6.（3）由题得，因为，所以该城市的交通管理部门需要进行治理.【点睛】本题考查两个变量间的相关性判断、线性回归直线方程及应用，考查计算求解能力，属于基础题.19.已知函数.(1)若函数在和处取得极值，求的值；(2)在(1)的条件下，当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得，然后再根据题意得到和是方程的两根，于是由二次方程根与系数的关系可得所求（2）利用导数求出函数在区间上的最小值，
20、进而可得所求范围【详解】（1），又函数在和处取得极值，和是方程的两根，解得经检验得符合题意，（2）由（1）得，当或时，单调递增；当时，单调递减又， 当时，恒成立，解得，实数的取值范围为【点睛】求函数在区间上的最值的方法：(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间内有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到20.如图 1，在直角梯形中， ，且现以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直， 为的中点，
21、如图 2（1）求证： 平面；（2）求证： 平面；（3）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【详解】试题分析：(1)取EC中点N，连结MN,BN.由几何关系可证得四边形ABNM为平行四边形.则BNAM，利用线面平行的判定定理可得平面；(2) 由几何关系有EDAD，利用面面垂直的性质定理可得ED平面ABCD，则EDBC，利用直角梯形的性质结合勾股定理可得BCBD，据此由线面垂直的判定定理有平面；(3) 作平面PEC于点H，连接CH,则DCH为所求的角，利用三棱锥体积相等转化顶点有：，据此可求得，利用三角函数的定义可得与平面所成角的正弦值是.试题解析：(1)证明
22、：取中点，连结.在中， 分别为的中点，所以,且.由已知,所以四边形平行四边形.所以.又因为平面,且平面，所以平面.(2)证明：在正方形中， ,又因为平面平面，且平面平面,所以平面.所以在直角梯形中， ,可得.在中， .所以.所以平面.(3)作于点，连接,则为所求的角由(2)知， 所以,又因为平面又.所以， .21.已知如图1直角三角形ACB中，点为的中点，将沿折起，使面面，如图2.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连，利用勾股定理、面面垂直和线面垂直性质可分别证得、，利用线面垂直判定定理可知面，由线面垂直性质得到结论；（2）以
23、为原点可建立起空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）在图中，取的中点，连.在直角中，又点为的中点，有，由得：，.将沿折起，使面面，由点为的中点，在等边中，面面，面，又面，又，平面，面，又面，.（2）以为原点，分别以，过点且垂直于平面的直线为，轴建立如下图所示空间直角坐标系：则，在面中，设其一个法向量，又，则，令，则，在面中，设其一个法向量，又，则，令，则，二面角为锐二面角，二面角余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理等知识的应用，属于常考题型.22.已知函数，（1）若函数在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）设，且有两个极值点，其中，求最小值（注：其中为自然对数的底数）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意求导后得，从而根据题意得，解出即可；（2）由题意有，求导后可得，则，设，求导后得在上单调递减，由此可求出答案【详解】解：（1），直线的斜率，又函数在点处的切线与直线平行，；（2）由题意有，由题意得方程的两根分别为，且，则，设，则，当时，恒成立，在上单调递减，即的最小值为【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题