1、课后限时集训(五十七)圆锥曲线中的定点、定值问题建议用时：40分钟1(2020兰州模拟)已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值解(1)由已知，动点E到定点D(1,0)的距离等于E到直线x1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1,0)为焦点，以x1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y24x.(2)证明：由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零设A(x1，y1)，B(x2
2、，y2)，直线l1的方程为yk(x1)2，k0.直线l2的方程为yk(x1)2，由得k2x2(2k24k4)x(k2)20，16(k1)20，已知此方程一个根为1，x11，即x1，同理x2，x1x2，x1x2，y1y2k(x11)2k(x21)2k(x1x2)2kk2k，kAB1，直线AB的斜率为定值1.2(2020江西九江三校6月考前模拟)已知抛物线C1：x22py(p0)和圆C2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过C1的焦点，且l1与圆C2相切(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上(不与坐标原点O重合)，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设，证明点N在定直线
3、上，并求该定直线的方程解(1)由题意得，直线l1的斜率k1tan 451，抛物线C1的焦点为，则直线l1的方程为yx.因为l1与C2相切，所以圆心C2(1,0)到直线l1：yx的距离d，解得p6.(2)法一：依题意设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，即y，求导得y.设A(x1，y1)(x10)，则以A为切点的切线l2的斜率k2，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0，则yxy112y1y1y1，即点B的坐标为(0，y1)则(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m,6)，连接ON，OM(图略)，则(x1m,3)设点N的坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定
4、直线y3上法二：设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y.设直线l2的斜率为k2，A(x10)，则以A为切点的切线l2的方程为yk2(xx1)x.联立得消去y并整理得x212k2x12k2x1x0.由(12k2)24(12k2x1x)0，求得k2.所以切线l2的方程为yx1(xx1)x.令x0，得点B的坐标为，则，所以(x12m,6)，连接ON，OM(图略)，则(x1m,3)设点N的坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上3(2020全国卷)已知A，B分别为椭圆E：y21(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，8.P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一
5、交点为D(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点解(1)由题设得A(a,0)，B(a,0)，G(0,1)则(a,1)，(a，1)由8得a218，即a3.所以E的方程为y21.(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)若t0，设直线CD的方程为xmyn，由题意可知3n3.由于直线PA的方程为y(x3)，所以y1(x13)直线PB的方程为y(x3)，所以y2(x23)可得3y1(x23)y2(x13)由于y1，故y，可得27y1y2(x13)(x23)，即(27m2)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20.将xmyn代入y21得(m29)y22mnyn290.所以y1y2，y1y2.代入式得(27m2)(n29)2m(n3)mn(n3)2(m29)0.解得n3(舍去)或n.故直线CD的方程为xmy，即直线CD过定点.若t0，则直线CD的方程为y0，过点.综上，直线CD过定点.
