1、压轴题(三)第二部分刷题型12(2019江西上饶重点中学六校第二次联考)已知 A(2，0)，B(2,0)，若 x 轴上方的点 P 满足对任意 R，恒有|APAB|2 成立，则 P 点的纵坐标的最小值为()A.14 B.12 C1 D2 答案 D 解析 设 P(x，y)，则AP(x2，y)，AB(4,0)，故APAB(x24，y)，|APAB|2 恒成立，即|APAB|24 恒成立，则(x24)2y240，故 y240，又由题意可知 y0，所以 y2，即 P 点的纵坐标的最小值为 2.故选 D.16(2019湖北宜昌元月调考)已知函数 f(x)x2(a1)xa，若函数g(x)ff(x)有且仅有两
2、个零点，则实数 a 的取值集合为_ 答案 1 解析 由题意得 f(x)x2(a1)xa(xa)(x1)，令 f(x)t，则函数g(x)ff(x)可化为 yf(t)，令 f(t)0，解得 t11 或 t2a，即 f(x)1 或 f(x)a，因为函数 g(x)ff(x)有且仅有两个零点，所以 f(x)1 与 f(x)a共有两个不同的实数解，f(x)a 可化为 x2(a1)x0，即 f(x)a 的根为 x10 或 x21a，要使得 f(x)1 与 f(x)a 共有两个不同的实数解，则两方程的根必须相同即a1 时，才可以使得 f(x)a 的两根与 f(x)1的两个根相同，实数 a 的取值集合为1 20
3、已知过 A(0,2)的动圆恒与 x 轴相切，设切点为 B，AC 是该圆的直径(1)求 C 点轨迹 E 的方程；(2)当 AC 不在 y 轴上时，设直线 AC 与曲线 E 交于另一点 P，该曲线在P 处的切线与直线 BC 交于 Q 点求证：PQC 恒为直角三角形 解(1)设 C 点坐标为(x，y)，则 B 点坐标为x2，0.因为 AC 是直径，所以BABC，或 C，B 均在坐标原点，因此BABC0，而BAx2，2，BCx2，y，故有x242y0，即 x28y.另一方面，设 Cx0，x208 是曲线 x28y 上一点，则有|AC|x20 x2082 2x20168，AC 中点的纵坐标为2x2082
4、x201616|AC|2，故以 AC 为直径的圆与 x 轴相切 综上可知，C 点轨迹 E 的方程为 x28y.(2)证明：设直线 AC 的方程为 ykx2，由ykx2，x28y得 x28kx160，设 C(x1，y1)，P(x2，y2)，则有 x1x216.由 yx28，对 x 求导知 yx4，从而曲线 E 在 P 处的切线斜率 k2x24，直线 BC 的斜率 k1x218x1x12x14，于是 k1k2x1x216 1616 1.因此 QCPQ，所以PQC 恒为直角三角形 21已知函数 f(x)aeln x 和 g(x)12x2(ae)x(a0)(1)设 h(x)f(x)g(x)，求函数 h
5、(x)的单调区间；(2)当 xe2，时，M 为函数 f(x)aeln x 图象与函数 m(x)2ex图象的公共点，且在点 M 处有公共切线，求点 M 的坐标及实数 a 的值 解(1)h(x)aeln x12x2(ae)x(x0)，h(x)aex x(ae)x2aexaexxaxex.当 0a0，函数 h(x)在(0，a)上单调递增，在 x(a，e)时，h(x)0，函数 h(x)在(e，)上单调递增 当 ae 时，在 x(0，)时，h(x)0，函数 h(x)在(0，)上单调递增 当 ae 时，在 x(0，e)时，h(x)0，函数 h(x)在(0，e)上单调递增，在 x(e，a)时，h(x)0，函
6、数 h(x)在(a，)上单调递增 综上：当 0ae 时，函数 h(x)的单调递增区间是(0，e)和(a，)，单调递减区间是(e，a)(2)设点 M(x0，y0)，x0e2，在点 M(x0，y0)处有公共切线，设切线斜率为 k，因为 f(x)aex，m(x)ex2，所以 kaex0 ex20，即 ax01，由 M(x0，y0)是函数 f(x)aeln x 与函数 m(x)2ex图象的公共点，所以y0aeln x02 ex0，化简可得 aex0ln x02x0e，将 ax01 代入，得 eln x02x0e0，设函数 u(t)eln t2tete2，u(t)et2e2tt.因为 te2，u(t)0，u(e2)eln e22e2e3e2e2e(32e)0，所以在 te2，时，u(t)eln t2te 只有一个零点 由 u(e)eln e2ee0，知方程 eln x02x0e0 在 x0e2，上只有一个实数根为 x0e，代入 y0aeln x0aeln eae1，所以 M(e,1)，此时 a1e.本课结束