1、第七章 直线和圆的方程(一)知识网络范题精讲【例1】 过点M(0，1)作直线，使它被两已知直线l1:x3y+10=0和l2:2x+y8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程.分析:本题中最重要的已知条件是M为所截得线段的中点，用好这个条件是解题的关键.解法一:过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设直线方程y=kx+1，若与两已知直线分别交于A、B两点，则解方程组可得xA=,xB=.由题意+=0,k=.故直线方程为x+4y4=0.解法二:设所求直线方程y=kx+1,代入方程(x3y+10)(2x+y8)=0，得(25k3k2)x2+(28k+7)x49=0.由xA+xB=2xM=0,解得
2、k=.直线方程为x+4y4=0.解法三:点B在直线2xy8=0上，故可设B(t,82t)，由中点公式得A(t,2t6).点A在直线x3y+10=0上，(t)3(2t6)+10=0,得t=4.B(4,0).故直线方程为x+4y4=0.【例2】 求经过直线3x2y+1=0和x+3y+4=0的交点，且垂直于直线x+3y+4=0的直线l的方程.分析:本题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力.可应用直线的点斜式求解；或应用与直线Ax+By+C=0垂直的直线可设为BxAy+C=0,从而求解；也可应用过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2=0的交点的直线可设为(A1x+B1y+C
3、1)+(A2x+B2y+C2)=0,从而求解.解法一:解方程组得交点坐标为(1，1).又由题设知k1=3,直线l的方程为y+1=3(x+1),即3xy+2=0.解法二:由题设知k2=3,故可设直线l的方程为3xy+C=0.l过交点(1，1)，3+1+C=0.C=2.故直线l的方程为3xy+2=0.解法三:设直线l的方程为(3x2y+1)+(x+3y+4)=0,即(3+)x+(32)y+4+1=0.l与直线x+3y+4=0垂直，=3.=.于是直线l的方程为3xy+2=0.【例3】 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件利润分别为300、500元，甲、乙产品的部件各自在A、B两个车间分别生产，每件甲、
4、乙产品的部件分别需要A、B车间的生产能力1、2工时；两种产品的部件最后都要在C车间装配，装配每件甲、乙产品分别需要3、4工时.A、B、C三个车间每天可用于生产这两种产品的工时分别为8、12、36，应如何安排生产这两种产品才能获利最多？分析:解:设x、y分别为甲、乙产品的日产量，k为这两种产品每天总的利润，k=3x+5y. 作直线l0:3x+5y=0,对在l0正侧的点P的坐标(x,y)，都有3x+5y0,且当点P与l0的距离越大时，3x+5y越大；对在l0的负侧的点Q的坐标(x,y)，都有3x+5y0,且当点Q与l0的距离越大时，3x+5y的值越小.当C(8,6)到l0的距离最大时，kmax=3
5、8+56=54.试题详解高中同步测控优化训练(五)第七章 直线和圆的方程(一)(A卷)说明:本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C=0不通过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:本题考查直线的斜截式方程.解:直线Ax+By+C=0的斜率k=,直线在y轴上的截距b=.AC0,BC0,k0.直线通过二、四象限和第一象限.直线不通过第三象限.答案:C2.已知点A(1,2)、B(3,1),
6、则线段AB的垂直平分线的方程是A.4x+2y=5B.4x2y=5C.x+2y=5D.x2y=5分析:本题考查中点坐标公式、直线的方程.解:因kAB=,所以线段AB的垂直平分线的斜率是2.又线段AB的中点为(2,),所以所求直线方程为y=2(x2),即4x2y5=0.答案:B3.如下图，(x2y+1)(x+y3)0表示的平面区域是解析:或答案:C4.直线l1:axy+b=0与l2:bxy+a=0(其中a0,b0,ab),在同一坐标系中的图象是下图中的 分析:本题考查关于x、y的二元一次方程所表示的直线.关键是看斜率及在y轴上的截距.解:同一个选项中的直线反映出的a、b的取值应是一致的.排除C、D
7、.解方程组得即l1与l2的交点为(1,a+b),在第一象限,所以选B.答案:B5.直线(2m25m+2)x(m24)y+5m=0的倾斜角是，则m的值为A.2B.3C.2D.3解析:原方程可化为y=x+.k=.则有tan=1,即m25m+6=0.解之得m=3,m=2.m=2时原方程不成立，应舍去,选B.答案:B6.ABC三顶点坐标为A(2，2)、B(2，2)、C(2，2)，则此三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形分析:本题考查两直线的夹角公式tan=|.解:kAB=1,kBC=2,kAC=(2+),tanC=|=,C=且|AC|=|BC|=4.答案:A7.直线2xy4
8、=0绕着它与x轴的交点,按逆时针方向旋转后,所得的直线方程是A.x3y2=0B.3x+y6=0C.3xy+6=0D.xy2=0分析:本题主要考查直线方程的求法.最常用到的有点斜式和两点式.解:直线2xy4=0与x轴的交点为(2,0).设所求直线的斜率为k,由题设,得tan=1.解得k=3.所以,所求直线的方程为y0=3(x2),即3x+y6=0.答案:B8.曲线f(x,y)=0关于直线xy2=0对称的曲线方程是A.f(y+2,x)=0B.f(x2,y)=0C.f(y+2,x2)=0D.f(y2,x+2)=0解析:设M(x,y)为所求曲线上任一点，则它关于直线xy2=0的对称点M(x0,y0)在
9、已知曲线f(x,y)=0上，即f(x0,y0)=0. M、M关于直线l:xy2=0对称,MMl且MM的中点在l上.解得又f(x0,y0)=0,f(y+2,x2)=0.答案:C9.下列命题中不正确的是A.若A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0必过定点B.直线Ax+By+C=0与BxAy+C=0恒有交点C.设AB0，过定点(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0垂直的直线的方程是=D.过点(2，3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有且只有两条解析:对于D，满足条件的直线中，有两条分别平行于直线y=x和y=x，有一条过原点.答案:D10.直线(t为参数)上与点P(2，3)的距离等于的点的坐
10、标是A.(4,5)B.(3,4)C.(3,4)或(1,2)D.(4,5)或(0,1) 解析:由|t|=,得t=.将t代入原方程得或所求点的坐标是(3，4)或(1，2).答案:C第卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.过点(2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_.分析:本题考查直线的截距式方程.此题容易产生漏解现象.解:(1)直线过坐标原点时,在两个轴上的截距都为0,方程为x2y=0.(2)直线不过坐标原点时,设方程为+=1.直线过(2,1),+=1,得a=3.直线方程为x+y+3=0.答案:x2y=0或x+y+3=012.直线的纵截距为2，其倾
11、斜角的正弦满足方程6x2+x1=0，则直线方程为_.解析:方程6x2+x1=0的解为x1=,x2=,sin=或sin=(舍去).由sin=,得cos=或cos=.斜率k=tan=或k=tan=.满足条件的直线方程为y=x2或y=x2.答案:y=x2或y=x213.点M(t,1)在不等式组所表示的平面区域内，则整数t等于_.解析:由已知得t=0.答案:014.已知直线l过点P(1,2)，且与以A(2，3)和B(3，0)为端点的线段AB相交，那么直线l的斜率的取值范围是_.解析:kAP=5,kBP=.要使过P点的直线与线段AB相交，需k5或k.答案:(,5,+)三、解答题(本大题共5小题，共54分
12、.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)下面三条直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x3my=4不能构成三角形.求m的取值范围.分析:三条直线既不共点又不平行才能构成三角形.解:(1)三直线共点时，由 解得代入l3得m=或m=1.(2)至少两条直线平行或重合时，l1、l2、l3至少两条直线斜率相等.k=4,k=m,k=,4=m或=4或m=.m=4或m=.综合(1)(2)可知m=1,4.16.(本小题满分10分)已知两直线l1:axby+4=0和l2:(a1)x+y+b=0.若l1l2且坐标原点到两直线的距离相等，求a、b的值.解法一:l1l2且l2的斜
13、率为1a,l1的斜率也存在，其值=1a.1a与a不可能同时为0,b=.由原点到l1和l2的距离相等得=.由和得或对于这两种情形，经检验知l1与l2都不重合.或解法二:两直线斜率都存在，化为斜截式得l1:y=x+,l2:y=(1a)xb.据题意作图，由直角三角形全等得两直线在y轴上的截距相反.解得或解法三:据题意知,l1关于原点的中心对称图形是l2.对l1:axby+4=0以x代x且以y代y得l2:ax+by+4=0.又知l2:(a1)x+y+b=0,由两直线重合的条件得=.解得或17.(本小题满分12分)已知ABC的顶点A(1，2)、B(1，1)，直线l:2x+y1=0是 ABC的一个内角平分
14、线，求BC边所在直线的方程及点C到AB的距离.解:A(1,2)、B(1，1)均不在直线2x+y1=0上，2x+y1=0为ACB的平分线.设A(1，2)关于直线2x+y1=0对称的点为A,则A一定在直线BC上，易求得 A的坐标为(，)，直线BC的方程为9x+2y+11=0.由C(,).直线AB的方程为3x2y+1=0.点C到直线AB的距离为d=.18.(本小题满分12分)营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物,0.06 kg的蛋白质,0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物,0.07 kg蛋白质,0.14 kg脂肪,花费28元；而1 k
15、g食物B含有0.105 kg碳水化合物,0.14 kg蛋白质,0.07 kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少千克?分析:已知数据列成下表:食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07解:设每天食用x kg食物A,y kg食物B,总成本为z,那么目标函数为z=28x+21y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域,如下图阴影部分即可行域.考虑z=28x+21y,将它变形为y=x+,这是斜率为、随z变化的一组平行直线. 是直线在y轴上的截距,当取最小值
16、时,z的值最小.当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.如图所示,当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时,截距最小,即z最小.解方程组得M的坐标为x=,y=.所以zmin=28x+21y=16.由此可知,每天食用食物A约143 g,食物B约571 g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本为16元.19.(本小题满分12分)已知点P(6，4)与定直线l1:y=4x,直线l2过点P与直线l1相交于第一象限内的点Q，且与x轴的正半轴交于点M，求使OMQ面积最小的直线l2的方程.解:设M(m,0)，则直线l2的方程为4x+(m6)y4m=0.(*)与y=4x联立方程组，得yQ=.yQ0,且m0,SOMQ=myQ=，且m50.令m5=t，则t0,SOMQ=2(10+t+)2(10+2)=40.当且仅当t=，即t=5时，SOMQ取最小值40.此时，m=10.把m=10代入(*)式，得l2的直线方程为x+y10=0.
