1、专题14 图形的性质之解答题（3）（45道题）一解答题（共45小题）1（2019顺义区一模）已知：如图，AB是O的直径，点C是O上一点，点P在AB的延长线上，且AP30（1）求证：PC是O的切线；（2）连接BC，若AB4，求PBC的面积【答案】（1）证明：连接OC，OAOC，1A，又AP30，130，ACP120，OCP90，PC是O的切线；（2）解：AB4，OAOBOC2，OCP90，P30，OP4，PC2，BPOB，SOPC【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键2（2019海淀区一模）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABB
2、C2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE、EF（1）求证：四边形CDEF为菱形；（2）连接DF交AC于点G，若DF2，CD，求AD的长【答案】证明：（1）E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，EFAB，EFAB，CFBC，AECEABCDABCDEF，ABBC2CDEFCFCD，且ABCDEF，四边形DEFC是平行四边形，且EFCF四边形CDEF为菱形；（2）如图，设DF与EC交于点G四边形CDEF为菱形，DF2，DG1，DFCE，EGGC，EGGCAECE2EGAGAE+CG4AD【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键3（
3、2019顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD是矩形，ECDDBA，CED90，AFBD于点F（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）若AB4，AD3，求EC的长【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，BAD90，DCAB，DCAB，CDFDBAECDDBA，ECDCDF，ECBF，AFBD于点F，CED90，BFACED90又ECDDBA，CDFECD，在ECD和FBA中，ECDFBA（AAS），ECBF，又ECBF，四边形BCEF是平行四边形；（2）解：AB4，AD3，BD5，AFBD，AFB90BAD，ABFABD，DABAFB，即，ECBF【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边
4、形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键4（2019东城区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P求作：直线PE，使得PEBC作法：如图2在直线BC上取一点A，连接PA；作PAC的平分线AD；以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；作直线PE所以直线PE就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：AD平分PAC，PADCADPAPE，PADPEA，PEA
5、CAD，PEBC（内错角相等两直线平行）（填推理依据）【答案】解：（1）如图所示：直线PE即为所求（2）证明：AD平分PAC，PADCADPAPE，PADPEA，PEACAD，PEBC（内错角相等两直线平行）故答案为：PEA，CAD，内错角相等两直线平行【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义5（2019顺义区一模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l外一点P求作：直线PQ，使得PQl作法：如图，在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；分别以A，B为圆心，
6、PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；作直线PQ所以直线PQ为所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接PA，PB，QA，QBPAPBQAQB，四边形APBQ是菱形四边相等的四边形是菱形（填推理的依据）PQAB菱形的对角线互相垂直（填推理的依据）即PQl【答案】解：（1）如图所示（2）证明：连接PA，PB，QA，QBPAPBQAQB，四边形APBQ是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）PQAB（菱形的对角线互相垂直）（填推理的依据）即PQl故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直【点睛】本
7、题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6（2019东城区一模）如图，AB与O相切于点A，P为OB上一点，且BPBA，连接AP并延长交O于点C，连接OC（1）求证：OCOB；（2）若O的半径为4，AB3，求AP的长【答案】（1）证明：ABBP，BAPBPA，AB与O相切于点A，OABA，BAO90，即BAP+PAO90，OAOC，PAOC，BPACPO，C+CPO90，COP90，即COBO；（2）解：如图，作BDAP于点D，在RtABO中，AB3，OA4，则BO5，OP2，在RtCPO中，PO2，CO4，则CP2，BA
8、BP，ADPD，由（1）知COP90，BDP90，BPDCPO，BPDCPO，即，PD，AP2PD【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键7（2019海淀区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图1，直线l及直线l外一点P求作：直线PQ，使PQl作法：如图2，在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A、B两点；连接PA，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；作直线PQ；所有直线PQ就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）
9、完成下面的证明：证明：连接PB、QBPAQB，PBAQPB（等弧所对圆周角相等）（填推理的依据）PQl（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）【答案】解：（1）如图所示：（2）证明：连接PB、QBPAQB，PBAQPB（等弧所对圆周角相等）PQl（内错角相等，两直线平行）故答案为：，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行线的判定8（2019海淀区一模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，在O的切线CM上取一点P，使得CPBCOA（1）求证：PB是O的切线；（2）若AB4，CD6，求PB的长【答案】（1）证明：PC是O
10、的切线，OCPC，OCP90，AOCCPB，AOC+BOC180，BOC+CPB180，PBO360CPBBOCPCO90，OBPB，PB是O的切线；（2）连接OP，AB是O的直径，AB4，OCOBAB2，CDAB，CD6，CECD3，sinCOE，COE60，PB，PC是O的切线，CPOBPO，OCPOBP，COPBOP60，PBOBtan606，【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键9（2019海淀区一模）如图1，线段AB及一定点C、P是线段AB上一动点，作直线CP，过点A作AQCP于点Q，已知AB7cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、
11、Q两点间的距离为y1cm，P、Q两点间的距离为y2cm小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值 x/cm00.30.50.811.5234567y1/cm00.280.490.7911.481.872.372.612.722.762.78y2/cm00.080.090.0600.290.731.823.024.205.336.41（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函
12、数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APQ中有一个角为30时，AP的长度约为5.49或2.50cm【答案】解：（1）过点A作AQCP于点Q，设A、P两点间的距离为xcm，A、Q两点间的距离为y1cm，P、Q两点间的距离为y2cm，当x4，y12.61，故答案为：3.02；（2）利用描点法画出函数图象如图所示：（3）当APQ中有一个角为30时，x2y1，x5.49或2.50；故答案为：5.49或2.50【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的有关知识，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型10（2019海淀区一模）如图，在等腰直
13、角ABC中，ABC90，D是线段AC上一点（CA2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F（1）依题意补全图形；（2）若ACE，求ABD的大小（用含的式子表示）；（3）若点G在线段CF上，CGBD，连接DG判断DG与BC的位置关系并证明；用等式表示DG、CG、AB之间的数量关系为2CG2DG2+AB2【答案】解：（1）补全图形，如图所示：（2）ABBC，ABC90，BACBCA45，ACE，ECB45+，CFBD交BD的延长线于点E，BEF90，F+ABD90，F+ECB90，ABDECB45+；（3）DG与BC的位置关系：DGBC，证明如下：连接BG交
14、AC于点M，延长GD交BC于点H，如图2，ABBC，ABDECB，BDCG，ABDBCG（SAS），CBGBAD45，ABGCBGBAC45，AMBM，AMB90，ADBG，DMGM，MGDGDM45，BHG90，DGBC；ABBC，BDCG，由勾股定理可得：CE2+BE2CB2，GE2+DE2GD2，DG22DM2，AB22BM2，DG2+AB22（DM2+BM2）2BD22CG2DG、CG、AB之间的数量关系为：2CG2DG2+AB2，故答案为：2CG2DG2+AB2，【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答11（2019
15、石景山区一模）如图，AB是O的直径，过O上一点C作O的切线CD，过点B作BECD于点E，延长EB交O于点F，连接AC，AF（1）求证：CEAF；（2）连接BC，若O的半径为5，tanCAF2，求BC的长【答案】（1）证明：连接CO并延长交AF于点G，如下图CD是O的切线，ECO90AB是O的直径，AFB90BECD，CEF90四边形CEFG是矩形GFCE，CGF90CGAF即得证（2）解：连接BC，如下图CGAF，CBACAFtanCBAtanCAF2AB是O的直径，ACB90在RtCBA中，设BCx，AC2x，则x2即BC的长为2【点睛】本题考查的是圆周角定理与垂径定理，在解决圆的相关问题中
16、，这两个定理是基本定理，应用非常多，灵活运用是解题的关键12（2019西城区一模）如图，在ABC中，ACBC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若A75，AC4，求菱形DFCE的面积【答案】（1）证明：点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，DECF，DEBC，DFCE，DFAC，四边形DECF是平行四边形，ACBC，DEDF，四边形DFCE是菱形；（2）过E作EGBC于G，ACBC，A75，BA75，C30，EGCEAC1，菱形DFCE的面积212【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的
17、面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键13（2019西城区一模）下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60”的尺规作图过程已知：O求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于O，且其对角线AC，BD的夹角为60作法：如图作O的直径AC；以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；连接BO并延长交O于点D；所以四边形ABCD就是所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：点A，C都在O上，OAOC同理OBOD四边形ABCD是平行四边形AC是O的直径，ABC90（直径所对圆周角是直角）（填推理
18、的依据）四边形ABCD是矩形ABAOBO，四边形ABCD四所求作的矩形【答案】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；（2）证明：点A，C都在O上，OAOC同理OBOD四边形ABCD是平行四边形AC是O的直径，ABC90（直径所对圆周角是直角）四边形ABCD是矩形ABAOBO，四边形ABCD即为所求作的矩形，故答案为：直径所对圆周角是直角，AO【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的性质14（2019石景山区一模）下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：如图1，直线l及直线l外一点A求作：直线AD，使得ADl作法：如图2，在直线l上任取
19、一点B，连接AB；以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C；分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D（不与点B重合）；作直线AD所以直线AD就是所求作的直线根据小立设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明（说明：括号里填推理的依据）证明：连接CDADCDBCAB，四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）ADl（菱形的对边平行）【答案】解：（1）补全的图形如图所示：（2）证明：连接CDADCDBCAB，四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）ADl（菱形的对边平行）故答案为：菱形，四条边都相等的四边形是菱形，菱
20、形的对边平行【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质15（2019北京一模）下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l外一点P求作：直线PQ，使得PQl，垂足为Q作法：如图，在直线l上任取一点A；以点P为圆心，PA为半径作圆，交直线l于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；连接PC交直线l于点Q则直线PQ就是所求作的垂线根据上述尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：PAPB，ACBC，PQl（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）（填推理的依据）【答
21、案】解：（1）如图：（2）PAPB，ACBC，PQl，（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）故答案为PB，BC，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上【点睛】本题考查尺规作图，圆的性质，垂直的性质能够根据给出条件作出图形，是解决问题的关键16（2019北京一模）如图，RtABC中，ACB90，点D在AC边上，以AD为直径作O交BD的延长线于点E，CEBC（1）求证：CE是O的切线；（2）若CD2，BD2，求O的半径【答案】解：（1）如图，连接OE，ACB90，1+590CEBC，12OEOD，34又45，35，2+390，即OEC90，OECEOE是O的半径，CE是O的切线（2
22、）在RtBCD中，DCB90，CD2，BD2，BCCE4设O的半径为r，则ODOEr，OCr+2，在RtOEC中，OEC90，OE2+CE2OC2，r2+42（r+2）2，解得r3，O的半径为3【点睛】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键17（2019北京一模）如图，ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，BAC90（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BC4，B60，求四边形AECF的面积【答案】解：（1）在ABCD中，BCAD，BCAD，又E，F分别是边BC，AD的中点，ECBC，AFAD，ECAF，四边形AECF为平行
23、四边形在RtABC中，BAC90，E是BC边中点，AEEC，四边形AECF是菱形；（2）如图，连接EF交AC于点O，在RtABC中，BAC90，B60，BC4，AB2，AC2，四边形AECF是菱形，ACEF，OAOC，OEOF，OE是ABC的中位线，OEAB1，EF2，S菱形AECFACEF222【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键18（2019北京一模）如图，等边ABC的边长为3cm，点N在AC边上，AN1cmABC边上的动点M从点A出发，沿ABC运动，到达点C时停止设点M运动的路程为xcm，MN的长为ycm小西根据学
24、习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小西的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；x/cm00.511.522.533.544.555.56y/cm10.8711.322.182.652.291.81.731.82（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当MN2cm时，点M运动的路程为2.3或4或6cm【答案】解：本题答案不唯一，如：（1）x/cm00.511.522.533.544.555.56y/cm10.8711.321.732.182.652.2
25、921.81.731.82（2）（3）观察图象可得当MN2cm时，点M运动的路程为2.3cm或4cm或6cm故答案为：2.3或4或6【点睛】本题是三角形综合题目，等边三角形的性质、描点法画函数图象、函数图象的性质以及应用等知识；理解函数图象的意义，正确运用图象法解题是关键19（2019门头沟区一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P，给出如下定义：点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点如果以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60后与线段MN有公共点，我们就称点P是线段MN的“关联点”如图，M（1，2），N（4，2）（1）在点P1（1，3）
26、，P2（4，0），P3（3，2）中，线段MN的“关联点”有P1和P3；（2）如果点P在直线yx+1上，且点P是线段MN的“关联点”，求点P的横坐标x的取值范围；（3）如果点P在以O（1，1）为圆心，r为半径的O上，且点P是线段MN的“关联点”，直接写出O半径r的取值范围【答案】解：（1）如图1所示：点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点，M（1，2），N（4，2），点P的横坐标1x4，以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60后与线段MN有公共点，当MPN60时，PM，同理PN，点P的纵坐标为2或2，即纵坐标2y2，线段MN的“关联点”有P1和P3
27、；故答案为：P1和P3；（2）线段MN的“关联点”P的位置如图2所示，直线yx+1经过点M（1，2），x1，设直线yx+1与P4N交于点A，过点A作ABMN于B，延长AB交x轴于C，由题意得：在AMN中，MN3，AMN45，ANM30设ABMBa，tanANM，即tan30，解得：a，点A的横坐标为：xa+11，x，综上所述：1x；点P的横坐标x的取值范围为：1x；（3）点P在以O（1，1）为圆心，r为半径的O上，且点P是线段MN的“关联点”，如图3所示：连接P4O交x轴于点D，P4、M、D、O共线，则圆心O到P4的距离为r的最大值，由（1）知：MP4NP5，即OD+DM+MP41+23，圆心
28、O到MP5的距离为r的最小值，作OEMP5于E，连接OP5，则OE为r的最小值，MP52，OMOD+DM1+23，OMP5的面积OEMP5OMMN，即OE233，解得：OE，r3【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN的“关联点”图是关键20（2019平谷区一模）如图，点P是所对弦AB上一动点，点Q是与弦AB所围成的图形的内部的一定点，作射线PQ交于点C，连接BC已知AB6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，B，C两点间的距离为y2cm（当点P与点A重合时，x的值为0）小平根据学习函数的经
29、验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小平的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm5.374.062.83m3.864.835.82y2/cm2.683.574.905.545.725.795.82经测量m的值是（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当BCP为等腰三角形时，AP的长度约为1.2或1.6或3cm【答案】（1）解：（1）PA0
30、时，点P与点A重合，AB6，PCAC5.37，BC2.68，AB2PC2+BC2，ACB90，AB是直径当x3时，PAPBPC3，y13，故答案为3（2）如图；（3）观察图象可知：当xy，即当PBPC或PBBC时，x3或1.2，当y1y2时，即PCBC时，x1.6，或x6（与P重合，BCP不存在）综上所述，满足条件的x的值为1.2或1.6或3，故答案为1.2或1.6或3.0【点睛】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型21（2019房山区一模）如图，AB为O直径，点C是O上一动点，过点C作O直径CD，过点B作BECD于点E已知AB6cm，设
31、弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）小冬根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小冬的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm00.991.892.602.98m0经测量m的值为2.76；（保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE2时，AC的长度约为2.14或5.61cm【答案】解：（1）经测量m的值是m2.76（2）如图（3）如图，观察图象可知
32、当BE2时，AC的长度约为2.14，5.61【点睛】本题考查圆综合题，考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意、图象法解决实际问题22（2019门头沟区一模）下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程已知：如图1，O求作：正方形ABCD，使正方形ABCD内接于O作法：如图2，过点O作直线AC，交O于点A和C；作线段AC的垂直平分线MN，交O于点B和D；顺次连接AB，BC，CD和DA；则正方形ABCD就是所求作的图形根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：AC是O的直径，ABCADC90，又点B在线
33、段AC的垂直平分线上，ABBC，BACBCA45同理DAC45BADBAC+DAC45+4590DABABCADC90，四边形ABCD是矩形（有3个直角的四边形为矩形）（填依据），又ABBC，四边形ABCD是正方形【答案】解：（1）如图2，四边形ABCD为所作；（2）完成下面的证明：证明：AC是O的直径，ABCADC90，又点B在线段AC的垂直平分线上，ABBC，BACBCA45同理DAC45BADBAC+DAC45+4590DABABCADC90，四边形ABCD是矩形（有3个直角的四边形为矩形），又ABBC，四边形ABCD是正方形故答案为90，45，有3个直角的四边形为矩形【点睛】本题考查了
34、作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了圆周角定理和正方形的判定方法23（2019通州区一模）已知：如图1，在ABC中，ACB90求作：射线CG，使得CGAB下面是小东设计的尺规作图过程作法：如图2，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在FCB内部交于点G；作射线CG所以射线CG就是所求作的射线根据小东设计的尺规作图过
35、程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接FG、DEADECFG，DAEFCGCGAB（同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）【答案】解：（1）如图，射线CG为所作；（2）完成下面的证明证明：连接FG、DEADECFG，DAEFCGCGAB（ 同位角相等，两直线平行）故答案为CFG，FCG，同位角相等，两直线平行【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了全等三角形的性质24（
36、2019平谷区一模）下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程已知：如图，AOB求作：AOB的角平分线OP作法：如图，在射线OA上任取点C；作ACDAOB；以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CD于点P；作射线OP；所以射线OP即为所求根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：ACDAOB，CDOB（同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）BOPCPO又OCCP，COPCPO（等边对等角）（填推理的依据）COPBOPOP平分AOB【答案】解：（1）如图，OP为所作；（2）证明：ACDAOB，CDOB（同位角相等，两直线平行）；BOPCPO又O
37、CCP，COPCPO（等边对等角）COPBOPOP平分AOB故答案为同位角相等，两直线平行；等边对等角【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了平行线的判定与性质25（2019平谷区一模）如图，AB是O的直径，AC切O于点A，连接BC交O于点D，点E是的中点，连接AE交BC于点F（1）求证：ACCF；（2）若AB4，AC3，求BAE的正切值【答案】（1）证明：连接BE，CA是O的切线，CAB90，AB是直径，AEB9
38、0，E是弧BD的中点，BAEDBE，CAEEFBAFC，ACCF；（2）解：在RtABC中，AB4，AC3，BC5ACCF3，BFBCCF2AB是直径，ADB90，cosABC，BD，AD，DFBDBFtanBAEtanDAE【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题26（2019延庆区一模）对于图形M、N，给出如下定义：在图形M中任取一点A，在图形N中任取两点B、C（A、B、C不共线），将BAC的最大值（0180）叫作图形M对图形N的视角问题解决：在平面直角坐标系xOy中，已知
39、T（t，0），T的半径为1（1）当t0时，求点D（0，2）对O的视角；直线l1的表达式yx+2，且直线l1对O的视角，求sin（2）直线l2的表达式yx+t，若直线l2对T的视角，且6090，直接写出t的取值范围【答案】解：（1）如图1中，过点D作O的切线，切点分别为B，C，则BDC即为点D（0，2）对O的视角D（0，2），OD2，DB，DC是O的切线，DBOB，DCOC，ODBODC，OD2OC，ODCODB30，BDC60如图2中，设O交x轴于M，交y轴于N，直线yx+2交x轴于E（0，2），交y轴于D（0，2），取DE的中点G（1，1），连接GN，GM，则MGN即为直线l1对O的视角ON
40、DN，DGGE，GNOE1，同法GMOD1，GMGNOMON1，四边形OMGN是菱形，MON90，四边形OMGN是正方形，ONGOMG90，GN，GM是O的切线，此时MGN是直线l1对O的视角，MGN90，sinsin45（2）如图3中，由题意ODOt，DTt，当TDB30时，DT2TB2，t2，t，当TDB45时，DTTB，t，t1，直线l2对T的视角，且6090，1，根据对称性可知，当点T在y轴左侧时，t1综上所述，满足条件的t的值为1或t1【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，图形M对图形N的视角的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学
41、会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题27（2019门头沟区一模）如图，在ABD中，ABDADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，连接BC，DC和AC，AC与BD交于点O（1）用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形；（2）如果AB5，cosABD，求BD的长【答案】解：（1）如图，证明：由作法得BCDCAB，ABDADB，ABADBCDCADAB，四边形ABCD为菱形；（2）四边形ABCD为菱形，BDAC，OBOD，在RtABO中，cosABO，而AB5，BO3，BD2BO6【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
42、个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了菱形的判定与性质28（2019通州区一模）如图，在ABC中，ACB90，D是BC边上的一点，分别过点A、B作BD、AD的平行线交于点E，且AB平分EAD（1）求证：四边形EADB是菱形；（2）连接EC，当BAC60，BC2时，求ECB的面积【答案】（1）证明：ADBE，AEBD，四边形EADB是平行四边形，AB平分EAD，EABDAB，AEBD，EABDBA，DABDBA，ADAD四边形EADB是菱形；（2）解：ACB90，BAC60，BC2，tan60，AC2，SACBACBC222，AEBC，SEC
43、BSACB2【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的面积，含30直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键29（2019平谷区一模）如图，在ABC中，ABAC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AEBC，CEAD交于点E，连接DE，交AC于点O（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB10，sinCOE，求CE的长【答案】（1）证明：ABAC，点D是BC边的中点，ADBC于点D，AEBC，CEAD，四边形ADCE是平行四边形，平行四边形ADCE是矩形；（2）解：过点E作EFAC于FAB10，AC10，对角线AC，DE交于点O，DEAC10，OE5，sinCOE，EF4，O
44、F3，OEOC5，CF2CE【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，熟记特殊四边形的判定与性质是解题的关键30（2019通州区一模）如图，ABC内接于O，AB为O的直径，过点A作O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AFAE，连接AF并延长交O于点D（1）求证：BCAD；（2）若CE2，B30，求AD的长【答案】（1）证明：AE是O的切线，BAE90，AB为O的直径，ACB90，BAC+CAE90，BAC+B90，BCAE，AFAE，ACB90，CADCAEBCAD；（2）解：连接BDABCCADCAE30，DAE60
45、，BAE90，BAD30，AB是直径，ADB90，cosBAD，ACE90，CAE30，CE2，AE2CE4，BAE90，ABC30，cotABC，即，AB4，AD6【点睛】本题考查了切线的性质圆周角定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形熟练掌握性质定理是解题的关键31（2019房山区一模）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，过点B作O的切线，交AC的延长线于点F（1）求证：CBFCAB；（2）若CD2，tanCBF，求FC的长【答案】（1）证明：AB 为O的直径，AEB90BAE+ABC90，ABAC，BAEEACCABBF为O 的切线，ABC+CBF90
46、BAECBFCBFCAB；（2）解：连接BD，AB 为O的直径，ADB90DBCDAE，DBCCBFtanCBFtanDBCCD2，BD4，设ABx，则ADx2，在RtABD中，ADB90，由勾股定理得x5AB5，AD3，在RtABC中，BDAC，AB2ADAFAFFCAFAC【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及射影定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力32（2019房山区一模）已知：RtABC中，ACB90，ACBC（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BEAD，交AD的延长线于点E，连接CE若BAD，求DBE的大小（
47、用含的式子表示）；（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BEAD，垂足E在线段AD上，连接CE依题意补全图2；用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明【答案】解：（1）ACB90，ACBC，CAB45，BAD，CAD45ACB90，BEAD，ADCBDE，DBECAD45；（2）补全图形，如图2所示：猜想：当D在BC边的延长线上时，EBEAEC；理由如下：过点C作CFCE，交AD的延长线于点F，如图3所示：则ECF90，ACB90，ACD90，ECF+ACEACB+ACE，即ACFBCE，CAF+ADB90，CBE+ADB90，CAFCBE，在ACF和BCE中
48、，ACFBCE（ASA），AFBE，CFCEECF90，CEF是等腰直角三角形，EFEC，即AFEAECEBEAEC【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题关键33（2019通州区一模）数学活动课上，老师提出问题：如图1，在RtABC中，C90，BC4cm，AC3cm，点D是AB的中点，点E是BC上一个动点，连接AE、DE问CE的长是多少时，AED的周长等于CE长的3倍设CExcm，AED的周长为ycm（当点E与点B重合时，y的值为10）小牧根据
49、学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小牧的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.511.522.533.54y/cm8.07.77.57.47.68.08.69.210（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出上表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象，如图2；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE的长约为1.5cm时，AED的周长最小；当CE的长约为2.7cm时，AED的周长等于CE的长的3倍【答案】解：（1）x2cm，即CE2cm，RtABC中，C90，BC4cm，AC3c
50、m，AB5cm，BC4，点D是AB的中点，AD2.5，DE是ABC的中位线，DEAC1.5，AE3.6，yAE+DE+AD3.6+1.5+2.57.6；故答案为：7.6；（2）根据（1）表对应的坐标值进行描点，画图象；如图2所示：（3）由（2）画出的函数图象，当CE的长约为1.5cm时，AED的周长最小；故答案为：1.5；在（2）函数图象中，画出直线y3x的图象，如图3所示：直线y3x与原函数图象的交点即为AED的周长等于CE的长的3倍值时对应x的值，x2.7cm，故答案为：2.7【点睛】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、三角形中位线定理、描点法画函数图象、图象的交点等知识；本题综合性强，
51、熟练掌握勾股定理和三角形中位线定理，理解图象的意义是解题关键34（2019门头沟区一模）如图，在ABC中，ABAC，D是AB的中点，P是线段BC上一动点，连接AP和DP如果BC8cm，设B，P两点间的距离为xcm，D，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm小明根据学习函数经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请将它补充完整：（1）按下表中自变量x值进行取点、画图、测量，得到了y1和y2与x几组对应值：x/cm012345678y1/cm2.501.801.501.803.354.275.226.18y2/cm5.004.243.61
52、3.163.003.163.614.245.00（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y2）和（x，y1），并画出函数y1和y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当DPAP时，BP的长度约为4.67cm（结果精确到0.01）【答案】解：（1）根据题意得：ABAC5，当BP4时，P为BC的中点，APBC，D是AB的中点，DPAB2.50；补充完整如表：（2）函数y1和y2的图象如图所示：（3）当DPAP时，BP的长度为两个函数y1与y2的图象交点的横坐标，x4.67，即BP的长度约为4.67cm，故答案为：4.67【点睛】本题考查动点问题函数图象、等腰三
53、角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型35（2019延庆区一模）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E、F分别是边BC上的两点，且EOF45，将EOF绕点O逆时针旋转，当点F与点C重合时，停止旋转，已知，BC6，设BEx，EFy小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点，画图、测量，得到了y与x的几组对应值：x00.511.522.53y32.772.62.502.552.653（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平
54、面直角坐标系，描出补全后的表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当EF2BE时，BE的长度约为1.26【答案】解：（1）如图，在AB上截取BMFC6xy，连接ME，OM四边形ABCD是正方形BOCOAODO，ABDACB45且BMCFBMOCFO（SAS）OMOF，BOMCOFEOF45BOE+COF45，BOM+BOE45MOEMOEEOF，且OFOM，OEOEEOFEOM（SAS）MEEFBM2+BE2ME2EF2，x2+（6xy）2y2，y（0x6）当x1，y2.6当x3，y3故答案为：2.6，3（2）（3）EF2BEy2x2xx31.26故答案为：1.2
55、6【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，函数图象等性质等知识，理解题意，找到y与x的关系式是本题的关键36（2019延庆区一模）已知：四边形ABCD中，ABC120，ADC60，ADCD，对角线AC、BD相交于点O，且BD平分ABC，过点A作AHBD，垂足为H（1）求证：ADBACB；（2）判断线段BH、DH、BC之间的数量关系，并证明【答案】证明：（1）ADC60，ADCD，ADC是等边三角形，DAO60，ADAC，ABC120，BD平分ABC，ABDCBO60，CBOABD60，DAOCBO60，AODBOC，ADB180DAOAOD，ACB180CBOB
56、OC，ADBACB（2）结论：DHBH+BC证明：如图，在HD上截取HEBHAHBD，AHBAHE90，AHAH，BHEH，ABHAEH（SAS），ABAE，AEHABH60，AED180AEH120，ABCAED120，ADAC，ADBACB，ABCAED（AAS），BCED，DHHE+ED，DHBH+BC【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题37（2019延庆区一模）如图，AB是O的直径，点C在O上，点P是AB上一动点，且与点C分别位于直径AB的两侧，tanCPB，
57、过点C做CQCP交PB的延长线于点Q；（1）当点P运动到什么位置时，CQ恰好是O的切线？（2）若点P与点C关于直径AB对称，且AB5，求此时CQ的长【答案】解：（1）当点P运动到直线OC与O的交点处（2）连接CBAB是直径，ACB90，PA，tanCPBtanA，AB5，AC3，BC4点P与点C关于直径AB对称，CPAB，在RtABC中，CP4.8，在RtPCQ中，tanCPBtanA，CQ6.4【点睛】本题主要考查切线的性质与判定、解直角三角形、轴对称的性质等，解决此题的关键是能灵活运用解三角函数求出线段的长38（2019延庆区一模）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点D，且A
58、CBC，点E是BC延长线上一点，连接DE（1）求证：四边形ACED为矩形；（2）连接OE，如果BD10，求OE的长【答案】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，ADCE，四边形ACED是平行四边形，ACBC，ACE90，四边形ACED是矩形；（2）对角线AC，BD交于点O，点O是BD的中点，四边形ACED是矩形，BED90，OEBD，AC10，OE5，【点睛】此题考查了矩形的判定与性质注意矩形的判定和性质是关键39（2019延庆区一模）下面是小东设计的“已知两线段，求作直角三角形”的尺规作图过程已知：如图1，线段a及线段b（ab）求作：RtABC，使得a、b分别为它的直角
59、边和斜边作法：如图2，作射线CM，在CM上顺次截取CBBDa；分别以点C、D为圆心，以b的长为半径画弧，两弧交于点A；连接AB、AC，则ABC就是所求作的直角三角形根据小东设计的尺规作图过程（1）补全图形，保留作图痕迹；（2）完成下面的证明证明：连接ADACAD，CBBDABC90（等腰三角形的三线合一）（填推理依据）【答案】解：（1）ABC如图所示：（2）连接ADACAD，CBBDABC90（等腰三角形的三线合一）故答案为：AC，BD，等腰三角形的三线合一【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型40（2019房山区一模）如图，
60、矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE（1）求证：四边形AOBE是菱形；（2）若EAO+DCO180，DC2，求四边形ADOE的面积【答案】解：（1）四边形ABCD是矩形，DOBO四边形ADOE是平行四边形，AEDO，AEDO，ADOEAEBO，AEBO，四边形AOBE是平行四边形ADAB，ADOE，ABOE四边形AOBE是菱形；（2）设AB与EO交点为MABCD，DCOBAO四边形AOBE是菱形，EAO2BAOEAO+DCO180，BAO120，EAM60又AMAB1，BMEO2，AEO面积为21，四边形ADOE面积2【点睛】本题主要考查平
61、行四边形的性质、菱形的判定和性质，矩形的性质41（2019北京模拟）文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积证明：S矩形ABCDS1+S2+S32，S4S2，S5，S6S4+S5，S阴影S1+S6S1+S2+S32【答案】证明：由题意：S矩形ABCDS1+S2+S32，S4S2，S5S3，S6S4+S5，S阴影面积S1+S6S1+S2+S32故答案为：S2，S3，S4，S5，2【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型42（2019北京模拟）如图
62、，点A，B，C，D在同一条直线上，CEDF，ECBD，ACFD求证：AEFB【答案】证明：CEDF，ACED，在ACE和FDB中，ACEFDB（SAS），AEFB【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键43（2019房山区二模）如图：ABC是O的内接三角形，ACB45，AOC150，过点C作O的切线交AB的延长线于点D（1）求证：CDCB；（2）如果O的半径为，求AC的长【答案】（1）证明：连接OB，则AOB2ACB24590，OAOB，OABOBA45，AOC150，OAOC，OCAOAC15，OCBOCA+ACB60，O
63、BC是等边三角形，BOCOBC60，CBD180OBAOBC75，CD是O的切线，OCCD，D360OBDBOCOCD360（60+75）609075，CBDD，CBCD；（2）在RtAOB中，ABOA2，CD是O的切线，DCBCAD，D是公共角，DBCDCA，CD2ADBDBD（BD+AB），CDBCOC，2BD（2+BD），解得：BD1，ACADAB+BD1【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质注意准确作出辅助线是解此题的关键44（2019门头沟区一模）如图，点D在O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DCAB于点C（1）求证：DB平分PDC；（2）若DC6
64、，tanP，求BC的长【答案】（1）证明：连结OD，如图，PD为切线，ODPD，ODP90，即ODB+PDB90，CDOB，DCB90，CDB+DBC90，OBOD，ODBOBD，CDBPDB，DB平分PDC；（2）解：作BEPD，如图，DB平分PDC，BCCD，BEPD，BCBE，在RtPDC中，tanP，PC8，PD10，设BCx，则BEx，PB8x，EPBCPD，RtPBERtPDC，BE：DCPB：PD，即x：6（8x）：10，解得x3，即BC的长为3【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系解决本题的关键是根据
65、角平分线性质作BEPD得到BCBE，同时构建RtPBERtPDC45（2019怀柔区二模）如图，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），D90，BCCD12，ABE45，若AE10求CE的长度【答案】解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MGCE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，则BEC与BGM中，BECBMG（SAS），MBGCBE，BEBG，ABE45，CBE+ABMMBG+ABM45，即ABEABG45，在ABE与ABG中，ABEABG（SAS），AGAE10，设CEx，则AM10x，AD12（10x）2+x，DE12x，在RtADE中，AE2AD2+DE2，100（x+2）2+（12x）2，即x210x+240；解得：x14，x26故CE的长为4或6【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，本题中求ABEABG即AGAE10是解题的关键