1、考点十六 直线与圆锥曲线综合问题 第一部分 刷考点A卷 一、选择题1(2019安徽芜湖模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近线的距离为 2，则此双曲线的焦距等于()A 3B2 3C3D6答案 B解析 由题意得焦点 F(c,0)到渐近线 bxay0 的距离为 d|bc0|a2b2bcc b，即 b 2，又ca 3，c2a2b2，可解得 c 3，该双曲线的焦距为 2c2 3，故选 B.2抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点若抛物线 y24x 的焦点为 F
2、，一平行于 x 轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则直线 AB 的斜率为()A43B43C43D169答案 B解析 由题意可设点 A 的坐标为(x0,1)，代入 y24x 得 124x0，x014，又焦点 F 的坐标为(1,0)，所以 kABkAF1014143，故选 B.3(2019河南安阳二模)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点为 F，右顶点为 A，直线 xa 与双曲线的一条渐近线的交点为 B.若BFA30，则双曲线的离心率为()A 2B 3C2D3答案 C解析 由题意可得 A(a,0)，双曲线的渐近线方程为 ayb
3、x0，不妨设 B点为直线 xa 与 ybax 的交点，则 B 点的坐标为(a，b)，因为 ABFA，BFA30，所以 tanBFA|AB|FA|bac e21e1 33，解得 e2，故选 C.4(2019四川五校高三联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为 P，直线 l：4x3y0 与椭圆 C 相交于 A，B 两点若|AF|BF|6，点 P 到直线 l 的距离不小于65，则椭圆 C 的离心率的取值范围是()A0，59B0，32C0，53D13，32答案 C解析 如图所示，设 F为椭圆的左焦点，连接 AF，BF，则四边形AFBF 是平行四边形，可得 6|AF
4、|BF|AF|AF|2a，得 a3，取P(0，b)，由点 P 到直线 l 的距离不小于65，可得|3b|324265，解得|b|2.所以 eca1b2a2149 53，故选 C.5已知圆 O：x2y24，从圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP1(P1 在y 轴上)，点 M 在直线 PP1 上，且向量P1M 2P1P，则动点 M 的轨迹方程是()A4x216y21B16x24y21Cx24y2161Dx216y241答案 D解析 由题可知 P 是 MP1 的中点，设点 M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，则x012x，y0y.又 x20y204，故x22y24，即x216y2
5、41.故选 D.6(2019安徽皖南八校第三次联考)已知 F 是椭圆 C：x23y221 的右焦点，P 为椭圆 C 上一点，A(1,2 2)，则|PA|PF|的最大值为()A4 2B4 2C4 3D4 3答案 D解析 如图，设椭圆的左焦点为 F，则|PF|PF|2 3，又 F(1,0)，|AF|1122 222 3，|PA|PF|23|PA|PF|，根 据 图 形 可 以 看 出|PA|PF|AF|，当 P 在线段 AF的延长线上时，|PA|PF|最大，为|AF|2 3，|PA|PF|的最大值为 2 32 34 3，故选 D.7已知抛物线 y24x 上有 10 个不同的点，坐标分别为 P1(x
6、1，y1)，P2(x2，y2)，P10(x10，y10)，且横坐标 x1，x2，x3，x10 成等差数列，x2，x9 为方程 x25x60 的两个根，抛物线的焦点为 F，则|FP1|FP2|FP10|的值为()A20B30C25D35答案 D解析 由 x2，x9 为方程 x25x60 的两个根，可知 x2x95，x1x2x10 x1x10102x2x910225，|FP1|FP2|FP10|x1x2x101035.8已知抛物线 y2x，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，且直线 AB 与 x 轴交于点(a,0)，若AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点)，则实数 a的取值范围是()A1
7、，)B(1，)C(，1)D(，1答案 B解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10y2)，直线 AB 的斜率不为 0，设直线AB 的方程为 xmya，由xmya，y2x得 y2mya0，则 y1y2m，y1y2a，又因为AOB 为锐角，所以OA OB x1x2y1y2(y1y2)2y1y20，因为 y1y20，所以 y1y21.二、填空题9已知直角坐标系中 A(2,0)，B(2,0)，动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹方程为_，轨迹为_答案 x2y212x40 一个圆解析 设动点 P 的坐标为(x，y)，因为|PA|2|PB|，所以 x22y2 2 x22y2，整理得
8、 x2y212x40，轨迹为一个圆10已知 P 为椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点，F1，F2 是其左、右焦点，F1PF2 取最大值时 cosF1PF213，则椭圆的离心率为_答案 33解析 易知F1PF2 取最大值时，点 P 为椭圆x2a2y2b21 与 y 轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得 2a22a23 4c2，即 a 3c，所以椭圆的离心率eca 33.11已知抛物线：y28x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 P在 上且|PK|2|PF|，则PKF 的面积为_答案 8解析 由已知得，F(2,0)，K(2,0)，过 P 作 PM 垂直于准线，M 为垂足，则|PM|P
9、F|，又|PK|2|PF|，所以|PM|MK|PF|，所以 PFx 轴，PFK 的高等于|PF|，不妨设 P(m2,2 2m)(m0)，则 m224，解得 m 2，故PFK 的面积 S42 2 2128.12(2019山东潍坊三模)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，左顶点为 A，以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 C 的右支于 M，N 两点，且线段 AM 的垂直平分线经过点 N，则 C 的离心率为_答案 43解析 由题意得 A(a,0)，F(c,0)，另一个焦点 F(c,0)，由对称性知，|AM|AN|，又因为线段 AM 的垂直平分线经过点 N，则|AN|MN|
10、，可得AMN 是正三角形，如图所示，连接 MF，则|AF|MF|ac，由图象的对称性可知，MAFNAF12MAN30，又因为AMF 是等腰三角形，则AFM120，在MFF中，|FF|2|FM|22|FF|FM|cos120|FM|2(|FM|2a)2，即 4c2(ac)222c(ac)12(3ac)2，整理得 3c2ac4a20，即(ca)(3c4a)0，则 3c4a0，故 eca43.三、解答题 13(2019全国卷)已知曲线 C：yx22，D 为直线 y12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.(1)证明：直线 AB 过定点(2)若以 E0，52 为圆心的圆与直线 AB
11、 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程 解(1)证明：设 Dt，12，A(x1，y1)，则 x212y1.由于 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故y112x1tx1.整理得 2tx12y110.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210.故直线 AB 的方程为 2tx2y10.所以直线 AB 过定点0，12.(2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx12.由ytx12，yx22可得 x22tx10.于是 x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21.设 M 为线段 AB 的中点，则 Mt，t212.由于EM AB，而EM(t，t22)，AB与向量(1，t)平行，所以
12、 t(t22)t0.解得 t0 或 t1.当 t0 时，|EM|2，所求圆的方程为 x2y5224；当 t1 时，|EM|2，所求圆的方程为 x2y5222.14(2019湖北武汉 5 月模拟)如图，O 为坐标原点，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距等于其长半轴长，M，N 为椭圆 C 的上、下顶点，且|MN|2 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 P(0,1)作直线 l 交椭圆 C 于异于 M，N 的A，B 两点，直线 AM，BN 交于点 T.求证：点 T 的纵坐标为定值 3.解(1)由题意可知 2ca,2b2 3，又 a2b2c2，则 b 3，c1，a2，故椭圆 C 的方程为
13、x24y231.(2)证明：由题意知直线 l 的斜率存在，设其方程为 ykx1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x20)，由ykx1，3x24y2120，得(4k23)x28kx80，所以 x1x2 8k4k23，x1x2 84k23，且 x1x2kx1x2，又 lBN：yy2 3x2x 3，lAM：yy1 3x1x 3，由yy2 3x2x 3，yy1 3x1x 3，得y 3y 3y1 3x1x2y2 3，故y 3y 3kx11 3x1x2kx21 3kx1x21 3x2kx1x21 3x1，整理得y 32 3 kx1x21 3x21 3x11 3x2，故 y 32kx1x221
14、3x21 3x11 3x21 32kx1x2x1x2 3x1x21 3x11 3x2 33x1x2 3x1x23x1x2x1x2 3.故点 T 的纵坐标为 3.B卷 一、选择题1已知 F1，F2 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右两个焦点，过点F1 作垂直于 x 轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于 A，B 两点，ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是()A(1,2)B(1，5)C(1,5)D(5，)答案 B解析 利用双曲线的几何性质求解由等腰ABF2 是锐角三角形可得AF2F145，即|AF1|F1F2|，所以|AF1|bca|F1F2|2c，所以 b2c2
15、a24a2，离心率 eca1，所以离心率 e 的取值范围是(1，5)，故选 B.2已知椭圆 C：x29y251，若直线 l 经过 M(0,1)，与椭圆交于 A，B 两点，且MA 23MB，则直线 l 的方程为()Ay12x1By13x1Cyx1Dy23x1答案 B解析 依题意，设直线 l：ykx1，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)则由 ykx1，x29y251，消 去 y，整理得(9k2 5)x2 18kx36 0，(18k)2436(9k25)0，x1x2 18k9k25，x1x2369k25，x123x2，由此解得 k13，即直线 l 的方程为 y13x1，选 B.3已知双曲线 E：
16、x24y221，直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若线段AB 的中点坐标为12，1，则 l 的方程为()A4xy10B2xy0C2x8y70Dx4y30答案 C解析 依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x214y2121，x224y2221，两式相减得x21x224y21y222，即y1y2x1x212x1x2y1y2.又线段 AB 的中点坐标是12，1，因此 x1x22121，y1y2(1)22，x1x2y1y212，y1y2x1x214，即直线 AB 的斜率为14，直线 l 的方程为 y114x12，即 2x8y70，选 C.4双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两
17、条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线的离心率 e 的取值范围是()A1，52B52，C1，54D54，答案 B解析 依题意，双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，且“右”区域由不等式组ybax所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有 112，因此题中的双曲线的离心率 e1ba252，选 B.5设 F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，P 是双曲线 C 右支上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F230，则双曲线 C 的渐近线方程是()A 2xy0Bx 2y0Cx2y0D2xy0
18、答案 A解析 因为 P 为右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得，|PF1|4a，|PF2|2a，且|F1F2|2c，又PF1F230，由余弦定理，可得 cos30|PF1|2|F1F2|2|PF2|22|PF1|F1F2|16a24c24a224a2c 32.则有 c23a22 3ac，即 c 3a，则 b c2a2 2a，则双曲线的渐近线方程为 ybax 2x，故选 A.6P 是双曲线 C：x22y21 右支上一点，直线 l 是双曲线 C 的一条渐近线，P 在 l 上的射影为 Q，F1 是双曲线 C 的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为()
19、A1B2 155C4 155D2 21答案 D解析 设 F2 是双曲线 C 的右焦点，因为|PF1|PF2|2 2，所以|PF1|PQ|2 2|PF2|PQ|，显然当 F2，P，Q 三点共线且 P 在 F2，Q 之间时，|PF2|PQ|最小，且最小值为 F2 到直线 l 的距离易知 l 的方程为 y x2或 y x2，F2(3，0)，可求得 F2 到 l 的距离为 1，故|PF1|PQ|的最小值为 2 21.选 D.7(2019五省名校联考)在直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为左、右顶点，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C于 P，Q
20、两点，连接 PB 交 y 轴于点 E，连接 AE 交 PQ 于点 M，若 M 是线段 PF 的中点，则椭圆 C 的离心率为()A 22B12C13D14答案 C解析 如图，连接 BQ，则由椭圆的对称性易得PBFQBF，EABEBA，所以EABQBF，所以 MEBQ，因为PMEPQB，所以|PE|EB|PM|MQ|，因为PBFEBO，所以|OF|OB|EP|EB|，从而有|PM|MQ|OF|OB|，又因为 M 是线段 PF 的中点，所以 eca|OF|OB|PM|MQ|13，故选 C.8已知抛物线 x28y，过点 P(b,4)作该抛物线的切线 PA，PB，切点为A，B，若直线 AB 恒过定点，则
21、该定点为()A(4,0)B(3,2)C(0，4)D(4,1)答案 C解析 设 A，B 的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，yx28，yx4，PA，PB 的方程分别为 yy1x14(xx1)，yy2x24(xx2)，由 y1x218，y2x228得 yx14xy1，yx24xy2，因为切线 PA，PB 都过点 P(b,4)，所以 4x14by1,4x24by2，故可知过 A，B 两点的直线方程为 4b4xy，当 x0 时，y4，所以直线 AB 恒过点(0，4)二、填空题9(2019河北唐山一模)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，经过点 M(2,0)的直线交 C 于 A，B 两点，若 O
22、ABF(O 为坐标原点)，则|AB|_.答案 17解析 如图，抛物线 C：y28x 的焦点为 F，经过点 M(2,0)的直线交 C于 A，B 两点，由 OABF，得 A 是 BM 的中点，不妨设 B(m，2 2m)，可得 Am22，2m，可得 2m4(m2)，解得 m4，所以 B(4,4 2)，A(1,2 2)，所以|AB|322 22 17.10(2019安徽合肥第二次教学质量检测)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上一点，且F1PF23，若 F1 关于F1PF2 平分线的对称点在椭圆 C 上，则该椭圆的离心率为_答案 33解析 F1
23、关于F1PF2 平分线的对称点 Q 在椭圆 C 上，则|PF1|PQ|，F1PQ60，F1PQ 为正三角形，|F1Q|F1P|，又|F1Q|F2Q|F1P|F2P|2a，|F2Q|F2P|，PQx 轴，设|PF2|t，则|PF1|2t，|F1F2|3t，即2c 3t，2a3t，即 e2c2a 3t3t 33.11已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 与双曲线 C 的焦点不重合，点 M 关于 F1，F2 的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN|BN|12，则 a_.答案 3解析 如图，设 MN 的中点为 P.F1 为
24、 MA 的中点，F2 为 MB 的中点，|AN|2|PF1|，|BN|2|PF2|，又|AN|BN|12，|PF1|PF2|62a，a3.12已知 M(5,0)，N(5,0)是平面上的两点，若曲线 C 上至少存在一点P，使|PM|PN|6，则称曲线 C 为“黄金曲线”下列五条曲线：y216x29 1；y24x；x24 y29 1；x24y29 1；x2y22x30.其中为“黄金曲线”的是_(写出所有“黄金曲线”的序号)答案 解析 由已知得，点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，实轴长 2a6 的双曲线的右支，可得 b2c2a2523216.则双曲线的方程为x29y2161(x0)对于，两方程联立
25、，无解，则错误；对于，解y24x，x29y2161x0，得 x93 738成立，成立；对于，两方程联立，无解，则错误；对于，两方程联立，无解，则错误；对于，x2y22x30，x29y2161x0，消去 y 整理得25x218x1710，必有一个正根，成立故所有“黄金曲线”的序号为三、解答题13(2019全国卷)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点(1)若POF2 为等边三角形，求 C 的离心率；(2)如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围解(1)连接 PF1.由POF
26、2 为等边三角形可知在F1PF2 中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|3c，于是 2a|PF1|PF2|(31)c，故 C 的离心率为 eca 31.(2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当且仅当12|y|2c16，yxcyxc1，x2a2y2b21，即 c|y|16，x2y2c2，x2a2y2b21.由及 a2b2c2 得 y2b4c2.又由知 y2162c2，故 b4.由及 a2b2c2 得 x2a2c2(c2b2)，所以 c2b2，从而 a2b2c22b232，故 a4 2.当 b4，a4 2时，存在满足条件的点 P.所以 b4，a 的取值范围为4 2，)14(2019
27、湖北四地七校期末)已知点 F(0,1)，点 A(x，y)(y0)为曲线 C上的动点，过 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，满足|AF|AB|1.(1)求曲线 C 的方程；(2)直线 l 与曲线 C 交于两不同点 P，Q(非原点)，过 P，Q 两点分别作曲线 C 的切线，两切线的交点为 M.设线段 PQ 的中点为 N，若|FM|FN|，求直线 l 的斜率解(1)由|AF|AB|1 得 x2y12|y|1，化简得曲线 C 的方程为 x24y.(2)由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykxb，联立 x24y 得 x24kx4b0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x24k，x1x24b，设 N(xN，yN)，则 xNx1x222k，yN2k2b，又曲线 C 的方程为 x24y，即 yx24，yx2，所以过 P 点的切线斜率为x12，切线方程为 yy1x12(xx1)，即 yx12x14x21，同理，过 Q 点的切线方程为 yx22x14x22，联立两切线方程可得xMx1x222k，yM14x1x2b，所以 xMxN，又因为|FM|FN|，所以 MN 中点纵坐标为 1，即 2k2bb2，即 k21，所以 k1，故直线 l 的斜率为 k1.本课结束