1、第39课数列的求和【自主学习】第39课 数列的求和(本课时对应学生用书第101102页)自主学习回归教材1. (必修5P57例3改编)数列1，2，3，4，的前n项和为.【答案】+1-【解析】Sn=(1+2+3+n)+=+1-.2. (必修5P55练习4改编)求和：=.【答案】2 101【解析】1+2+10=55，2+22+210=2 046，所以(k+2k)=2 101.3.(必修5P68复习题2改编)已知数列an的通项公式为an=，那么数列an的前n项和为.【答案】-14. (必修5P68复习题13改编)数列 的前n项和Sn=.【答案】【解析】=-，Sn=1-=.5.(必修5P68复习题12
2、改编)数列的前n项和Tn=.【答案】3-【解析】由an=(n+1)，得Tn=2+3+4+(n+1)，Tn=2+3+4+(n+1)，由-，得Tn=1+-(n+1)=1+-(n+1)=-，所以Tn=3-.1.常用的一般数列的求和方法(1)公式法：若可以判断出所求数列是等差或等比数列，则可以直接利用公式进行求和.若数列不是等差数列，也不是等比数列，有时可直接运用常见的基本求和公式进行求和.(2)分组转化法：把数列的每一项拆成两项的差(或和)，或把数列的项重新组合，使其转化为等差或等比数列.(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项的差(或和)，使求和时出现的一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾两项或
3、少数几项的和(差).(4)倒序相加法：把Sn中项的顺序首尾颠倒过来，再与原来顺序的Sn相加.这种方法体现了“补”的思想，等差数列的前n项和公式就是用它推导出来的.事实上，如果一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来，那么这样的数列就可以用倒序相加法求和.(5)错位相减法：数列anbn的求和问题应用此法，其中an是等差数列，bn是等比数列.2.几种常见类型的处理(1)形如anbn的形式方法：分组求和法.(2)形如或等形式方法：采用裂项相消法.(3)形如anbn的形式(其中an为等差数列，bn为等比数列)方法：采用错位相减法.(4)首尾对称的两项和为定值的形式方法：倒
4、序相加法.(5)正负交替出现的数列形式方法：并项相加法.【要点导学】要点导学各个击破利用“分组转化法”求和例1已知数列an的前n项和Sn=.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=+(-1)nan，求数列bn的前2n项和.【思维引导】(1)由Sn求an，需利用an=Sn-Sn-1(n2)，最后要注意验证第一项是否符合公式；(2)由(1)可知bn为2n与(-1)nn两数列之和，故采用分组求和的方法求解.【解答】(1)当n2时，an=Sn-Sn-1=n；当n=1时，a1=S1=1，符合上式.所以数列an的通项公式为an=n.(2)由(1)得bn=2n+(-1)nn，记数列bn的前2n项和为T2n
5、，则T2n=(21+22+22n)+-1+2-3+4-(2n-1)+2n=22n+1-2+n.【精要点评】本题中bn是由一个摆动数列和一个等比数列相加而成，适用于分组求和，当一个数列是由两个不同类型的数列相加而成时，我们将它们分组、分别求和.变式(2015福建卷)在等差数列an中，已知a2=4，a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=+n，求b1+b2+b3+b10的值.【解答】(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n，所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+1
6、0)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=+=(211-2)+55=211+53=2 101.例2(2014苏州暑假调查)设数列an的前n项和为Sn，对任意的nN*满足2Sn=an(an+1)，且an0.(1)求数列an的通项公式；(2)设cn=求数列cn的前2n项和T2n.【解答】(1)因为2Sn=an(an+1)，所以当n2时，2Sn-1=an-1(an-1+1).-得2an=-+an-an-1，即(an+an-1)(an-an-1-1)=0.若an-an-1-1=0，当n2时，有an-an-1=1，又当n=1时，由2S1=a1(a1+1)及a10，得a1=1，所以数列an是
7、等差数列，其通项公式为an=n(nN*).若an+an-1=0，an=综上，数列an的通项公式为an=n或an=(2)当an=n时，cn=所以T2n=(2+4+2n)+3(21+23+22n-1)+n=n(n+1)+3+n=22n+1+n2+2n-2.当an=时，cn=所以T2n=n(-1+7)=6n.综上，T2n=22n+1+n2+2n-2或T2n=6n.【精要点评】由Sn求an时，首先求出a1，再由an=Sn-Sn-1(n2)求an，但这样求得的an是从第2项开始的，未必是数列的通项公式，所以必须验证a1是否适合，若适合，则写成an=Sn-Sn-1(nN*)，否则，则用分段函数的形式表示为
8、an=利用“倒序相加法”求和例3设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是函数f(x)=+log2的图象上的任意两点.(1)当x1+x2=1时，求f(x1)+f(x2)的值；(2)设Sn=f+f+f+f+f，其中nN*，求Sn.【思维引导】(1)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变换是对数的计算、化简、证明的常用技巧；(2)若前后项的和相加为定值，则采用倒序相加法求数列的和，其基本思想和等差数列的前n项和相类似.【解答】(1)因为x1，x2(0，1)，且x1+x2=1，所以f(x1)+f(x2)=+log2+log2=1+log2=1+log21=1.(2)因为+=+=+=1，
9、所以f+f=f+f=f+f=1.因为Sn=f+f+f+f+f，Sn=f+f+f+f+f，+得2Sn=+，所以2Sn=n，解得Sn=.【精要点评】倒序相加源于等差数列的前n项和公式的推导过程，广泛运用于函数中求和.一般地，这类函数是中心对称函数，本题中f(x)+f(1-x)=1，f(x)的图象关于对称.利用“裂项相消法”求和例4(2015全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，已知an0，+2an=4Sn+3.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=，求数列bn的前n项和Tn.【思维引导】(1)先用数列第n项与前n项和的关系求出数列an的递推公式，可以判断数列an是等差数列，利用等差数列的通项
10、公式即可写出数列an的通项公式；(2)由(1)可得数列bn的通项公式，再用裂项相消法求其前n项和.【解答】(1)当n=1时，+2a1=4S1+3=4a1+3，因为an0，所以a1=3.当n2时，+2an-2an-1=4Sn+3-4Sn-1-3=4an，即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1)，因为an0，所以an-an-1=2，所以数列an是首项为3、公差为2的等差数列，所以an=2n+1.(2)由(1)知，bn=，所以数列bn的前n项和为b1+b2+bn=+=-.【精要点评】观察数列的形式，看使用什么方法求和方便.使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留
11、了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.利用“错位相减法”求和例5(2015湖北卷)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn=，求数列cn的前n项和Tn.【思维引导】一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解.【解答】(1)由题意得，即解得或故或 (2)由d1，知an=2n-1，bn=2n-1，
12、故cn=，于是Tn=1+，Tn=+，-可得Tn=2+-=3-，所以Tn=6-.【精要点评】多个省份在近年高考中对错位相减法进行了考查.运用时，要注意如何错位，注意同次项的对应.本质上错位相减是将问题向等比数列转化的过程.变式(2015浙江卷)已知数列an和bn满足a1=2，b1=1，an+1=2an，b1+b2+b3+bn=bn+1-1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.【解答】(1)由a1=2，an+1=2an，得an=2n.当n=1时，b1=b2-1，故b2=2.当n2时，bn=bn+1-bn，整理得=，所以bn=n.(2)由(1)知，anbn
13、=n2n，所以Tn=2+222+323+n2n，2Tn=22+223+324+(n-1)2n+n2n+1，所以Tn-2Tn=-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=(1-n)2n+1-2，所以Tn=(n-1)2n+1+2.【精要点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点，由此得到数列的通项公式；利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题. 1. (2016苏州期中)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S4=8a1，a4=4+a2，则S10=.【答案】120【解析】设等差数列an的公差为d，由题意知解得故S10=10a1+d=103+
14、109=120.2. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若a5=5，S5=15，则数列 的前100项和为.【答案】【解析】由a5=5，S5=15，得a1=1，d=1，所以an=1+(n-1)=n，所以=-，所以+=-+-+-=1-=.3.在等比数列an中，已知a1=1，a4=8.设S3n为该数列的前3n项和，Tn为数列的前n项和.若S3n=tTn，则实数t的值为.【答案】7【解析】设等比数列an的公比为q，则q3=8，q=2，S3n=，数列仍为等比数列，公比为q3=8，Tn=，所以=t，解得t=7.4.(2015山东卷)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通
15、项公式；(2)设bn=(an+1)，求数列bn的前n项和 Tn.【解答】(1)设数列an的公差为d.令n=1，得=，所以a1a2=3.令n=2，得+=，所以a2a3=15.解得a1=1，d=2，所以an=2n-1.(2)由(1)知bn=2n22n-1=n4n，所以Tn=141+242+n4n，所以4Tn=142+243+n4n+1，两式相减，得-3Tn=41+42+4n-n4n+1=-n4n+1=4n+1-，故Tn=4n+1+=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第7778页.【检测与评估】第39课数列的求和一、 填空题1数列3+2n的前n项和Sn=.2已知数列an
16、满足an=，那么其前99项和S99=.3若数列an满足an+1+(-1)n an =2n-1，则an的前60项和为.4(2015常州期末)设等比数列an的公比为q(0q1，易知对所有的n，an1，对an+1-1=an(an-1)两边取倒数得=-，所以=-，所以+=-=2，整理得a2 017=.由a2 0171，得1a10.由已知得消去d，整理得q4-2q2-8=0.又因为q0，解得q=2，所以d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1，数列bn的通项公式为bn=2n-1.(2)由(1)知cn=(2n-1)2n-1设cn的前n项和为Sn，则Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+
17、(2n-1)2n-1，2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n.上述两式相减得-Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3，所以Sn=(2n-3)2n+3.11(1)设等差数列an的公差为d，则有a3=11=a1+2d，S9=153=9a1+36d，联立解得d=3，a1=5，所以an=3n+2.(2)由(1)知bn=23n+2， =23=8又b1=32，所以bn是以32为首项、8为公比的等比数列，所以An=(8n-1).(3)由(1)知cn=，根据累加法可得Bn=.12由题意得S=1-.对于T，我们首先把Bn中的元素按从小到大的顺序排列，当n4时，.对于Bn中的任一元素(k4)，比它大的有k-1个，这k-1个元素组成的集合的所有子集有2k-1个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的Bn的子集，而最小元素为的Bn的子集也只有这些，故在T中出现2k-1次，所以T=2n-1+2n-2+23+4+2+=+4=(n4)；n=3时，T=4也适合上式；n=2时，T=.当n=2时，S+2T2 017不成立；当n3时，S+2T=1-+n2-1=n2-2 017，n22 017+，由于1，442=1 936，452=2 025，所以n45，即最小正整数n的值为45.