1、第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线 感悟高考 明确考向(2010浙江)设 F1、F2 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0解析 如图，由题意得|PF2|F1F2|2c，|F2M|2a.在PF2M 中，|PF2|2|F2M|2|PM|2，而|PM|12|PF1|，又|PF1|PF2|2a，|PF1|2a2c，即|PM|ac.|PF2|2(2c)2(2a)2(ac)2.又 c2a2b2，ba43，
2、渐近线方程为 y43x，即 4x3y0.答案 C考题分析本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、几何性质考查考生运用知识解决问题的能力根据定义、几何性质建方程，将ba作整体解方程，是解决此题的关键易错提醒(1)不能根据三角形 F1F2P 的特征，求解|PF1|的长(2)不能把ba作为一个整体处理，致使等式 a2b22ba 无法求解(3)部分考生弄不清渐近线方程是 ybax 还是 yabx主干知识梳理 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)x2a2y2b21(a0，b0)y22px(p0)图形范围|x|
3、a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于 x 轴，y 轴和原点对称关于 x 轴对称焦点(c,0)(p2，0)几何性质轴长轴长 2a，短轴长 2b实轴长 2a，虚轴长 2b离心率 eca1b2a2(0e1)e1准线xa2c(不作要求)xp2通径|AB|2b2a(不作要求)|AB|2p渐近线ybax热点分类突破题型一 圆锥曲线的定义例1 已知 P 为椭圆x24y21 和双曲线 x2y221 的一个交点，F1，F2 为椭圆的两个焦点，那么F1PF2 的余弦值为_思维启迪 双曲线的焦点与椭圆焦点相同用椭圆、双曲线的定义标出|PF1|、|PF2|用余弦定理解析 由
4、椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2 为它们的公共焦点，不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|4|PF1|PF2|2，所以|PF1|3|PF2|1，又|F1F2|2 3，由余弦定理可知 cosF1PF213.13探究提高圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|0)与抛物线 C：y28x 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|2|FB|，则 k 的值为()A.13 B.23 C.23 D.2 23解析 将 yk(
5、x2)代入 y28x 得 k2x2(4k28)x4k20.设交点的横坐标分别为 xA，xB，则 xAxB8k24，xAxB4.又|FA|xA2，|FB|xB2，|FA|2|FB|，2xB4xA2.xA2xB2.将代入得 xB 83k22，xA163k242163k22.故 xAxB83k22 163k22 4.解之得 k289，而 k0，k2 23，则满足 0.故选 D.D题型二 圆锥曲线的性质例 2如图所示，椭圆x2a2y2b21 上的点 M与椭圆右焦点 F1 的连线 MF1 与 x 轴垂直，且 OM(O 是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端点的连线 AB 平行(1)求椭圆的离心率；(2)F2 是
6、椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点，证明：F1CF22；(3)过F1且与AB 垂直的直线交椭圆于P、Q，若PF2Q的面积是 20 3，求此时椭圆的方程思维启迪(1)从 OMAB 入手，寻找 a，b，c的关系式，进而求出离心率(2)在焦点三角形 F1CF2 中，用余弦定理求出cos F1CF2，再结合基本不等式(3)设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则12|F1F2|y1y2|，用设而不求的思路求解PQFS2(1)解 设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，则 Mc，b2a，kOMb2ac，kABba，b2acbabca 2c，eca 22.(2)证明 由椭圆定义得：|F1C|F2C|2
7、a，cosF1CF2|F1C|2|F2C|2|F1F2|22|F1C|F2C|4a24c22|F1C|F2C|2|F1C|F2C|2b2|F1C|F2C|1.|F1C|F2C|F1C|F2C|22a2，cosF1CF22b2a2 12c22c210，F1CF22.(3)解 设直线 PQ 的方程为 yab(xc)，即 y 2(xc)代入椭圆方程消去 x 得：1a2c 12y 2y2b21，整理得：5y22 2cy2c20，y1y22 2c5，y1y22c25.(y1y2)22 2c528c25 48c225.122c|y1y2|4 3c2520 3，c225，因此 a250，b225，所以椭圆方
8、程为x250y2251.QPFS2探究提高(1)求离心率，结合已知条件找到 a，b，c的关系式；(2)C 为椭圆上的任意一点，F1、F2 为左、右焦点，当 C点是椭圆短轴的一个端点时，F1CF2 取得最大值变式训练 2(2010天津)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率 e 32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A 的坐标为(-a,0),点 Q(0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且=4,求 y0 的值.QBQA解(1)由 eca 32，得 3a24c2.再由 c2a2b2，得 a2b.由题意可知
9、122a2b4，即 ab2.解方程组a2b，ab2，ab0.得a2，b1.所以椭圆的方程为x24y21.(2)由(1)可知 A(2,0)，且直线 l 的斜率必存在设 B 点的坐标为(x1，y1)，直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk(x2)于是 A，B 两点的坐标满足方程组yk(x2)，x24y21.由方程组消去 y 并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由根与系数的关系，得2x116k2414k2，所以 x128k214k2，从而y14k14k2.设线段 AB 的中点为 M，则 M 的坐标为(8k214k2，2k14k2)以下分两种情况讨论：当 k=0 时,点
10、B 的坐标是(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y轴,于是由得 y02 2.当 k0 时，线段 AB 的垂直平分线的方程为y2k14k21k(x 8k214k2).,2(),2(00yQByQA,4QBQA令 x0，解得 y06k14k2.由 2(28k2)14k26k14k2(4k14k26k14k2)4(16k415k21)(14k2)24，整理得 7k22，故 k 147.所以 y02 145.综上，y02 2或 y02 145.),(),2(0110yyxQByQA)(20101yyyxQBQA题型三 求曲线的方程问题例 3(2009海南、宁夏)已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系
11、 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点，|OP|OM|，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线思维启迪(1)椭圆方程中的基本参数 a、c 的关系 ac7，ac1.(2)坐标转移法解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a、c，由已知得ac1，ac7，解得a4，c3，又b2a2c2，b 7，所以椭圆 C 的方程为x216y271.(2)设 M(x，y)，其中 x4,4，由已知|OP|2|OM|22及点 P 在椭圆 C 上可得 9x211216(
12、x2y2)2，整理得(1629)x2162y2112，其中 x4,4当 34时，化简得 9y2112，所以点 M 的轨迹方程为 y4 73(4x4)轨迹是两条平行于 x 轴的线段当 34时，方程变形为x21121629 y21121621，其中 x4,4当 034时，点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足4x4 的部分；当340 恒成立x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23.(x12，y1)(x22，y2)(x12)(x22)y1y2x1x22(x1x2)4k2(x1x2x1x21)27k24k23 2743k2.综上AQAP.4270,02AQAPk.4270
13、AQAP规律方法总结1求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法(2)待定系数法顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y22ax 或 x22ay(a0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时 a 不具有 p 的几何意义中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x2my2n1(m0，n0)双曲线方程可设为x2my2n1(mn0)这样可以避免讨论和繁琐的计算2轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标解析法(坐标法).寻找动点与已知点满足的关系式几何关系将动点与已知点的坐标代入几何关系代数化化简整理方程简化证明所得方程为所求的轨迹方程完成其充要
14、性(2)求轨迹方程的常用方法：直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意建系要符合最优化原则；求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式步骤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等知能提升演练 一、选择题1下列曲线中离心率为 62 的是()A.x22y241 B.x24y221C.x24y261 D.x24y2101解析 eca，c2a2b2，e2c
15、2a2a2b2a21b2a232，b2a212，故选 B.B2.（2009浙江）已知椭圆(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BFx 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P.若，则椭圆的离心率是（）12222 byaxPBAP2解析 如图，由于 BFx 轴，故 xB=-c,yB=设 P（0,t）,2ab,2PBAP(a，t)2c，b2a t，a2c，eca12.D21.D31.C22.B23.A3若抛物线 y22px 的焦点与椭圆x26y221 的右焦点重合，则 p 的值为()A2 B2 C4 D4解析 椭圆x26y221 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 y22px 的焦
16、点为(2,0)，则 p4.D4两个正数 a、b 的等差中项是52，一个等比中项是 6，且 ab，则双曲线x2a2y2b21 的离心率 e 等于()A.33B.152C.13D.133解析 由题意得：ab5，ab6，又 ab，所以 a3，b2，即 c213，故 eca 133，所以选 D.D5.设 F 1、F 2 分别是双曲线的左、右焦点，若点 P 在双曲线上，且则等于（）A.10B2 10C.5 D2 51922 yx,021 PFPF|21PFPF 解析如图，由可得，又由向量加法的平行四边形法则可知PF1QF2 为矩形，因为矩形的对角线相等，故有2c2 10，所以选 B.,021 PFPF2
17、1PFPF|21PFPF|PQB二、填空题6直线 yx3 与抛物线 y24x 交于 A、B 两点，过 A、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、Q，则梯形 APQB 的面积为_解析 抛物线的准线方程为 x1.联立y24x，yx3，解得 A(1，2)，B(9,6)则|AP|2，|BQ|10，|PQ|8，S 梯形(210)8248.48 7(2010北京)已知双曲线x2a2y2b21 的离心率为 2，焦点与椭圆x225y291 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_解析 双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，c4.eca2，a2，b212，b2 3.焦点在 x 轴上，焦点坐标为(4,
18、0)，渐近线方程为 ybax，即 y 3x，化为一般式为 3xy0.(4,0)3xy08已知 A(12，0)，B 是圆 F：(x12)2y24(F 为圆心)上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P，则动点 P 的轨迹方程为_解析 由题意|PA|PB|，又|PF|PB|2，|PA|PF|2，即 P 到两定点 A、F 距离之和为定值2 且大于两定点 A、F 之距离 1，故其轨迹为椭圆，且 a1，c12，b234，方程为 x243y21.x243y21三、解答题9已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，且经过点 P(1，32)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 F 是
19、椭圆 C 的左焦点，判断以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由解(1)椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，且经过点 P(1，32)，a2b2a12，1a2 94b21，即 3a24b20，1a2 94b21.解得a24，b23.椭圆 C 的标准方程为x24y231.(2)a24，b23，c a2b21.椭圆 C 的左焦点坐标为(1,0)以椭圆 C 的长轴为直径的圆的方程为 x2y24，圆心坐标是(0,0)，半径为 2.以 PF 为直径的圆的方程为 x2(y34)22516，圆心坐标是(0，34)，半径为54.两圆心之间的距离为(00)2(340)23425
20、4，故以 PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切10已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，直线 l 过点A(4,0)且与抛物线交于 P、Q 两点，并设以弦 PQ 为直径的圆恒过原点(1)求焦点坐标；（2）若试求动点 R 的轨迹方程.,FRFQFP解(1)设直线的方程为 xky4，代入 y22px，得 y22kpy8p0.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有 y1y22kp，y1y28p.而故0 x1x2y1y2(ky14)(ky24)8pk2y1y24k(y1y2)168p，即 08k2p8k2p168p，得 p2，所以焦点 F(1,0),0OQOP（2）设 R（x,y）,由得(x11，y1)(x21，y2)(x1，y)，所以 x1x2x1，y1y2y.而 y214x1，y224x2，可得 y(y1y2)(y1y2)(y1y2)4(x1x2)又 FR 的中点坐标为 M(x12，y2)，当 x1x2 时，由 kPQkMA得4yy1y2x1x2y2x12 4，整理得 y24x28.当 x1x2 时，R 的坐标为(7,0)，也满足 y24x28.所以 y24x28 即为动点 R 的轨迹方程FRFQFP返回