1、数学选修22(人教A版) 章末过关检测卷(二)第二章 推理与证明(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()A平行四边形的对角线相等 B正方形的对角线相等C正方形是平行四边形 D以上都不是答案：B2用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是()A假设是有理数 B假设是有理数C假设或是有理数 D假设是有理数解析：因为“是无理数”的反面是“是有理数”，故正确的假设是“是有理数”故选D.
2、答案：D3已知f(x1)，f(1)1(xN*)，猜想f(x)的表达式为()A. B. C. D.解析：因为f(x1)，f(1)1，所以f(2)，f(3)，f(4)，所以猜想f(x).故选B.答案：B4(2013合肥高二检测)对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立；(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以nk1时，不等式成立则上述证法()A过程全部正确 Bn1验得不正确C归纳假设不正确 D从nk到nk1的推理不正确解析：在nk1时，没有应用nk时的归纳假设，不是数学归纳法故选D.答案：D5下列推理正确的
3、是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有：loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则有：sin(xy)sin xsin yC把(ab)n与(ab)n类比，则有：(xy)nxnynD把(ab)c与(xy)z类比，则有：(xy)zx(yz)答案：D6若ab0，则下列不等式中总成立的是()Aab B. Cab D.答案：A7为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接受方由密文明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a2b,2bc,2c3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接受方收到密文14,9,23
4、,28时，则解密得到的明文为()A4,6,1,7 B7,6,1,4 C6,4,1,7 D1,6,4,7答案：C8观察数表：1 2 3 4第一行2 3 4 5第二行3 4 5 6第三行4 5 6 7第四行 第一列 第二列 第三列 第四列根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为()A2n1B2n1Cn21Dn2答案：A二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分；将正确答案填在题中的横线上)9有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”这段推理的结论显然是错误的，是因为_(填序号)大前提错误 小前提错误推理形式错误非以上错误答案：10在实数的原有运算法则中
5、，我们补充定义新运算“”如下：当ab时，aba；当ab时，abb2.则函数f(x)(1x)x(2x)(x)的最大值等于_(“”和“”仍为通常的乘法和减法)答案：611(2013杭州高二检测)2， 3， 4，若 6(a，b均为实数)，请推测a_，b_.解析：由2，3，4可以求出3221,8321,15421，所以在6中，a6，ba2162135.答案：63512下面给出了一个“直角三角形数阵”：，这个数阵满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且各行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij (ij，i，jN*)，则a83等于_答案：13若存在常数a，b，c，使等式122232n
6、(n1)2(an2bnc)对nN*都成立，则a，b，c的值分别为_，_，_.解析：因为存在常数a，b，c，使等式对所有的正整数都成立，所以当令n1,2,3时等式都成立，所以得abc24，4a2bc44，9a3bc70，解得a3，b11，c10.答案：3111014(2013湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10，第 n个三角形数为n2n .记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第 n个数的表达式：三角形数 N(n,3)n2n正方形数 N(n,4)n2五边形数 N(n,5)n2n 六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k
7、)的表达式，由此计算N(10,24)_.解析：观察n2和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列：，1，2，；另一个成递减的等差数列：，0，1，故N(n,24)11n210n，所以N(10,24)1 000.答案：1 000三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15(本小题满分12分)如图所示，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直证明：假设AC平面SOB，因为直线SO在平面SOB内，所以SOAC，因为SO底面圆O，所以SOAB，因为ABACA，所以SO平面SAB.所以平面SAB底面圆O，这显然
8、与平面SAB与底面圆O相交矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直16(本小题满分12分)已知：A，B都是锐角，且AB90，(1tan A)(1tan B)2.求证：AB45.证明：(1tan A)(1tan B)2，展开化简为tan Atan B1tan Atan B.AB90，tan(AB)1.又A，B都是锐角，0AB180.AB45.17(本小题满分14分)已知数列an满足anan13n1(nN*)，且a11.(1)求a2，a3的值；解析：a11，a2314，a332413.(2)证明：an.证明：证法一由已知anan13n1，有： an(anan1)(an1an2)(a2a1)a
9、13n13n231.所以证得an.证法二当n1时，命题成立假设nk(k1，kN*)时，命题成立，即ak，那么nk1时，ak13kak3k，即nk1时命题也成立综合，命题对nN*均成立18(本小题满分14分)已知ABC的三边长都是有理数，求证：(1)cos A是有理数；证明：由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 cos A是有理数(2)对任意正整数n, cos nA和sin Asin nA是有理数证明：用数学归纳法证明 cos nA和sin Asin nA都是有理数当n1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin Asin nA1cos2A也是有理数假设当nk(1)时，cos kA和sin
10、 Asin kA都是有理数当nk1时，由cos(k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin(k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，由和归纳假设，知cos(k1)A和sin Asin(k1)A都是有理数即当nk1时，结论成立综合可知，对任意正整数n，cos nA，sin Asin nA是有理数19(本小题满分14分)已知a，b，cR，且abc1，求证：8.证明：证法一(综合法)8(当且仅当abc时取等号)，所以不等式成立证法二(分析法)要证8成立，只需证8成立因为ab
11、c1，所以只需证8成立即8.只需证8成立，而8显然成立8成立20(本小题满分14分)设f(n)1，是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)f(2)f(n1)g(n)对于n2的一切自然数都成立？并证明你的结论解析：当n2时，由f(1)g(2)，得g(2)2，当n3时，由f(1)f(2)g(3)，得g(3)3，猜想g(n)n(n2)下面用数学归纳法证明：当n2时，等式f(1)f(2)f(n1)n恒成立当n2时，由上面计算可知，等式成立假设nk(kN* 且k2)时，等式成立，即f(1)f(2)f(k1)k(k2)成立，那么当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)，所以当nk1时，等式也成立由知，对一切n2的自然数n，等式都成立，故存在函数g(n)n，使等式成立