1、第33课平面向量的数量积【自主学习】第33课 平面向量的数量积(本课时对应学生用书第8991页)自主学习回归教材1. (必修4P81习题2改编)已知向量a与向量b的夹角为30，|a|=2，|b|=，那么向量a和向量b的数量积ab=.【答案】3【解析】ab=2=3.2. (必修4P88练习4改编)已知向量a=(1，-1)，b=(2，x).若ab=1，则实数x=.【答案】1【解析】因为ab=2-x=1，所以x=1.3. (必修4P89习题2改编)已知向量a，b的夹角为120，=1，=3，那么=.【答案】7【解析】先求的平方，再开方.4. (必修4P88练习4改编)已知向量a=(1，2)，b=(x，
2、4)，且ab=10，则|a-b|=.【答案】【解析】因为ab=10，所以x+8=10，x=2，所以a-b=(-1，-2)，所以|a-b|=.5. (必修4P81习题13改编)若|a|=2，|b|=4，且(a+b)a，则a与b的夹角为.【答案】【解析】设a与b的夹角为.因为(a+b)a，所以(a+b)a=0，即a2+ab=0.因为cos =-，所以=.1. 两个向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则ab=|a|b|cos ，其中|b|cos 称为向量b在a方向上的投影.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2. 两个向量的数量积的性质设a与b是非零向量，是a与b的夹角.(1)若a与b
3、同向，则ab=|a|b|；若a与b反向，则ab=-|a|b|.特别地，aa=|a|2.(2)ab=0 ab.(3)cos =.3. 数量积的运算律(1)交换律：ab=ba.(2)数乘结合律：(a)b=a(b).(3)分配律：(a+b)c=ac+bc.【要点导学】要点导学各个击破利用向量的数量积求向量的模和夹角例1(1)(2016苏北四市期中)已知|a|=1，|b|=2，a+b=(1，)，那么向量a，b的夹角为.(2)若两个向量e1，e2，满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.【思维引导】模长和夹角是数量
4、积的两个要素，解题时要充分关注它们之间的转化.(1)【答案】【解析】设向量a与b的夹角为，则由题知(a+b)2=a2+b2+2ab=1+4+2ab=3，所以ab=|a|b|cos =-1，所以cos =-，由0，知=.(2)【解答】由题意知(2te1+7e2)(e1+te2)0，所以2t+(2t2+7)e1e2+7t0.又因为|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60，所以e1e2=21cos 60=1，所以2t22+(2t2+7)+7t0，即2t2+15t+70，解得-7t-.又当2te1+7e2与e1+te2共线时，=，解得t=-(正根舍去)，所以实数t的取值范围是.【精要点评】第
5、(1)题利用向量的数量积公式和向量夹角的范围求得；第(2)题一定要关注共线时的情况，因为(2te1+7e2)(e1+te2)0反映的是夹角为钝角或平角.变式(1)若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角为.(2)若a，b，c均为单位向量，且ab=0，(a-c)(b-c)0，则|a+b-c|的最大值为.(3)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1=e1-2e2，b2=3e1+4e2，则b1b2=.(1)【答案】【解析】2a+b=(3，3)，a-b=(0，3)，设向量2a+b与a-b的夹角为，则cos =，故夹角为.(2)【答案】1【解析】因为向量a，b，c都是单位
6、向量，所以a2=1，b2=1，c2=1，由ab=0，及(a-c)(b-c)0，可知(a+b)cc2=1.因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，所以|a+b-c|2=3-2(ac+bc)1，故|a+b-c|1.(3)【答案】-6【解析】由题设知|e1|=|e2|=1，且e1e2=，所以b1b2=(e1-2e2)(3e1+4e2)=3-2e1e2-8=3-2-8=-6.例2若向量a=(1+cos x，1+sin x)，b=(1，0)，c=(1，2).(1)求证：(a-b)(a-c)；(2)求|a|的最大值，并求此时x的值.【思维引导】(1)要证(a-b)(a-c)，只需证
7、(a-b)(a-c)=0，可以计算(a-b)(a-c)；(2)要求|a|的最大值，可以求出|a|的表达式，通过求函数(三角函数)的最值进行.【解答】(1)因为a-b=(cos x，1+sin x)，a-c=(cos x，sin x-1)，(a-b)(a-c)=(cos x，1+sin x)(cos x，sin x-1)=cos2x+sin2x-1=0，所以(a-b)(a-c).(2)|a|= = =+1.当sin=1，即x=+2k(kZ)时，|a|有最大值+1.向量数量积的应用微课10 典型示例例3(2015徐州、连云港、宿迁三检)如图，半径为2的扇形的圆心角为120，M，N分别为线段OP，O
8、Q的中点，A为上任意一点，则的取值范围是.(例3)【思维导图】【答案】【规范解答】方法一：如图(1)，以点O为坐标原点，OQ所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则M，N(1，0)，由题意可设点A(2cos ，2sin )，其中0.(例3(1)所以=，=(1-2cos ，-2sin )，所以=(1-2cos )+(-2sin )=-cos -sin =-2cos，其中0.因为0，所以-，所以cos1，-2-2cos-1，-2cos，即的取值范围是.方法二：如图(2)，连接OA，设AOQ=，则AOP=-，其中0，(例3(2)=(-)(-)=-+=11cos -2cos -2cos+4=-2cos -
9、2=-cos -sin =-2cos，其中0，因为0，所以-，所以cos1，-2-2cos-1，-2cos，即的取值范围是.【精要点评】对于求平面向量数量积的问题，常规思路一是通过建立平面直角坐标系求解，思路二是利用平面向量内的同一组基底来求解.一般地，对于特殊的图形往往通过前者求解. 总结归纳解决此类问题的步骤如下：(1)选择适当的两向量作为基底(基底一般选择长度已知的向量、互相垂直的向量、夹角已知的向量)利用平面向量基本定理把题中所有向量用基底表示用向量的数量积公式；(2)建立平面直角坐标系(图形为矩形、直角三角形、等腰三角形、圆等优先考虑建系)写出所有点的坐标代入数量积的坐标公式求解.
10、题组强化1. (2015湖北卷)已知向量，|=3，则=.【答案】9【解析】根据题意作出图形，如图所示.设向量，的夹角为，则=|cos .(第1题)因为，所以|cos =|，所以=|2=9.2. (2015南京三模)在ABC中，若ABC=120，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则=.【答案】【解析】由题意得=(+)(+)=+=9+23cos 120+4=.3. 已知O是ABC的外心，AB=6，AC=10，若=x+y，且2x+10y=5，则cosBAC=.【答案】【解析】由题设知=x+y，因为O是ABC的外心，所以=，所以102=x610cosBAC+y102.又因为2x+10y=
11、5，所以10y=5-2x，所以50=60xcosBAC+10(5-2x)，所以cosBAC=.4. (2015南通、扬州、泰州、淮安三调)如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点.以A为圆心，AE为半径，作圆交AD于点F.若P为劣弧上的动点，求的最小值.(第4题)【解答】方法一：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则D(0，2)，C(2，2)，设P(cos ，sin )，0，则=(-cos ，2-sin )(2-cos ，2-sin )=5-2cos -4sin =5-2sin(+)5-2.方法二：设PAB=，=(-)(-+)=-2+4-+1=5-2
12、cos -4sin (下同法一).1. 若单位向量a与b的夹角为，则=.【答案】1【解析】由题设知|a|=|b|=1，所以=1.2. 已知向量a与b的夹角为60，且a=(-2，-6)，|b|=，则ab=.【答案】10【解析】由题意得|a|=2，设向量a与b的夹角为，所以ab=|a|b|cos =2=10.3. (2015山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，ABC=60，则=.【答案】a2【解析】因为=(+)=+=a2+a2cos 60=a2.4. (2015宿迁一模)如图，在ABC中，AB=AC=4，BAC=90，D是BC的中点，若向量=+m，且的终点M在ACD的内部(不含边界)，则的取值范围
13、是.(第4题)【答案】(-2，6)【解析】以AB，AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，D(2，2)，从而直线AD的方程为y=x，直线BC的方程为y=-x+4.由=+m得M(1，4m).因为点M在ACD的内部，所以解得m0，所以y=t-在t上为增函数，所以-t-，即所求的最大值为，最小值为-.(2)由题设可得|ka+b|2=3|a-kb|2又|a|=|b|=1，ab=cos 2，所以原式化简得cos 2=.由0，得-cos 21，所以-1，解得k.1213【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则B，C(0，t)，=(1，0)+4(0，1)=(1，4)，即P(1，4)，所以=，=(-1，t-4)，因此=1-4t+16=17-.因为+4t2=4，所以 的最大值为13，当且仅当=4t，即t=时取等号.(第12题)13【解析】因为=，=，=-=-=，=+=+，=+=+=+，所 以=(+)=+ =4+21cos 120=+2+=，当且仅当=，即=时，的最小值为.