1、数学必修4(人教A版)利用指定向量表示其他向量专题归纳用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理例题分析ABC中(如图所示)，DEBC交AC于E，AM是BC边上的中线交DE于N，设a，b，用a，b分别表示向量、.分析：用向量的加减法和数乘向量运算解答本题本题是向量加减法和数乘向量的混合运算，在进行计算时要充分利用DEBCADEABC，ADNABM.解析：b，ba， 由ADEABC，得，由AM是ABC中线，DEBC，由ADNABM，得.跟踪训练 1.在ABC中，c，b.若点D满足2，则()A.bc B.cb C.bc D.bc
2、答案：A有关向量的共线问题专题归纳有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：ababx1y2x2y10.例题分析已知a，b，若ka2b与2ab平行，求实数k的值解析：ka2bk2，2ab2，又ka2b与2ab平行，50.解得k4.点评：有关向量的共线问题，可以运用“向量b与非零向量a共线存在唯一实数使ba”，也可以运用向量共线的坐标表达式“a，b共线x1y2x2y10”跟踪训练2已知向量a，b，若ab与4b2a平行，则实数x的值是()A2B0C1D2解析：方法一因为a，b，所以ab，4b2a，由于ab与4b2a平行，得6(x1)3(4x2)0，解得x2.方法二因为ab与4b2a平行，则存在常
3、数，使ab(4b2a)，即ab，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x2.答案：D3(2013上海卷)已知向量a(1，k)，b(9，k6)若a/b，则实数k_.答案：三角函数的图象和性质专题归纳1有关向量的垂直问题，常用数量积的运算性质：abab0x1x2y1y20.2求夹角问题，用夹角公式：cos (为a，b的夹角)例题分析已知a，b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角分析：将已知与所求分别进行语言转化，从中找到联系由已知垂直得到两式，而由所求夹角可知须有数量积及模的乘积，从而考虑从已知推出的关系解析：由已知得(a3b)(7a5b)0，(a4b)(7
4、a2b)0，即7a216ab15b20,7a230ab8b20，两式相减得2abb2，代入其中一式，得.cos ，又，所以60.点评： 求两向量的夹角，要通过求得ab及，或它们的关系式注意两向量的夹角的取值范围是.跟踪训练4已知a，b，向量ab与a2b垂直，则实数的值为()A B. C D.解析：ab(31,2)，a2b(1,2)，(ab)(a2b)，(31,2)(1,2)0，即3140，解得，故选A.答案：A5已知|a|1，|b|6，a2，则向量a与向量b的夹角是()A. B. C. D.解析：由条件得aba22，ab2a23cos 3cos .答案：C6已知e1，e2 是夹角为 的两个单位
5、向量，ae12e2，bke1e2, 若ab0 ，则k的值为_ 答案：有关向量的模长问题专题归纳利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)2a2aa；(2)2a22abb2；(3)若a，则.例题分析(1)已知向量a和b的模都是2，其夹角为60，又知a2b，2ab，试求P、Q两点间的距离；(2)已知4，8，a与b的夹角是120，求及的值解析：(1)3ab，229a26abb2.2，abcos 602，29a26abb29462452.2.(2)abcos 1204816.2a22abb21626448，4，216a216ab4b21616164643162，16.点评： 通过求向量的平方来求向量的模跟踪训练7平面向量a与b的夹角为60，a，1, 则()A. B2 C4 D12解析：由已知2，所以 2a24ab4b212，故 2.答案：B8已知向量a，ab10，5，则()A. B. C5 D25解析：本题考查平面向量数量积的运算和性质，由5知2a22abb250得5，故选C.答案：C