1、数学必修2(人教A版)章末知识整合专题一圆的方程圆的方程有两种形式：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，明确了圆心和半径，圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)体现了圆的二元二次方程的特点，在实际求解中常常先求出圆的标准方程，再化简为一般方程，求圆的方程常用的方法为几何法和待定系数法已知ABC的三个顶点分别为A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，求其外接圆的一般方程解析：解法一：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，由题意可得解得故圆的方程为x2y24x2y200.解法二：由题意可求得弦AC的中垂线方程为x2，BC的中垂线方程为xy30，由解得圆心P的坐标为
2、(2,1)圆半径r|AP|5.圆的方程为(x2)2(y1)225，即x2y24x2y200.跟踪训练1求经过两点A(1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程解析：解法一：圆心在y轴上，设圆的标准方程是x2(yb)2r2.该圆经过A、B两点，所以圆的方程是x2(y1)210.解法二：线段AB的中点为(1,3)，kAB，弦AB的垂直平分线方程为y32(x1)，即y2x1.由得(0,1)为所求圆的圆心由两点间距离公式得圆半径r为，所求圆的方程为x2(y1)210.2已知ABC三边所在直线的方程为AB：x2y20，BC：2xy60，CA：x2y60，求ABC的外接圆的方程解析：由题先求出ABC的
3、三个顶点由得B(2，2)，由得C(6,6)，由得A(4,1)，又A、B、C都在外接圆上，故设外接圆方程为(xa)2(yb)2r2.解方程组得a1，b，r2.所求外接圆方程为(x1)22.专题二直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是高考中的热点内容之一，主要有：1直线与圆的三种位置关系(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点2直线与圆位置关系的两种判定方法(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组的解的个数来研究若有两组不同的实数解，即0，则相交；若有两组相同的实数解，即0，则相切，若无实数解，即0，则相离(2)几何法：由圆心到
4、直线的距离d与半径r的大小来判断当dr时，直线与圆相离3求弦长直线与圆相交有两个交点，设弦长为l，弦心距为d，半径r，则有()2d2r2.即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，利用此关系式可解代数法：|AB|x1x2|(k是AB的斜率，x1，x2是两交点横坐标)4圆的切线(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0xy0yr2.(2)圆的切线方程的求法求过圆C外一点P(x0，y0)和圆C相切的切线方程几何法：设切线为yy0k(xx0)，由圆心C到切线距离等于圆的半径r，列方程求k，若有两解即得切线方程，若只有一解，则另一条为xx0.代数法：设切线为yy0k(xx0)，与圆
5、方程联立，消元，由0求出k，讨论方法同上过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)求圆的切线方程圆心C(a，b)，k，则切线方程为yy0k(xx0)，如果kPC不存在，则k0，如果kPC0，则切线方程为xx0.解决直线与圆位置关系问题的主导方法是几何法在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求
6、所有满足条件的点P的坐标解析：(1)由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d1.由点到直线的距离公式得d，从而k(24k7)0.即k0或k，所以直线l的方程为y0或7x24y280.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为ybk(xa)(k0)，则直线l2的方程为yb(xa)因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即，整理得|13kakb|5k4abk|
7、，从而13kakb5k4abk或13kakb5k4abk，即(ab2)kba3或(ab8)kab5，因为k的取值范围有无穷多个，所以或解得或这样点P只可能是点P1或点P2.经检验点P1和P2满足题目条件跟踪训练3已知AC，BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为_解析：如图，取AC的中点F，BD的中点E，则OEBD，OFAC.又ACBD，四边形OEMF为矩形，d21d22OM23.又|AC|2，|BD|2，S四边形ABCD|AC|BD|222.0d223.当d22时，S四边形ABCD有最大值为5.答案：54若圆x2y24与圆x2y22ay6
8、0(a0)的公共弦的长为2，则a_.解析：x2y22ay6，x2y24，两式相减得y.联立消去y得x2(a0)22，解得a1.答案：1专题三数形结合思想的应用数形结合是中学数学中四种重要的数学思想方法之一，它将抽象思维与形象思维有机地结合起来，恰当运用数形结合可提高解题速度，优化解题过程在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下几点：(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； (2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复与遗漏数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就
9、要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度设圆(x3)2(y5)2r2上有且仅有两点到直线4x3y2的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是()A(4,6) B D解析：解法一：圆心(3，5)到直线4x3y2的距离为5，而到直线4x3y2的距离为1的轨迹为4x3y7或4x3y3.如图，当圆与直线4x3y7相交、与4x3y3相离时，圆上只有两点与4x3y2的距离为1.所以4r6.解法二：根据四个选项知，只需判断当r4或6时圆(x3)2(y5)2r2与直线4x3y2的距离为1的点的个数，作出草图当r4时，圆与直线4x3y7相切，只有一个点符合要求；当r6时，圆与直线4x3y3相切，
10、与4x3y7相交，圆上有三个点符合要求故4r6.答案：A跟踪训练5已知实数x，y满足x2y21，求的取值范围解析：如图所示，设P(x，y)是圆x2y21上的点，则表示过P(x，y)和Q(1，2)两点的直线PQ的斜率，过点Q作圆的两条切线QA、QB，由图可知QBx轴，kQB不存在，且kQPkQA.设切线QA的斜率为k，则它的方程为y2k(x1)，由圆心到QA的距离为1，得1，解得k.的取值范围是.6已知圆C1：x2y24和圆C2：x2(y8)24，直线yxb在两圆之间穿过，求实数b的取值范围解析：如图，两圆相外离，直线是斜率为的一簇平行线，在y轴上的截距是b，由直线与圆相切求出b的两个边界值，进一步可求出b的取值范围直线方程为x2y2b0.当直线与圆C1相切时，2，解得b3.当直线与圆C2相切时，2，解得b5或b11.由图知3b5.b的取值范围是 (3,5)