1、专题二 三角函数、解三角形、平面向量 第 1 讲 三角函数的图象与性质 感悟高考 明确考向(2010湖北)已知函数 f(x)cos3x cos3x，g(x)12sin 2x14.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合解(1)因为 f(x)cos3x cos3x12cos x 32 sin x12cos x 32 sin x14cos2x34sin2x1cos 2x833cos 2x812cos 2x14，所以 f(x)的最小正周期为22.(2)h(x)f(x)g(x)12cos 2x12sin 2x 22 c
2、os2x4，当 2x42k(kZ)时，h(x)取得最大值 22.h(x)取得最大值时，对应的x的集合为xxkx8，kZ.考题分析本题主要考查综合运用三角公式、三角函数性质进行运算求解的能力本题以三角函数的运算和性质为主线，着重对基础知识和基本方法的考查题目难度不大，重视基础、强调应用易错提醒(1)对三角恒等变换公式掌握不牢，化简方向不明确(2)h(x)的最大值的条件不准确易写为 2x40.(3)求的结论是 h(x)取得最大值时，对应的 x 的集合考生易忽略集合的表示方法主干知识梳理 1任意角的三角函数(1)设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 sin y，cos x，ta
3、n yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2诱导公式公式一sin(2k)sin，cos(2k)cos，tan(k)tan(kZ)公式二sin()sin，cos()cos，tan()tan 公式三sin()sin，cos()cos，tan()tan 公式四sin()sin，cos()cos，tan()tan 公式五sin(2)cos，cos(2)sin 公式六sin(2)cos，cos(2)sin 3.同角三角函数基本关系式sin2cos21，tan sin cos(cos 0)4正弦、余弦、正切函数的性质函数ysin xycos xytan x图象定义RR x|
4、x2k，kZ值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期22单调性在22k，2 2k(kZ)上单调递增；在2 2k，32 2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调 递 增；在2k，2k(kZ)上 单 调递减在(2 k，2 k)(kZ)上单调递增最值当x22k，kZ 时，y 取得最大值 1；当 x22k，kZ 时，y 取得最小值1当 x2k，kZ 时，y取得最大值1；当 x2k，kZ时，y 取得最小值1；无最值对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：x2k(kZ)对称中心：(2k，0)(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(k2，0)(kZ)5.函数 yAsin(x)的图象
5、(1)“五点法”作图设 zx，令 z0，2，32，2，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线可得(2)图象变换ysin xysin(x)0()0(或向右向左个单位平移|倍横坐标变为原来的)0(1纵坐标不变ysin(x)倍纵坐标变为原来的)0(AA横坐标不变yAsin(x)热点分类突破 题型一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用例 1如图在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 210、2 55.(1)求 tan()的值；(2)求 2 的值思维启迪根据任意角三角函数的定义 cos xr不难得
6、到 cos、cos 的值，利用同角三角函数可求 sin、sin、tan、tan 的值，进而利用和角公式求 tan()的值注意到第(2)问相当于“给值求角”问题，除注意到“角的变换”：2()外，还应注意该类问题求解的一般程序解(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos 210，cos 2 55.因为为锐角，故sin 0，从而sin 1cos27 210.同理可得 sin 55.因此 tan 7，tan 12.所以 tan()tan tan 1tan tan 71217123.(2)tan(2)tan()tan()tan 1tan()tan 3121(3)121，又 02，02，故 020，co
7、s340，0，|0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定；由图象上的关键点确定.(2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为14个周期变式训练 2(2010天津)右图是函数 yAsin(x)(xR)在区间6，56 上的图象为了得到这个函数的图象，只要将ysin x(xR)的图象上所有的点()A向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变C向左平
8、移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变解析 由图象可知 A1，T56(6)，2T 2.ysin(2x)(xR)图象过点(3，0)，sin(23)0，23 2k，kZ，32k，kZ.ysin(2x32k)sin(2x3)故将函数 ysin x 先向左平移3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图象答案 A题型三 三角函数的性质例 3已知函数 f(x)sin(x)，其中 0，|2.(1)若 cos4cos sin34 sin 0，求 的值；(2)在(1)的
9、条件下，若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数 f(x)的解析式；并求最小正实数 m，使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位长度后所对应的函数是偶函数思维启迪 利用诱导公式化简利用和、差角公式求求 f(x)的解析式利用奇偶性确定 m 的值解 方法一(1)由 cos4cos sin34 sin 0得 cos4cos sin4sin 0，即 cos4 0.又|0，0，|2)的图象上一个最高点的坐标为(12，3)，与之相邻的一个最低点的坐标为(712，1)(1)求 f(x)的表达式；(2)当 x2，时，求函数 f(x)的单调递增区间和零点解(1)依题意得T2712 12
10、2，所以 T.于是 2T 2.由AB3，AB1，解得A2，B1.f(x)2sin(2x)1.把(12，3)代入 f(x)2sin(2x)1，可得 sin(6)1，所以62k2(kZ)所以 2k3(kZ)因为|0，0)的图象求解析式(1)Aymaxymin2，Bymaxymin2.(2)由函数的周期 T 求，2T.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求.3函数 yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点4求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为 yAsin(x)B 的形式，进而结合三角函数的性质求解(2)将三角函数式化为关于 sin x，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次
11、函数的性质求解.知能提升演练 一、选择题1(2010福建)将函数 f(x)sin(x)的图象向左平移2个单位，若所得图象与原图象重合，则 的值不可能等于()A4 B6 C8 D12解析 将 f(x)sin(x)的图象向左平移2个单位，若与原图象重合，则2为函数 f(x)的周期的整数倍，不妨设2k2(kZ)，得 4k，即 为 4 的倍数，故选项 B 不可能B2已知函数 ysin(x)(0,02)，且此函数的一段图象如图所示，则点 P(，)的坐标是()A.(2，2)B(2，4)C(4，2)D(4，4)解析 T278 38 2，T2，2，当 x38 时，x238 (2k1)，kZ，又00，0，|2)
12、的图象关于直线 x3对称，它的最小正周期为.则函数 f(x)图象的一个对称中心是()A(3，1)B(12，0)C(512，0)D(12，0)解析 由题意知 T，2，由函数图象关于直线 x3对称，得 232k(kZ)，即 6k(kZ)又|0，0)的图象与直线 yb(0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8，则 f(x)的单调递增区间是_.解析 如图 x3，x6 是 yAsin(x)的对称轴，周期 T6，单调递增区间为6k,6k3，kZ.6k,6k3，kZ8对于函数 f(x)cos xsin x，给出下列命题：存在(0，2)，使 f()43；存在(0，2)，使 f(x)f(x3)恒成立；存
13、在 R，使函数 f(x)的图象关于 y 轴对称；函数 f(x)的图象关于点(34，0)对称其中正确命题的序号是_.解析 f(x)2sin(x4)，当 x(0，2)时，10，0，|2)的一段图象如图所示(1)求函数 yf(x)的解析式；(2)将函数 yf(x)的图象向右平移4个单位，得到 yg(x)的图象，求直线 y 6与函数 yf(x)g(x)的图象在(0，)内所有交点的坐标解(1)由图知 A2，T，于是 2T 2，将y2sin 2x 的图象向左平移 12，得 y2sin(2x)的图象于是 2 126，f(x)2sin(2x6)(2)依题意得 g(x)2sin2(x4)62cos(2x6)故
14、yf(x)g(x)2sin(2x6)2cos(2x6)2 2sin(2x 12)由y 6y2 2sin(2x 12)得 sin(2x 12)32.2x 1232k 或 2x 1223 2k(kZ)，x524k 或 x38 k.x(0，)，x524或 x38.交点坐标为(524，6)，(38，6)10已知函数 f(x)sin xsin(x2)3cos2(3x)32 (xR)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)的单调递增区间；(3)求 f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标解 f(x)sin xcos x 3cos2x 3212sin 2x 3cos 2x12 3212sin 2x 32 cos 2xsin(2x3)(1)f(x)的最小正周期：T22.(2)由 2k22x32k2(kZ)，知 k 12xk 512(kZ)，f(x)的单调递增区间为k 12，k 512，kZ.(3)由 2x32k(kZ)得对称轴方程为 x512k2(kZ)由 2x3k(kZ)得 xk2 6(kZ)，故对称中心坐标为(6k2，0)(kZ)返回