1、第 3 讲 解答题答题模板 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要内容本节以著名数学家波利亚的怎样解题为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”模板 1 三角函数的单调性及求值问题例 1已知函数 f(x)cos2(x 12)，g(x)112sin 2x.(1)设 xx0 是函数 yf(x)图象的一条对称轴，
2、求 g(x0)的值；(2)求函数 h(x)f(x)g(x)的单调递增区间思维启迪(1)由 xx0 是 yf(x)的一条对称轴知 f(x0)是f(x)的最值，从而得 2x06k(kZ)，即 x0k2 12(kZ)(2)化简 h(x)f(x)g(x)为 h(x)Asin(x)或 h(x)Acos(x)的形式(3)根据正弦或余弦函数求单调递增区间.规范解答示例 解(1)由题设知 f(x)121cos(2x6)因为 xx0 是函数 yf(x)的图象的一条对称轴，所以 2x06k(kZ)，即 2x0k6(kZ)所以 g(x0)112sin 2x0112sin(k6)当 k 为偶数时，g(x0)112si
3、n(6)11434；当 k 为奇数时，g(x0)112sin611454.(2)h(x)f(x)g(x)121cos(2x6)112sin 2x12cos(2x6)sin 2x3212(32 cos 2x12sin 2x)3212sin(2x3)32.当 2k22x32k2(kZ)，即 k512xk12(kZ)时，函数 h(x)12sin(2x3)32是增函数故函数 h(x)的单调递增区间是k512，k 12(kZ).构建答题模板 第一步：三角函数式的化简，一般化成 yAsin(x)h 的形式或 yAcos(x)h 的形式如：f(x)12cos(2x6)12，h(x)12sin(2x3)32.
4、第二步：由三角函数值求角；由角求三角函数值第三步：由 sin x、cos x 的单调性，将“x”看作一个整体，转化为解不等式问题第四步：明确规范表述结论第五步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范如本题中，由 x0 求 g(x0)时，由于 x0中含有变量 k，应对k 的奇偶进行讨论.模板 2 立体几何中的空间角问题例 2正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为CC1 的中点，求二面角 AA1DB 的余弦值思维启迪求二面的大小，可考虑建立空间直角坐标系求二面角两个面的法向量求向量夹角 规范解答示例解 如图，取 BC 的中点 O，连结 AO.ABC 为正三角形，AOBC.在正三棱柱
5、 ABCA1B1C1 中，平面 ABC平面BCC1B1，AO平面 BCC1B1.取 B 1C 1的中点 O 1，以 O 为原点，的方向为 x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0)，设平面 A1AD 的法向量为 n(x，y，z)OAOOOB,1).0,2,0(),3,1,1(1 AAAD,1AAADn n 令 z1 得 n(3，0,1)为平面 A1AD 的一个法向量AB1A1B，在平面 BCC1B1 上，OB1BD，又 BDAO且 AOOB1O，BD平面 AOB1，又 AB1平面 AOB1，AB1BD
6、.又 A1BBDB，AB 1平面 A 1BD，为平面 A1BD 的法向量.3,0,02,03,0,01zxyyzyxAAnADn1AB.4622233|,cos111ABnABnABn二面角 A-A1D-B 的余弦值为.46构建答题模板第一步：作出(或找出)具有公共交点的三条相互垂直的直线第二步：建立空间直角坐标系(建立方法在答题规范中已讲过)，设出特征点坐标第三步：求二面角面的法向量 n，m.第四步：求法向量 n，m 的夹角或 cosm，n第五步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角第六步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范如本题中求得考生容易错答为：二面角 A-A 1D-B 的余弦值为.上面
7、第五步将法向量的夹角转化为二面角时，要注意直观判定二面角的大小.,46,cos1ABn46模板 3 解析几何中的探索性问题例 3已知定点 C(1,0)及椭圆 x23y25，过点 C 的动直线与椭圆相交于 A，B 两点(1)若线段 AB 中点的横坐标是12，求直线 AB 的方程；(2)在 x 轴上是否存在点 M，常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由思维启迪为使.MBMA(1)设过 C(1,0)的直线方程 yk(x1)，利用待定系数法求 k.（2）从假设存在点 M（m,0）出发去求若能找到一个 m 值使为常数，即假设正确，否则不正确.MBMAMBMA规范解答示例解(1)依题意，直
8、线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，将 yk(x1)代入 x23y25，消去 y 整理得(3k21)x26k2x3k250.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由线段 AB 中点的横坐标是12，得x1x22 3k23k2112，解得 k 33，适合.所以直线 AB 的方程为 x 3y10 或 x 3y10.136,0)53)(13(4362221224kkxxkkk(2)假设在 x 轴上存在点 M（m，0），使为常数.()当直线 AB 与 x 轴不垂直时，由(1)知x1x2 6k23k21，x1x23k253k21.所以(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2
9、m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.将代入，整理得(6m1)k253k21m22m13(3k21)2m1433k21m2m22m13 6m143(3k21).MBMAMBMAMBMA注意到 是与 k 无关的常数，从而有 6m+14=0，此时（）当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点 A、B 的坐标 分别为 当 m=时，也有 综上，在 x 轴上存在定点 使 为常数.MBMA.94MBMA),32,1()32,1(、37.94MBMA),0,37(MMBMA,37m构建答题模板第一步：假设结论存在第二步：以存在为条件，进行推理求解第三步：明确规范表述结论若
10、能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设第四步：反思回顾查看关键点，易错点及解题规范如本题中第(1)问容易忽略 0 这一隐含条件第(2)问易忽略直线 AB 与 x 轴垂直的情况.模板 4 由数列的前 n 项和 Sn与通项 an的关系求通项 an例 4已知数列an的各项均为正数，Sn 为其前 n 项和，对于任意的 nN*，满足关系式 2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是 bn1log3anlog3an1，前 n项和为 Tn，求证：对于任意的正整数 n，总有 Tn1.思维启迪(1)求出数列an的递推关系，由递推关系求通项(2)化简 bn，裂
11、项求和.规范解答示例(1)解 当 n1 时，由 2Sn3an3 得，2a13a13，a13.当 n2 时，由 2Sn3an3 得，2Sn13an13.两式相减得：2(SnSn1)3an3an1，即 2an3an3an1，an3an1，又a130，an是等比数列，an3n.验证：当 n1 时，a13 也适合 an3n.an的通项公式为 an3n.(2)证明 bn1log3anlog3an11log33nlog33n11(n1)n1n 1n1，Tnb1b2bn(112)(1213)(1n 1n1)1 1n10 在1,1上恒成立根据式子特点，转化为带参二次函数在1,1上的符号问题解关于 a 的不等式
12、x2ax20 利用韦达定理 x1x2a，x1x22|x1x2|a28h(a)，在 A 上求 h(a)的最大值 h(a)max转化为 t1,1不等式 m2tm1h(a)max 恒成立.xxf1)()2(规范解答示例解(1)f(x)42ax2x2(x22)22(x2ax2)(x22)2.f(x)在1,1上是增函数，f(x)0 对 x1,1恒成立，即 x2ax20 对 x1,1恒成立设(x)x2ax2，(1)1a20(1)1a20 1a1.对 x1,1，f(x)是连续函数，且只有当 a1 时，f(1)0 以及当 a1 时，f(1)0，Aa|1a1(2)由2xax221x，得 x2ax20.a280，
13、x1，x2 是方程 x2ax20 的两个非零实根，x1x2a，x1x22，从而|x1x2|(x1x2)24x1x2 a28.1a1，|x1x2|a283.要使不等式 m2tm1|x1x2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，当且仅当 m2tm13 对任意 t1,1恒成立即 m2tm20，对任意 t1,1恒成立设 g(t)m2tm2mt(m22)，则g(1)m2m20g(1)m2m20m2 或 m2.综上知：存在实数 m，使得不等式 m2tm1|x1x2|对任意 aA 及 t1,1恒成立，其取值范围是m|m2或 m2.构建答题模板第一步：将问题转化为形如不等式 f(x)a(或 f(x)a)恒成立的
14、问题.第二步：求函数 f(x)的最小值 f(x)min 或 f(x)的最大值f(x)max.第三步：解不等式 f(x)mina(或 f(x)maxa).第四步：明确规范地表述结论.第五步：反思回顾查看关键点、易错点及规范解答如本题重点反思每一步转化的目标及合理性，最大或最小值是否正确本题的易错点是在求 g(t)m2tm2 的最小值时忽略 m 的符号讨论.规律方法总结 高考数学解答题虽然灵活多变，但所考查数学知识、方法，基本数学思想是不变的，题目形式的设置是相对稳定的，因而本讲结合高考的重点，热点介绍了“七大答题模板”，目的是给考生在考前一个回顾如何规范答题的辅助性材料重点是思维过程、规范解答、反思回顾结合着具体题型给出了答题程序希望能够举一反三，对考生答题有所帮助.返回
