1、不等式的证明考试要求通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法1基本不等式的推广如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当adbc时，等号成立)(2)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当或是零向量，或存在实数k，使k(，为非零向量)时，等号成立(3)柯西不等式的三角形不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则.(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(b
2、bb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立3不等式的证明方法(1)比较法作差法(a，bR)：ab0ab；ab0a0，b0)：1ab；1a0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为 MN2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.3已知a，b，c是正实数，且abc1，则的最小值为 9abc1，33222369，当且仅当abc时等号成立4
3、设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为 根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，即m2n25，所以的最小值为. 考点一用综合法与分析法证明不等式 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以开阔解题思路，开阔视野1(2020全国卷)设a，b，cR，abc0，abc1.(1)证明：abbcca0且abbcc
4、a1，求证：abc.证明因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立，所以原不等式成立3(2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且abc1，故有a2b2c2abbcca.所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)
5、3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.点评：(1)利用综合法证明不等式时，常用的不等式有：a20；|a|0；a2b22ab，它的变形形式又有(ab)24ab，等；(a0，b0)，它的变形形式又有a2(a0)，2(ab0)，2(ab0)等(2)用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析的过程是寻求结论成立的充分条件，而不一定是充要条件，同时要正确使用“要证”“只需证”这样的“关键词” 考点二放缩法证明不等式 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧，常见的放缩方法有：变换分式的分子和分母
6、，如，上面不等式中kN*，k1；利用函数的单调性；利用结论，如“若0a0，则0，|y2|，求证：|2xy4|a.(2)求证：0，|x1|，可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.(2)，1()().点评：(1)本例(1)采用了绝对值不等式的性质证明不等式，通过变形、配凑达到证明的目的；(2)本例(2)采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰到好处1设n是正整数，求证： 1.证明由2nnkn(k1,2，n)，得 .当k1时， ；当k2时， ；当kn时
7、， ， 1.原不等式成立2若a，bR，求证：.证明当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|ab|a|b| ，所以 .综上，原不等式成立 考点三柯西不等式的应用 柯西不等式的解题策略(1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题(2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件. 典例2(2019全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解
8、(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.点评：利用柯西不等式证明不等式或求解某些含
9、有约束条件的多变量的最值问题，解决的关键是构造两组数，并向柯西不等式的形式进行转化1已知a，b，cR，且满足a2b3c6，求a22b23c2的最小值解由柯西不等式，得(123)(a22b23c2)(1abc)2.得6(a22b23c2)(a2b3c)236.所以a22b23c26.当且仅当，即abc1时，上式等号成立所以a22b23c2的最小值为6.2设x，y，zR，且1，求xyz的取值范围解由柯西不等式，得42()222，即251(xyz)2.所以5|xyz|，所以5xyz5.即xyz的取值范围是5,53已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.