1、北京市2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练不等式1.若 满足 ，则的最小值是_.【答案】3【解析】【分析】作出不等式组的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图，设，则，平移，由图象知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，由得，即，此时，故答案为3.【点睛】本题主要考查线性规划与二元一次不等式的几何意义，将二元一次不等式（组）的几何意义与求线性目标函数的最值问题结合在一起，考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力，属于简单题.2.若x，y满足，则x + 2y的最大值为（ ）A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
2、【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出满足的可行域如图，设，则，平移，由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由可行域可知目标函数经过可行域的时，取得最大值，由，可得，目标函数的最大值为，故选D.【点睛】本题主要考查的是线性规划，属于容易题线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区
3、域时要通过特殊点验证，防止出现错误3.若，满足，则的最大值为（ ）A. 0 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】试题分析：由图可得在处取得最大值，由最大值，故选C.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.4.已知，且，则A. B. C. D. 【答案】C
4、【解析】试题分析：A：由，得，即，A不正确；B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；C：由，得，故，C正确；D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.【考点】函数性质【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.5.已知满足约束条件若目标函数的最大值是，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】甶约束条件作出可行域，化目标函数
5、为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得的坐标，代入目标函数解方程可得结论.【详解】约束条件作出可行域如图三角形区域，可得，当时，显然不符合题意；当时，代入可得，可得舍去；当时，代入若取最大，可得，解得；代入可得，则舍去；代入若取最大，可得，解得，代入，可得成立，综上可得，故选C.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的
6、相关量的准确定位，是求最优解的关键.6.甲乙两地相距km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不能超过km/h已知汽车每小时运输成本为元，则全程运输成本与速度的函数关系是_，当汽车的行驶速度为_km/h时，全程运输成本最小【答案】 (1). (2). 100【解析】【分析】由已知可得汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为，结合汽车每小时运输成本为元，可得全程运输成本与速度的函数关系式，再由基本不等式可得时，取最小值.【详解】甲乙两地相距，故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为，又由汽车每小时运输成本为元，则全程运输成本与速度的函数关系是，由基本不等式得， 当且仅当，即时，取最小值,故答案为，.【点睛】本题主要
7、考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.7.若变量满足则的最大值是_.【答案】10【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，的最大值是10，故答案为10.点睛：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题；由约束条件作出可行域，然后结合的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得
8、的最大值.8.若实数满足则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据的几何意义，利用数形结合，即可得到结论.【详解】作出实数,满足对应的平面区域如图，由得，平移直线,由图象可知当直线，经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得即，此时，当直线，经过点时，直线的截距最小，此时最小，由，解得即，此时，故，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的
9、顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.实数满足 则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出约束条件表示的可行域，如图，平移直线可知，当直线经过点 时，直线的截距最大，此时最小，最小值为 ，因为可行域是开放型区域，所以无最大，的取值范围是，故选D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最
10、值.10.若满足则的最大值为A. 1 B. 3 C. 4 D. 【答案】D【解析】根据题意，画出可行域如图所示，则当目标函数经过点 时取得最大值，最大值为 故选D.11.已知实数满足条件，则的最大值是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率即可求出其最大值【详解】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），z=，如图所示，经过原点（0，0）与A的直线斜率最大为3，的最大值是3故选：C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、
11、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12.设不等式组表示的平面区域为.则A. 原点O在内B. 的面积是1C. 内的点到y轴的距离有最大值D. 若点P(x0,y0) ，则x0+y00【答案】A【解析】 由题意，画出不等式组坐标表示的平面区域，如图所示，原点在内是成立的；区域的面积不确定，所以不成立，区域到轴的距离无最大值令，即，当取原点时，目标函数取得最小值，此时，故选A13.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D
12、. 【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质，对4个选项分别进行判断，即可得出结论.【详解】对于，故不成立；对于，故不成立；对于，故不成立；对于，利用单调递增，故正确，故选D.【点睛】本题将函数的单调性与不等式性质结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.14.设x，y满足则的最小值为（ ）A. 1 B. C. 5 D. 9【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点的距离的平方，由图象知A到直线的距离最小，此时距离，则距离的平方，故选B.点睛：本题主要考查线性规划的应用，根据两点间的
13、距离公式是解决本题的关键；目标函数通常分为线性和非线性两种，在非线性形式当中常见的有距离型：如表示动点与之间距离的平方，斜率型：如表示动点与原点之间的斜率.15.函数的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 4【答案】C【解析】【分析】直接利用基本不等式化简求解即可.【详解】因为0，所以，有，当且仅当，即时取得最小值,故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两
14、点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.16.由直线，和所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出对应的三角形区域，判断区域和直线的位罝关系即可得到结论.【详解】作出对应的三角形区域，则区域在直线的右侧，满足，在的上方，满足，则的下方，满足，故对应的不等式组为，故选A.【点睛】本题主要考查了利用线性规划，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.17.如果，那么的最大值是（ ）A. B. C
15、. D. 1【答案】B【解析】【分析】由于求的最大值，只考虑时即可，利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】由于求的最大值，只考虑时即可，解得，当且仅当时取等号，那么的最大值是，故选B.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.18.如果关于的不等式的解集是，那么等于（ ）A. -81 B. 81 C. -
16、64 D. 64【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集，利用根与系致的关系求出的值 ,再计的值.【详解】不等式可化为，其解集是，那么，由根与系数的关系得，解得，故选B.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系以及知识幂的运算，属于简单题.19.已知，则的最小值为_【答案】4【解析】【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得结果.【详解】，当且仅当时取等号，的最小值为，故答案为4.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.20.不等式的解集为 【答案】（或）【解析】试题分析：根据题意，由于根据二次函数性质可知，故可知不等式的解集为。考点：一元二次不等式的解集点评：主要是考查了一元二次不等式的求解的运用，属于基础题。21. 设a，b，cR，且ab，则（）A. acbc B. C. a2b2 D. a3b3【答案】D【解析】A.32，但是3（1）2（1），故A不正确；B12，但是，故B不正确；C12，但是（1）2（2）2，故C不正确；Dab，a3b3，成立故选D
